新乡市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新乡市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 2． 设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为A．5

B．

C．

，则该双曲线离心率e=（ ）

D．

3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱柱 4． 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且与

（ ）

B．同向平行

A．互相垂直 C．反向平行

=2

，

=2

，

=2

，则

D．既不平行也不垂直

5． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．（11，12） B．（12，13） C．（13，14） D．（13，12）

6． 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）

7． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+

8． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ ） A．（

9． （理）已知tanα=2，则A．

B．

C．

D．

=（ ）

） B．（，

]

C．（

） D．（

] ，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

D．该几何体唯一

10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A．1﹣ B．﹣ C． D．

11．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

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A．3 B．4 C．5 D．6

12．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5

二、填空题

13．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，

则该正四棱锥的外接球的半径为_________

14．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于 ． 15．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ． 16．设平面向量aii1,2,3,值为 . 【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 17．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．

18．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

，满足ai1且a1a20，则a1a2 ，a1a2a3的最大

三、解答题

19．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜（Ⅰ）求函数f（x）的解析式

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=的面积．

，b=

，求△ABC

）的部分图象如图所示

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20．椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，

）在C上．

（1）求椭圆C的方程；

的斜率与l的斜率的乘积为定值．

21．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：

+

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM

=1，

（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；

（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；

（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．

22．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

sin2x），=（cosx，1），x∈R．

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（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=积．

，且sinB=2sinC，求△ABC的面

23．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 （1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．

24．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（1）求圆C和直线l的极坐标方程； （2）点P的极坐标为（1，

），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．

（t为参数）．

，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

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新乡市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 2． 【答案】C

【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为 y=±x， 又已知渐近线为故双曲线离心率e==故选C．

，∴ =，b=2a，

=

=

，

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键．

3． 【答案】A 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A. 考点：三视图

【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 4． 【答案】D

【解析】解：如图所示， △ABC中，

=2

，

=2

，

=2

根据定比分点的向量式，得 ==

+

=，

+ =

， +

，

，

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以上三式相加，得 +所以，

+

=﹣

， 与

反向共线．

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．

5． 【答案】 A

【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2， 当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3， 当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4， 当n=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的数对为（11，12）， 故选：A

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

6． 【答案】D

32

【解析】解：∵f（x）=ax﹣3x+1，

∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

2

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

32

故f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上没有零点；

32

而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=故a＜﹣2； 综上所述，

﹣3•+1＞0；

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实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D．

7． 【答案】C

【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1

该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

8． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m）， ∴函数f（x）关于x=m对称， 若φ∈（

，

），

•（

2）=

的正三角形组成

．

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ）， 则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．

9． 【答案】D

【解析】解：∵tanα=2，∴故选D．

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===．

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10．【答案】A

【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为

，

连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：

﹣

，

．

∴此点取自阴影部分的概率是故选A．

11．【答案】B

【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，

∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．

12．【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的

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解集.1

二、填空题

13．【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴截面的图形可知：R2(R2)2(14．【答案】

．

6211)R 28

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行， ∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去 故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．

15．【答案】 m＞1 ．

2

【解析】解：若命题“∃x∈R，x﹣2x+m≤0”是假命题，

2

则命题“∀x∈R，x﹣2x+m＞0”是真命题，

即判别式△=4﹣4m＜0， 解得m＞1， 故答案为：m＞1

16．【答案】2，21. 【解析】∵a1a2而a1a2a322a12a1a2a21012，∴a1a22，

222(a1a2)22(a1a2)a3a32221cosa1a2,a31322， 21，当且仅当a1a2与a3方向相同时等号成立，故填：2，21.

∴a1a2a317．【答案】

【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2

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18．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（∴ω=又x=

=2， 时，2×

， ，

）…6分

）=，

+φ=

+2kπ，得φ=2kπ﹣

，（k∈Z） ﹣

）=π，

又∵|φ|＜∴φ=﹣

∴f（x）=sin（2x﹣

（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣∵a＜c， ∴A为锐角，

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∴2A﹣∴2A﹣

∈（﹣=

，）， ，

2

，即：c﹣3c﹣4=0，

，得A=

2222

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA，可得：7=3+c﹣2

∵c＞0，∴解得c=4． ∴△ABC的面积S=bcsinA=

=

…12分

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．

20．【答案】

【解析】解：（1）椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，．

）在C上，可得

，

22

，解得a=8，b=4，所求椭圆C方程为：

（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 把直线y=kx+b代入故xM=

=

222

可得（2k+1）x+4kbx+2b﹣8=0，

，yM=kxM+b=

=

， ，即KOMk=

．

于是在OM的斜率为：KOM=

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

21．【答案】

【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=1，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：

+

=1，

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得，∴kAB=

=﹣=﹣，

∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0． （2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1， 则cos∠F1PF2=又r1r2≤（

=

22

）=a（当且仅当r1=r2时取等号）

﹣1=

﹣1=

﹣1，

∴当r1=r2=a，即P（0，（3）∵

=12，

）时，cos∠F1PF2最小，

=9． +

=1（a2＞9），

又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．

=3，∴

则由题意，设所求的椭圆方程为

22224

将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a﹣9）x+18ax+90a﹣a=0， 22224

依题意△=（18a）﹣4（2a﹣9）（90a﹣a）≥0， 22

化简得（a﹣45）（a﹣9）≥0， 22

∵a﹣9＞0，∴a≥45，

故所求的椭圆方程为=1．

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．

22．【答案】

2

【解析】解：（1）f（x）=•=2cosx+

sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

令﹣解得﹣

+2kπ≤2x++kπ≤x≤

≤+2kπ，

+kπ，

+kπ，

+kπ]，

函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣（Ⅱ）∵f（A）=2 ∴2sin（2A+

）+1=2，即sin（2A+

）= …．

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又∵0＜A＜π，∴A=∵a=

，

．…

2222

由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣3bc=7 ①…

∵sinB=2sinC∴b=2c ②…

2

由①②得c=．…

∴S△ABC=

23．【答案】

．…

2

2

【解析】解：（1）p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0，其中a＞0 ⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a； 当a=1时，p：1＜x＜3； 故x的取值范围是[2，3）

2

命题q：实数x满足x﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；

（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p； ∴（a，3a）⊃[2，3]⇔

，1＜a＜2

∴实数a的取值范围是（1，2）．

【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条 件的概念．属于基础题．

24．【答案】

22

【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）+y=2，

222

代入圆C得：（ρcosθ﹣2）+ρsinθ=2

2

化简得圆C的极坐标方程：ρ﹣4ρcosθ+2=0…

由（2）由

得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…

得点P的直角坐标为P（0，1），

∴直线l的参数的标准方程可写成…

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代入圆C得：化简得：∴∴

，

，∴t1＜0，t2＜0…

…

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