第3课时 切线长定理和三角形的切圆
知识点 1 切线长定理
1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )
图24－2－34
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图24－2－35
A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
图24－2－36
A．50° B．65° C．100° D．130°
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4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．
图24－2－37
知识点 2 三角形的切圆
5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( )
图24－2－38
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )
图24－2－39
A．130° B．120° C．100° D．90°
7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
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图24－2－40
8．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，
F，则( )
图24－2－41
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，
F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．
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图24－2－42
11．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
图24－2－43
12．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
图24－2－44
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13．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.
求：(1)PA的长； (2)∠COD的度数．
图24－2－45
14．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．
图24－2－46
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15．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．
图24－2－47
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教师详解详析
1．D
2．B [解析] 根据切线长定理，得PA＝PB. 又∵∠APB＝60°，∴△ABP为等边三角形， ∴AB＝PA＝8.故选B.
3．A [解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵∠AOB＝2∠C＝130°，∴∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A. 4．1 [解析] ∵PA，PB是⊙O的两条切线， 1
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°.
2∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°. ∵PO＝2，∴AO＝1. 5．B
6．A [解析] ∵点O是△ABC的切圆的圆心， 11
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
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11
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝90°＋40°
22＝130°.
7．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD. 设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm. ∵BC＝28 cm，∴BD＋CD＝28 cm， 即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8， 则18－x＝10，26－x＝18，
∴AF的长为8 cm，BD的长为10 cm，CE的长为18 cm.
8．C [解析] 如图，连接OA，OB，则OA，OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，∴∠EAO＝∠OAB.
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∵EF∥AB，∴∠EOA＝∠OAB， ∴∠EOA ＝∠EAO，∴AE＝EO.
同理可得：FO＝BF，∴EF＝AE＋BF.故选C.
9．6 [解析] 根据勾股定理，得斜边长为8＋15＝17，
8＋15－17
则该直角三角形能容纳的圆形(切圆)半径r＝＝3(步)，即直径为6步．
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10． [解析] 连接OE，OF，ON，OG，如图．
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2
设MN＝x，DN＝y，根据切线长定理可得GM＝MN＝x，ED＝DN＝y，AE＝AF＝5－y，FB＝BG＝y－1，CM＝6－(x＋y)．在Rt△DMC中，DM＝CM＋CD，即(x＋y)＝[6－(x＋y)]＋4，1313
解得x＋y＝，即DM＝.
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11．解：(1)证明：如图，连接OB. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA， ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO. ∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
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(2)如图，连接OP.∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OP垂直平分线段AB. 又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°， ∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA. ∵PA＝3，
根据勾股定理，得AO＝1， ∴⊙O的半径为1.
12．解：(1)如图所示，则⊙P为所求作的圆．
(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP. 设AP＝x，则BP＝2x.
由勾股定理，得AB＝BP－AP＝（2x）－x＝3x. ∵AB＝3，∴3x＝3，解得x＝3. ∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.
13．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线， ∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，
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∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋BD＋PC＋CA＝PB＋PA＝2PA＝12，∴PA＝6， 即PA的长为6.
(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°， ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°. ∵CA，CE，DB，DE是⊙O的切线， 1
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD.
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∠ODE＝∠ODB＝∠CDB，
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1
∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°，
2∴∠COD＝180°－120°＝60°. 14．解：设DE＝x cm，则CE＝(4－x)cm. ∵CD，AE，AB均为⊙O的切线， ∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4 cm， ∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm. 在Rt△ADE中，AE＝AD＋DE， 即(8－x)＝4＋x，解得x＝3. 112
∴S△ADE＝AD·DE＝×4×3＝6(cm)．
2215．解：(1)∠APB＝2∠BAC. 理由：∵PA，PB为⊙O的切线， 1
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB.
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在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF⊥AB， ∴∠PFA＝∠PFB＝90°， ∴∠APO＋∠PAB＝90°. ∵PA切⊙O于点A，
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∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°， ∴∠APO＝∠BAC， ∴∠APB＝2∠BAC.
(2)存在．当四边形PAOB是正方形时， PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB， 1
∴PO·AB＝PA·PB， 2
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即PO＝PA，PO＝16，∴PO＝4 2. 22
这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4 2.
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