无人机地面运动控制与仿真

控　制技：术ｊ　文章编号：１６７１—４５９８（２０１７）０４—００８７—０４　计算机测量与控制．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎ２ｔ＆Ｃ０１　７．２　ｏ５（ｎｔ４）ｒｏ　ｌＤＯＩ：１０．１６５２６／ｊ．ｃｎｋｉ．１１—４７６２／ｔｐ．２０１７．０４．０２５　中图分类号：ＴＰ２７　・８７・　文献标识码：Ａ　无人机地面运动控制与仿真　王　茜，孙　科　（中国飞行试验研究院，西安７１００８９）　摘要：为了解决无人机纠偏刹车系统中实际存在的问题，对无人机地面运动进行了研究，采用前轮转弯、方向舵、差动刹车联合使　用模式，以无人机的侧偏角、侧偏距为反馈信号，设计了无人机地面运动纠偏控制律，通过遗传算法的全局优化过程实现其纠偏参数寻　优，在Ｓｉｍｕｌｉｎｋ平台建立了无人机纠偏数学模型；试验结果表明，建立的无人机地面运动纠偏数学模型正确有效，能够模拟出无人机地　面运动的真实情况；基于遗传算法的控制策略能够实现一定范围内的无人机地面运动纠偏，提高跑道的利用率。　关键词：无人机；仿真；纠偏控制；遗传算法　Ｓｉｍｕｌａｔｅ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　０ｆ　Ｕｎｍａｎｎｅｄ　Ａｅｒｉａｌ　Ｖｅｈｉｃｌｅ’Ｓ　Ｇｒｏｕｎｄ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｗａｎｇ　Ｑｉａｎ，Ｓｕｎ　Ｋｅ　（Ｆｌｉｇｈｔ　ｔｅｓｔ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，Ｘｉ’ａｎ　７１００８９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｒｏｓｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｌａｔｅｒａｌ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｂｒａｋｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ，ａ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｌａｔｅｒａｌ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　Ｕｎｍａｎｎｅｄ　Ａｅｒｉａｌ　Ｖｅｈｉｃｌｅ　ｗａｓ　ｂｕｉｌｔ　ｏｎ　Ｓｉｍｕｌｉｎｋ，ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　Ｕｎｍａｎｎｅｄ　Ａｅｒｉａｌ　Ｖｅｈｉｃｌｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｗａｓ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｗａｓ　ｐｒｏｇｒａｍｍｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｆｒｏｎｔ　ｗｈｅｅｌ　ｓｔｅｅｒｉｎｇ，ｔｈｅ　ｎｏｓｅ　ｗｈｅｅｌ　ｓｔｒｉｎｇ，ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｎ　ｃｏｍ—　ｂｉｎｅｄ　ｂｒａｋｅ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｕｄｄｅｒ　ｔｏ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｔｈｅ　ｌａｔｅｒａｌ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ，ａｎｄ　ａｌｓｏ　ｂｙ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｌｌ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｇｅ—　ｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｉｔ　ｉｓ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｌｅｖｅｌ　ｏｆ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｕｎ　ｍａｎｎｅｄ　Ａｅｒｉａｌ　Ｖｅｈｉｃｌｅ’Ｓ　ｍｏｖｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ａｎｄ　ｃａｎ　ｔｈｕｓ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｕｎｗａｙｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｍａｎｎｅｄ　ａｅｒｉａｌ　ｖｅｈｉｃｌｅ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｌａｔｅｒａｌ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　Ｏ　引言　无人机地面运动是无人机安全起降过程的一个重要阶段，　通过对无人机地面运动的研究，对实现起降过程的自动控制有　着重大的意义。目前国内对于无人机的地面运动研究相对较　少，只有少部分无人机能够实现全自主起飞着陆。对无人机六　自由度地面运动，特别是偏航和侧向运动的研究不足，还有很　外力　’作用Ｆ的线运动，得到庾心运动方程组如　所不：　ｆ．　．∑Ｆ　Ｉ“一“　一叫十—　ｌ　一一　＋　＋　ｌ　一　一　＋　㈩　多工作需要去做。文献［１］分别使用了前轮转向与主轮差动　两种方式进行纠偏，对比了两种纠偏方式的纠偏效果；文献　［２］使用了主轮刹车与方向舵联合仿真纠偏；文献［－３－１使用　了主轮刹车、前轮转弯以及方向舵联合仿真，但在这些文献　中，在给出纠偏控制参数时，都是直接给出固定参数值，没有　统一给出纠偏参数寻优的方法。　本文针对以上问题，在ＭＡＴＬＡＢ中的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ平台中建　立了无人机机体模型、机轮模型、起落架模型、跑道／机轮摩　式中，∑　、∑Ｆ　、∑Ｆ　分别是机体坐标下的３个轴的合　力；ｍ为无人机的质量；“、　、　为无人机沿机体轴的３个线　速度；Ｐ、ｑ、ｒ为无人机沿机体轴的３个角速度。　１．２质心转动动力学方程　根据牛顿第二定律建立无人机在外和力矩∑Ｍ作用，得　到角运动方程绢如下所示：　：擦系数模型、刹车系统作动装置模型以及刹车装置模型；在此　基础上，使用了主轮刹车、前轮转弯以及方向舵联合纠偏控制　律，并且采用了遗传算法设计其控制参数，对无人机的地面运　动进行仿真分析。对改进、设计新型高性能控制律，提高无人　机着陆阶段的安全性能具有很大的借鉴意义。　（　＋　。　ｆ　Ｉ　一　ｐ）Ｊ　。ｑ＋　　∑　＋　∑　奇一　ｐｒ一　ｃ　。一　＋古∑　一ｃｚ，　１　无人机地面运动模型建立　１．１质心运动学方程　（　∑　＋　Ｉ二　±　！　Ｉ　一ｊ　　∑Ｍ２　在惯性地面坐标系下，应用牛顿第二定律建立无人机在合　收稿日期：２０１７一ｏ１一ｏ５；修回日期：２ｏ１７一ｏ１—２０。　作者简介：王ｉ￣（Ｊ９９０一），女，陕西延安人，硕士研究生，助理工程　师，主要从事机载测试方向的研究。　式中，∑Ｍｘ、∑　、∑　分别是机体坐标系下３个轴的合　力距；　、Ｉｙ、　、　分别为航向方向转动惯量、翼展方向转动惯　量、垂直方向转动惯量、航向与垂直方向转动惯量。　・　８８　・　计算机测量与控制　一第２５卷　１。３无人机地面运动受力分析　个最大值，这个最大值与跑道的状况，无人机速度以及轮胎　的充气压力有关，如下表示：　干燥路面：　…一在考虑无人机的受力时，必须考虑起落架与地面的相互作　用，无人机的受力分析图如图１所示，Ｇ为重力；Ｔ为发动机　慢车推力；Ｆ　为伞阻力；Ｙ为空气升力；Ｘ为空气阻力；Ｚ为空　气侧力；Ｆ　Ｆ　，Ｆ　分别为纵向摩擦力，侧向摩擦力以及支持　０．