竞赛圆锥曲线专题阶段考试
（时间120分钟满分140分）
一：填空题（本题共8个小题，每题8分共计64分）
1.方程
6（x 4） 6（y 3
「二| 2 x + y - 18 |所表示的曲线是
2. 过点（.2007 ,0）的所有直线中，过两个有理点（纵坐标与横坐标都是有
理数的点）的直线条数为 __________
2 2
3. 如图，从双曲线 务1（a 0,b 0）的左焦点F引圆x2 y2 a2的切线，
a b
切点为T.延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，0为坐 标原点，则| MO | | MT |与b a的大小关系为 ________________
4. 对于每一个整数 n,抛物线y （n2 n）x2 （2 n 1）x 1与x轴交于两点
An,Bn,| AnBn| 表示该两点间的距离，则 |AB1| | A2B2 | L | A2008B2008 |= __________
3 , _____
5. 已知（，2），直线 h : x yJ1 cos b 0，直线 12 :
xsin y 1 cos a 0, l1
与l2
的位置关系是 ______________________
2 2 冬上
1
6. 若a, b, c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆
2
8
截得
线段的中点的轨迹方程为 _______________
y x 9
7. 过直线I :
上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为
F1 3,0 ,F2 3,0
，则椭圆的方程为 ______________
2 2 a 2 d
a x ■— y =1
8已知椭圆
2
的焦距是4,则a = _____________
二：解答题（9题18分，10题18分，11题20分，附加题20分共计76分）
9 （本题18分）设F是抛物线y2 4x的焦点，A、B为抛物线上异于原点
O的两点，且满足FA FB 0 .延长AF、BF分别交抛物线于点C、D （如
图）.求四边形ABCD面积的最小值.
10、（本题18分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率
e —，过左焦点&作x轴的垂线交椭圆于A, A两点，AA 4。
2 （1） 求该椭圆的标准方程；
（2） 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P，过P,P作圆心
为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q外。若PQ PQ，求圆Q的标准方
程。
I1
11.（本题20分）已知抛物线y2 4ax（a 0）的焦点为F,以点A（ a 4， 0）为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于 M、N两点。
（1） 求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。 （2） 设点P为MN的中点，是否存在这样的a,使得
1 FP 1
是
|FM 1
与
|FN 1
的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。 附加题（本小题满分20分）
共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于 A B的动点，且 满足
2
2 2
设A、B分别为椭圆 ~2 x
a b
2
b 0和双曲线+右1的公
AP BP AQ BQ R, | |
1。设直线 AP、BP、AQ BQ
的斜率分别为k、k2、k3、k4.
（1） 求证：k+k2+k3+k4=0；
（2） 设F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若
PF2//QR，求 kj
k22
k32
k42
的值。
竞赛圆锥曲线考试答案
1.椭圆2.解析：显然直线x
2007上不存在有理点。假设斜率为k的直线
y k（x .2007）上存在两个不同的有理点（X1,yJ和（X2,y2）。若k 0,则k 上 也 x2 x1
必为有理数。由y k（X1 . 2007）可得X1上 . 2007，此时等式左边是有理数而
k
右边是无理数，矛盾。另外当k=0时，对应的直线为OX轴，所以满足条件的直线有 且仅有1条。
3.. |MO| |MT | b
2008 4. 6.2(X 2)2
1.
5.垂直 2 2
2009
7.- x 2 45 解
设直线I上的点为
P t,t 9，取F1
3,0关于直线 析：
对称点
Q 9,6，据椭圆定义， 8 4
9. 设F是抛物线y2 4x的焦点，A、B为抛物线上异于原点
O的两点，且满足 FA FB 0 .延长AF、BF分别交抛物线于点
ABCD面积的最小值.
9•解析：设A （Xi,yJ、C（X2』2），由题设
知,
直线AC的斜率存在，设为 k .
因直线AC过焦点F（1,0），所以，直线 AC 的方程为
y k(x 1).
y联立方程组
2
k(x
°，消y得k2x2 2(k2 2)x k2
y 4x
C、D （如图）•求四边形
由根与系数的关系
知:
|AC| (X1 X2)2
2
2 1 k2
2k2
4
亍
4
又因为AC BD，所以直线 从而直线BD的方程为：y
故 SABCD - | AB | |CD |
2
当k 1时等号成立•所以, 、
2k2
4 .
X2
2
,
X2 1
k
(y1 y2)2
1 k2
.(冷
X2)2
4x1x2
4(1 k2
)
10分
1
BD的斜率为 -,
-(x 1)，同理可得k
| BD | 4(1 k2
). k
型字 8(k2 4
2) 8 (2 2) 32 k2
k2
四边形 ABCD的最小面积为32.
