浙江省温州市2019届高三8月模拟考试数学试题Word版含解析

数学试题

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集U1,2,3,4,5,CUAB1,ACUB3，则集合B（ ）

A．1,2,4,5 B．2,4,5 C．2,3,4 D．3,4,5

2.已知i是虚数单位，则满足zi34i的复数z在复平面上对应点所在的象限为（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

x3.设实数x,y满足

y0xy1，则z2x3y的最大值为（ ）

x2y1A．13 B．12 C．2 D．3 4.若

1sin1cos3，则sincos（ ） A．113 B．3 C．113或1 D．3或-1

n5.在x3x的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为（ A．15 B．45 C．135 D．405 6.已知正整数a1,a2,,a2016成等比数列，公比q1,2，则a2016取最小值时，q（A．

65 B．54 C．43 D．32 7.在四面体ABCD中，ABCD,ACBD,ADBC，以下判断错误的是（ ） A．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直 B．该四面体的外接球球心和内切球球心重合 C．该四面体的各面是全等的锐角三角形

D．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1

）

）

） 8.设函数fxax2bxca,b,cR且a0，则“ff有两个零点”的（ ）

b0”是“fx与ffx都恰

2aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单位题每题4分，共36分

y21的离心率是__________，渐近线方程是___________． 9.双曲线x32

10.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a35,a53，则an__________，S7_________．

11.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个小球，记摸到黑球的个数为X，则

PX2_________，EX__________．

12.一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．

*13.设N且15，则使函数ysinx在区间,上不单调的的个数是___________． 4314.过抛物线y4x的焦点F的直线分别交抛物线于A,B两点，交直线x1于点P，若

2PAAF,PBBF,R，则______________．

p,pq2215.记maxp,q，设Mx,ymaxxy1,yx1，其中x,yR，则Mx,y的

q,pq最小值是__________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本题满分14分）

在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若ccosBbcosC（1）证明：tanC2tanB； （2）若a3,tanA

17.（本题满分15分）

如图，四棱锥PABCD中，ABCBCD900,AB2,CDCBCP1，点P在底面上的射影为线段BD的中点M．

（1）若E为棱PB的中点，求证：CE//平面PAD； （2）求二面角APBC的平面角的余弦值．

18.（本题满分15分）

已知数列an的前n项和为Sn，a1（1）求an的通项公式； （2）设bn

1a． 39，求ABC的面积． 73,2Snn1an1n2． 21an1nN*，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn27nN*． 1019.（本题满分15分） 如图，P为圆M:x3点N．

（1）求动点N的轨迹方程；

（2）记动点N的轨迹为曲线 C，设圆O:x2y22的切线l交曲线C于A,B两点，求OAOB的最大值．

20.（本题满分15分）

2y224上的动点，定点Q3,0，线段PQ的垂直平分线交线段MP于

x2x1,gxex（e是自然对数的底数）设aR，函数fxax． 23（1）证明：存在一条定直线l与曲线C1:yfx和C2:ygx都相切； （2）若fxgx对xR恒成立，求a的值

浙江省温州市2019届高三8月模拟考试

数学试题参考答案

一、选择题

题号

二、填空题

9. 2，y3x 10. 8n，28 11. 三、解答题

16.（1）由ccosBbcosC答案 B A C A C D D C 1 2 3 4 5 6 7 8 1593593, 12. , 13.8 14.0 15. 5684621a，得 31sinCcosBsinBcosCsinA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

3

故tanB2tanB93，解得tanB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

1tanB2tanB72过点A作AHBC于H，又由tanC2tanB，得BH2CH， 再由BC3，得BH2， 于是AHBHtanB3， 故ABC的面积17.解法一：

119BCAH33．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 222

（1）取ABC中点为F，连EF,CF，则由题意知

．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 CF//AD,EF//AP，则面CEF//面PAD，

则CE//面PAD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）因点P在底面上的射影为线段BD的中点M， 且MCMBMFMD， 故PCPBPFPDBC， 于是CEPB， 又由CF面PBD，

故AD面PBD，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴ADPD，

∴AP3,BA2,PB1， ∴PAPB， ∴EFPB，

∴CEF为所求二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 在EFC中，EFCE∴cosCEF解法二：（1）

3,CF2， 21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 3

如图，由点P在底面上的射影为线段BD的中点M，且

MCMBMFMD，则PCPBPDBC，

以B为坐标原点，BC,BA所在直线为x,y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则

112112B0,0,0,A0,2,0,C1,0,0,P．．．．．．．．．．．．．．．．3分

2,2,2,E4,4,4．132312则AD1,1,0,AP,,222,CE4,4,4，

∴t1,1,2为面PAD的一个法量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴CEt0，则AF//面PCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

112BPA的一个法向量为mx,y,z， （2）BA0,2,0,BC1,0,0,BP,,222，设面

2y0BAm0由，即1，取m12z0BPm0xy2222,0,1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

同理，面BPC的一个法向量为n0,2,1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 设是二面角APBC的平面角，易见与m,n互补， 故coscosm,nmn1， mn31．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 3所以二面角APBC的平面角的余弦值为18.解：（1）当n2时，2S23a21，解得a22；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当n3时，2S34a31，解得a33．

当n3时，2Snn1an1，2Sn1nan11， 以上两式相减，得2ann1annan1，

anan1， nn1aaa∴nn1n1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 nn12∴

3,n1∴an2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

n,n2（2）bn1an12425,n1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1,n22n1当n2时，bn1n12111， nn1nn1133133171．．．．．．．．．．．．．．．15分 nn150n150n110∴Tn4111125233419.（1）因为NMNQNMNPMP2623MQ， 所以动点N的轨迹为椭圆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴a6,c3，∴b3，

2x2y21；∴动点N的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 63（2）①当切线l垂直坐标轴时，OAOB4；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程：ykxmk0，点Ax1,y1,Bx2,y2，由直线和圆相切，得m22k．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

22ykxm222由2得，2k1x4kmx2m60， 2x2y64km2m26,x1x2∴x1x22．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

2k12k2122∴x1x2y1y2x1x2kx1mkx2mk1x1x2kmx1x2m

2m264km3m266k22k1km2m0，

2k212k12k2120∴AOB90，∴OAOB2AB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又∵AB1k2x1x21k2212k2m622k12221k28k222k21，

令tk，则AB2222t2223， 214t4t14t4t当且仅当k2时，等号成立， 2∴OAOB32，

综上，OAOB的最大值为32．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分

20.（1）证明：函数fx,gx的导数分别为fx3ax2x1,gxex，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 注意到对任意aR,f0g01,f0g01，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 故直线l:yx1与曲线C1:yfx与C2:ygx都相切．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

3x2x1ex，则对任意xR，都有Fx1． （2）设函数Fxax2因对任意aR，都有F01，故x0为Fx的极大值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

3x31Fx3axx1eaxx1exax3ax2ex，．．．．．．．．．．10分

222x记hxax3a12x，则Fxhxxe， 22x注意到在x0的附近，恒有xe0，

故要使x0为Fx的极大值点，

必须h00（否则，若h00，则在x0的附近，恒有hx0，从而Fx0，于是x0不是，即3aFx的极值点；同理，若h00，则x0也不是Fx的极值点）

10，从而21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 6113x又当a时，Fxxe，

66a则在,0上，Fx0，在0,上，Fx0， 于是Fx在,0上递增，在0,上递减， 故FxmaxF0．

综上所述，a

1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 6