９１２（１—０．００１１户）一０．０００７９Ｖ　（９）　潮湿路面：　，（０．９ｌ一０．００１Ｐ）（１—０．００５２Ｖ）　Ｖ＜２２４　“一力，　一１，２，３分别为前轮，左主轮，右主轮。　｛　ｏ．２６５（ｏ．９１～ｏ．ｏｏ１　）　＞２２４　。’　图ｌ无人机地面运动受力分析　１．３．１　重力　无人机重力（　的分量为［ｏ　０　］　。　１．３．２气动力　阻力：Ｘ一０．５　ｐｓＶ　（３）　侧力：　Ｙ一０．５Ｃ　ｐｓＶ　（４）　升力：　Ｚ一０．５Ｃ，．ｐｓＶ　（５）　式中，Ｃ　、Ｃ　、Ｃ　为气动系数，在机体坐标系下的值；Ｃ　、　、Ｃ　为力矩系数，在机体坐标系下的值；１０为空气密度；５为机翼　面积。　１．３．３发动机推力　在机体坐标系中，发动机推力矢量表示为：　Ｔ一［Ｔｃｏｓ％一Ｔｓｉｎ％］　（６）　１．３．４地面对无人机的作用力　地面对无人机的作用力主要是由地面对轮胎产生的纵向摩　擦力，侧向摩擦力，以及起落架对无人机的垂直方向的支　撑力。　１．３．４．１起落架支反力　起落架的压缩力为：　Ｆｚ—Ｋｌ△Ｚ＋Ｋ２　ｚＳＺ　（７）　式中，Ｋ　为弹簧系数；Ｋ。为阻尼系数；△Ｚ为起落架位移变　化量。　１．３．４．２轮胎　跑道摩擦力　刹车制动时主要依靠轮胎与地面产生摩擦力来刹停，跑道　与轮胎的摩擦系数不是一个常量，它受很多因素的影响，例如　无人机速度、滑移率、无人机载荷、轮胎侧倾角、跑道状况等　等复杂因素。　跑道对轮胎的摩擦力可以分为纵向及侧向两个方向来　考虑。　一Ｆｚ　，Ｕｘ　（８）　Ｆｙ—Ｆｚ　Ｙ　２无人机与地面摩擦系数的求取　２．１总摩擦系数　根据相关资料可以知道，跑道给机轮提供的摩擦系数存在　结冰路面：　，０．０４９—０．０００２９Ｖ　Ｖ＜１６０　ａｘ一｛　。．Ｏ２　＞１６ｏ　ｎ　式中，Ｐ为轮胎充气压力；Ｖ为无人机速度。　在这里，我们定义轮胎的滑移率为：　／Ｏ＂ｘ一　（１２）　Ｉ　—Ａｙ／　式中，ｚｉｚ－：Ⅵｃｏｓ　一ｚ，Ａｙ—Ｖｔｓｉ　；　，　分别为轮胎的纵向及　侧向滑移率；．７２，　分别为轮胎的纵向及侧向位移；卢为轮胎的侧　滑角。　为了更好的表示与理解，定义轮胎的广义滑移率为：　ｆ　一　Ｎｘｏ－　　ｌ｛　一等　　ｌ西—　。’　一￣／　＋　式中，西，　，　为轮胎总体侧向及纵向的广义滑移率；Ｎ　，Ｎ　为轮胎的刚度系数；　，　为轮胎的纵向及侧向摩擦系数；Ｆ：　为轮胎的垂直载荷。　如图２所示，根据摩擦椭圆假设。＝］，我们可以得到，无人　机的纵向摩擦系数最大值及侧向摩擦系数最大值满足：　一　（１４）　再根据受力分析，通过合理的简化可以近似得到，无人机　的纵向摩擦系数最大值及侧向摩擦系数最大值满足：　…一　；…＋　；…　（１５）　并且：　ｔａｎｐ一　唑　（１６）　ｍ　式中，　…，　…　分别为轮胎纵向与侧向的摩擦系数的最大值。　２．２纵向摩擦系数　准稳态模型中，最著名同时也是最典型的模型就是Ｐａｃｅｊ—　ｋａ模型，也叫“魔术公式”刚，由于该模型能够狠好的匹配实　验数据，因此本文使用该模型模拟计算轮胎与跑道间的纵向摩　擦系数，具体表达式如下：　一Ｂ１　ｓｉｎ（Ｂ２　ａｒｃｔａｎ（Ｂ３　））　（１７）　式中，Ｂ　为峰值因子，Ｂ　一　…；Ｂｚ为刚度因子；Ｂ。为曲线因　子。　在不同跑道状态下，实验测得的Ｂ。，Ｂ。的取值分别为　表１不同跑道状态Ｂｚ，Ｂ。的取值　干跑道　湿跑道　冰跑道　Ｂ２　１．５３４４　２．０１９２　２．０８７５　Ｂ３　１４．０３２６　８．２０９８　７．２Ｏ１７８８　第４期　王茜，等：无人机地面运动控制与仿真　・　８９　・　２．３侧向摩擦系数　侧向摩擦系数与轮胎的侧向刚度、垂直载荷，轮胎侧偏角　的因素ｍ　有关，左主轮的侧偏角为：　ｆ　二！　一　“若　≤０，　一　，　一　一瓯。　当无人机速度达到某一值后且偏离跑道中心线，此时纠偏　和刹车两种状同时存在，首先飞控会根据速度的不同给出不同　］　的刹车量，若果此时机轮偏离跑道中心线，刹车控制器也会给　出相应的纠偏刹车量，最后将刹车量和纠偏刹车量叠加，送给　刹车机构，实现刹车、纠偏、再刹车的循环状态。　