15分20分
10
11.解析：（1）因为 点A的坐标为（a 4 , 0）,抛物线y 4ax（a 0）的焦点为
F （ a， 0），准线为 l : x a，
2
麒认懼開的卜力畀力』+ £ 16 H ' 1 ■ （0 ）由崛'I的対铁十［町得of椚5 13- * 仏人又段％宀是椭闢上任意一点■则 戸主浏顒Tfc圏 片，1 设狀打以〉・由题怠』是舖B）上到Q的距离耻小的 点 因Jtt■上武当彗刁曲时W小值，又囲呵€ （ - .V 4t4）（所以上 忧肖，二％时駅舉打呦・从而； （［二％.且⑷円丄e K 笄⑵〉图 因为FQ 1严Q卫严仙■ r）所以QG QPT = （卉r 事川）■ hi -如・,1） = 0, 側…仝学小二? x 2 f . MWI 枚这样的BBar = 有彌个•丼掾准方程分别为 »誓）+八罟 16 2
11.已知抛物线y 4ax（a 0）的焦点为F,以点A （ a 4, 0）为圆心，| AF |为半径的圆在 x 轴的上方与抛物线交于 M、N两点。
（1） 求证：点 A在以M、N为焦点，且过 F的椭圆上。
（2） 设点P为MN的中点，是否存在这样的a,使得|FP|是|FM |与|FN |的等差中项?
如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。
|FA| 4
以A为圆心，|FA|为半径的圆在x轴的上方的方程为
(x
4) y 2 2
16
0, y 0)
y
2
4 ax
(x a 4)2
16, 0, y 0)
(x (2 8)x 8a
a
(兀%）X2,y2）（其中：Xi,yi（i 1, 2）均为正数），,
，
X1 X2
2aX1X2 8a ,
X
(2a
8)2
4(a2 8a) 64a 64
0
所以0 a 1
抛物线上的点到焦点与准线的距离相等 所以 |FM |
|FN | |为 a| 化 a| (兀a) (X2 a) (兀 X2)
2a
8
|MN | | FM | |FN | 8
因为点F、M、N均在O A上， 所以 | AM | | AN | | AF | 4 ,
则有
| AM | | AN | 8
因为 | AM |
| AN | 8, | FM | | FN | 8，且 | MN | 8
所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上 （2）假设存在满足条件的a,则有
2|FP | | FM | | FN | 8，即 | FP | 4
设点P的坐标为（Xo, yo），则有
XXi X2 o 4 a
2
yyi y2
o
2
、a 仁 Xi
X2）
由|FP| 4，
得
(4 a a)2
a（ . Xi X2）2 16
化简，得 2a a2 8a 2a（a 4）
所以a 0或 a 1，与0 a 1矛盾 故不存在满足条件的a，即不存在a值，使得点P为MN的中点，且|FP|是 |FM|与|FN|的等差中 项。
i2.解析：（i）设P、Q两点的坐标分别P(XI, yi) , Q(X2, y2)，则
为 k i+k2= —— yi 2xiyi 2Xi X a 2 2b ① ......... (4 分） X2 ii a X2 a i a yi
2b2
X2
2 a
y②
(分)
2
设 0为原点，贝U 2OP AP BP AQ BQ 2 OQ,
所以OP OQ，O, P, Q三点共线，于是得
Xi X2 yi
y2
由①②得 k i+k2+k3+k4=0; ............................... （ii 分）
2 2
⑵由点Q在椭圆上，有刍号=i.
a2
b2
由OP
OQ
，得(XI, yi)=
(X2, y2).
2 2
i
i
［心 Xi
yi
2
所以
X 2 = X 1, y2=
y 1 ,从而 2 a b
2
=
③
2
2
又由点P在双曲线上，有△芬马=i ④
a2 b2
2
由③④得
2
i 2
yi
X(i5 分)
i
亍，
因为 PH// QFi, 所以| OF 2|=
|OFi| ，所以
2
2
2
a
b2 X2
i i a2 a4 2 a
b2
1
（i8 分）
i b2
2
2
b4
2
由①得
k2
,
i k2 2
4 b4a Xi 4 2
4 •同理可得 k3 k4 4
.另一方面,
yi
kik2=—吐
yi
b2
b2 2 . a 类似地，k3k4= ―.
Xi
a X i a
a
故 k2
22
i
k2
k3 k42
2 2
ki k2 k3 k4
— 2(kik2+k3k4)=8 …(22 分)
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