【创新设计】2011届高三数学一轮复习 4-1向量的概念及表示、向量的线性运算随堂训练 文 苏教版

第四知识块 平面向量

第1课时 向量的概念及表示、向量的线性运算

一、填空题

1

→→，则四边形是________． 1．在四边形ABCD中，若AB＝－CD2

1

→→，可知AB→∥CD→，但|AB→|≠|CD→|，故ABCD为梯形． 解析：由AB＝－CD2答案：梯形

2．(2010·广东高明一中模拟)设a，b是两个不共线向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k的值为________．

解析：∵8a－kb与－ka＋b共线，∴8a－kb＝λ(－ka＋b)．∴答案：±2

12

∴k＝±2

2.

3．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________.

12解析：2b－a.

答案：2b－a

4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．

3

解析：∵a＝λb，∴a与b共线，|a|＝|λ||b|.又∵|a|＝3，|b|＝5，∴3＝5|λ|，λ＝±. 5

112

[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝

112

(4a＋16b－16a＋8b)＝

112

(24b－12a)＝

用心 爱心 专心

3

答案：±

5

→＋BC→＋CA→；→－AC→＋BD→－CD→；→－OD→＋AD→；5．化简以下各式：(1) AB(2) AB(3) OA→＋QP→＋MN→－MP→.结果为零向量的个数是________． (4) NQ→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0. 解析：(1) AB→－AC→＋BD→－CD→＝AB→＋BD→－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0. (2) AB→－OD→＋AD→＝OA→＋AD→－OD→＝OD→－OD→＝0. (3) OA→＋QP→＋MN→－MP→＝MN→＋NQ→＋QP→－MP→＝MP→－MP→＝0.∴结果为零向量(4) NQ的个数是4.

答案：4

6．(南京模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是λ＝________.

2＝μ，

解析：设a＝μb，∴2e1－e2＝μ(e1＋λe2)．∵e1与e2不共线，∴

－1＝μ·λ.

1－. 2

1

答案：－

2

7．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，则|a－b|＝________.

∴λ＝

用心 爱心 专心

→=a，→=b，→=a+b，解析：设ABAD以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图，则AC→=a-b，∵|a+b|=|a-b|，∴|AC→|=|DB→|. DB又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，|AB|=6，|AD|=8，由勾股定理， →|=得|DB答案：10 二、解答题 8.

=10，∴|a+b|=|a-b|=10.

如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

证明：∵F，G分别为AB，AC的中点， 11

→→→→，∴FG→=EH→， ∴FG=BC，同理，EH=BC22→=HG→.∴四边形EFGH为平行四边形． 同理，EF1

→→＋9．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF＝(AB2→)． DC用心 爱心 专心

证明：证法一：如图，∵E、F分别是AD、BC的中点，

→+ED→=0，FB→＋FC→＝0，又∵AB→＋BF→＋FE→＋EA→＝0， ∴EA→＝AB→＋BF→＋EA→① ∴EF→＝ED→＋EA→＋CF→② 同理EF由①＋②得，

1→→→→→→→→→→→＋DC→)． 2EF＝AB＋DC＋(EA+ED)＋(BF＋CF)＝AB＋DC.∴EF＝(AB2证法二：

→，EC→，则EC→=ED→+DC→，EB→=EA→+AB→， 连结EB111→→→→→→→→＋DC→)． ∴EF= (EC+EB)= ( ED+DC+EA+AB)= (AB222

10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb， 1

(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？ 3

121

→→→→→→解：设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，

333

用心 爱心 专心

→＝OB→－OA→＝tb－a.要使A、B、C三点共线，只需AC→＝λAB→， AB21

即－a＋b＝λtb－λa，

33

－2＝－λ3∴有1

＝λt3

λ＝2，3⇒1t＝.2

1

∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．

2

1．

1

→→→→＋λCB→，在△ABC中，已知D是边AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA则λ＝________.

32212

→→→→→→→→→→，解析：如图所示，可知，CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB33332

∴λ＝. 3

2

答案：

3

→＋PB→＋PC→＝AB→.试确定P点的位置． 2．△ABC 所在平面有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，∴PA→＋PC→＝AB→－PB→， 解：∵PA用心 爱心 专心

→＋PC→＝AB→＋BP→＝AP→.∴PC→＝－2PA→. 即PA→∥PA→.又PC→、PA→共点于P，∴A、P、C三点共线． ∴PC点的三等分点．

用心 爱心专心

∴P点为边AC中靠近A