地面运动的纠偏参数设计就是其１Ｏ个控制参数ｋ　，ｋ　，　ｋ　，ｋ，，ｋ　，　，ｋ　，ｋ　，ｋｉｙ，　的选取问题，由于整个控制过程　　｝＋　×　１　ｌ　Ｊ　右主轮的侧偏角为：　一…［　］　㈤　中控制对象的高度非线性、时变不确定性，常规的ＰＩＤ参数　前轮可以相对机体偏转，前轮的侧偏角为：　一一０ｊ．＋－ａｒｃｔａｎ（　吾　１　（２Ｏ）　式中，。　，ａ　，ｂ　为左右主轮及前轮到重心的水平距离及纵向距　离；ｒ为无人机的偏航角速度；　为给定控制是无人机速度在　机体坐标系的分量；［　］为无人机速度在稳定坐标系　中的分量。　根据上面求得的侧偏角和广义滑移率，轮胎／跑道的摩擦　系数为：　ｆ（　一寺　。）　…Ｉ　Ｉ＜１・５　一　（２１）　ｌ—　Ｉ　＞１．５　其中　一筹　为转弯刚度　一（　）　。　Ｎ　一ｃ　户＋。．　户　（　．ｚ（軎）一ｓ．ｓ（軎）　）ｃｚｚ　一　：一４－ｏ．０３ｗ　（２３）　２．４（户＋Ｐ，）￣／　式中，Ｐ为轮胎充气压力；Ｐ　为轮胎额定充气压力；　为轮胎宽　度；ｄ为轮胎直径；　为轮胎压缩量；Ｃ（为转弯刚度系数。　Ｃ的取值如表２所示。　表２　Ｃ　的取值　轮胎型号　Ｃ　取值　Ｎ（ｆｏｒｃｅ／ｒａｄｉａｎ）　Ｎ（ｆｏｒｃｅ／ｄｅｇ）　Ｉ　６３　１．１　Ⅲ　６９　１．２　Ⅶ　５７　１．０　３纠偏控制律设计　无人机实时输出横侧向的运动信息，输入传动刹车控制律　通道中，经过一定的运算分析，产生差动刹车指令，传给相应　的刹车机构，刹车机构产生刹车量，控制无人机的侧偏距和侧　偏角保持在一定的范围内。　侧偏距为主反馈信号，同时引入侧偏速度、偏航角、偏航　角速度信号以改变纠偏控制性能。这些信号被送人刹车纠偏控　制律模块，刹车纠偏模块产生刹车指令，刹车控制器根据刹车　指令给出左右刹车机构不同的纠偏刹车量，刹车机构叠加纠偏　刹车量和刹车量，将叠加后的刹车信号送给电控刹车阀，对无　人机产生左偏或右偏控制作用。　一ｋ　（　—ｙｏ）＋　＋ｋ　（　一　）＋　ｒ　（２４）　若　≥０，　一　，　一瓯＋　；　选取方式已不能达到理想的控制效果。因此在进行参数设计　时，不能完全依赖其数学模型，而且要能实现实时的调整，遗　传算法在这方面具有其独特的优越性。因此在本文中采用遗传　算法设计其控制参数，并对其进行仿真。　在无人机地面运动时，当已经产生了一定的侧偏距，对其　进行纠正时，要求系统的响应满足以下条件：　１）系统能平稳快速的回到跑道中心线；　２）在纠偏过程中，最大的侧偏距不能超过给定的范围。　按照这个要求，规定该系统的响应时间不超过１０　Ｓ，最大　的侧偏距不超过１Ｏ　ｍ。　各个系数ｋ　，ｋ　，ｋ　，ｋ　，ｋ　ｋｗ，ｋ　，ｋ　，ｋ　ｋ　的范围均　为［Ｏ，１］，其适应函数为：　Ｄ　ｓ　＋２￣ｗ　：　＋　ｒ９…　、　　式中，Ｄ　为纠偏参考模型输出；Ｄ　为侧偏指令；ｃｕ　为二阶环　节自然频率；　为相对阻尼比。　适应值函数为：　Ｎ　ｆ一１０一＞　ｌ　Ｄ　（　）一Ｄ　（　）ｌ　（２６）　ｉ一１　式中，Ｄ　（　）为　Ｔ时刻参考模型的侧偏距输出值；Ｄ　（　）为　Ｔ　时刻无人机的侧偏距；Ｔ为数据值解算的步长；Ｎ为总解算时　间对应的解算总步数。　４仿真结果分析　无人机在于跑道着陆时就存在ｌＯ　ｍ的初始侧偏距进行纠　偏刹车的仿真曲线如图２～９所示。由仿真图可以观察到，无　人机在干跑道１０　１Ｔｔ纠偏时的刹车距离为３９０　ＩＴＩ，刹车时间为　１９　Ｓ。与无初始侧偏距的情况进行刹车的情况相对比，刹车距　离增加，刹车时间变长。产生这种情况的原因主要有两点：第　一点是侧偏距的存在，使得无人机滑跑的轨迹由直线变为曲　线；第二点是由纠偏策略决定的，无人机在着陆滑跑时，在制　动的同时还需要纠偏。在制动时，需要设定一个刹车量的标准　值，左主轮与右主轮都按照这个刹车百分比的刹车压力来刹　车，在纠偏时，需要降低某个主轮的压力达到纠偏的目的。比　如无人机在跑道中心线的右侧，欲使无人机回到跑道中心线需　要其机头向左偏转，在这个过程中，左轮的刹车压力不变，右　轮的刹车压力降低，右机轮速度变快，它与地面的结合力降　低，左右轮与地面结合力的差距产生了向左的偏航力矩，最终　实现纠偏的目的。整个纠偏过程中中，由于刹车压力是在预置　压力的基础上减少，故从总体上来看刹车压力减小，刹车距离　变长，刹停时间也变长。　从仿真结果还可以看到，侧偏距由初始的１０　ｍ平稳的减　・　９Ｏ　・　计算机测量与控制　第２５卷　＼　　！艟　、ｋ———　一　时间／ｓ　图２侧向位移变化　，，　—　—　一，　／　／　／　／　／　／　图３刹车距离变化　：　蠢　…ｌ…｝Ⅲ　：　图４无人机高度变化　｝　＼　｜　＼；　＼　，　：　ｉ　７１　；＼　／　图５无人机滚转角变化　０・　０－　■。’　援０　八ｌ　０・　｜　０．　时间／ｓ　图６无人机俯仰角变化　０．Ｏ４　———　、ｎ０２　～　０　／　一＿０．０２　＼　／　；　０４　ｊ　＼　｝　ｎｌ０　＿０．１２　图７无人机偏航角变化　；：　４０　３５　—２０　磺１５　：　０　图８无人机速度及机轮速度　Ｒ　幽　图９刹车压力变化　小，经过一个较小的震荡后，保持在０附近。滚转角在一个极　小的领域内震荡并趋于稳定，基本保持在０。，故机身不会发生　很大的滚转运动，造成无人机的事故。偏航角初始时由于无人　机机头向左偏转，故有一个很小的负角度，后来逐渐调整，最　终也恢复到Ｏ。附近。这说明了在干跑道滑跑时，对于１０　ｍ的　初始侧偏距，具有非常良好的纠偏效果。　５　结束语　考虑无人机在地面运动时左右轮受力不一致的情况，在　Ｍａｔｌａｂ／ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真平台下，建立了六自由度模型模型。并　通过为设计刹车控制律，解决了主轮载荷不同时可能会出现的　侧滑等安全问题，提高了飞机地面运动的稳定性和安全性。仿　真结果证明模型有效，控制算法可行。　参考文献：　［１］陈　磊．飞翼飞行平台地面滑跑建模与航迹纠偏控制研究ＥＤ］．南　京：南京航空航天大学，２００９．　［２］张华亮，周洲．飞翼无人机地面滑跑建模与航向控制［Ｊ］．系统　仿真学报，２００９，２０（２４）：６７５９—６７６２．　［３］周乃恩．无人机起降纠偏控制技术研究［Ｄ］．哈尔滨：哈尔滨工程　大学，２０１１．　Ｅ４］Ｂａａｒｓｐｕｌ　Ｍ．Ａ　Ｒｅｖｉｅｗ　ｏｆ　Ｆｌｉｇｈｔ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ＥＪ］．Ｐｒｏ—　ｇｒｅｓｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ａｅｒｏｓｐａｃｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｓ０３７６—０４２１），１９９０，２７（１）：１—　１２Ｏ．　［５］Ｇｕｏ　Ｋ　Ｈ．Ａ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｔｉｒｅ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｂｒａｋｉｎｇ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｔｅｅｒｉｎｇ　ｓｉｍ—　ｕｌａｔｉｏｎ［Ｒ］．ＳＡＥ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｐａｐｅｒ，１９８９．　［６］Ｃａｂｒｅｒａ　Ｊ　Ａ，Ｏｒｔｉｚ　Ａ，Ｃａｒａｂｉａｓ　Ｅ，ｅｔ　ａ１．Ａｎ　ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｍａｇｉｃ　ｔｉｒｅ　ｍｏｄｅｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　＿Ｊ］．Ｖｅｈｉｃｌｅ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ，２００４，４１（２）：１０９—１２７．　［７３　Ｓｍｉｌｅｙ　Ｒ　Ｆ。Ｈｏｒｎｅ　Ｗ　Ｂ．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｐｎｅｕｍａｔｉｃ　ｔｉｒｅｓ　ｗｉｔｈ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｏ　ｍｏｄｅｒｎ　ａｉｒｃｒａｆｔ　ｔｉｒｅｓ［Ｊ］．Ｔｉｒｅｓ，１９５８．