试卷一
一、填空(每小题2分，共10分) １．设
是三个随机事件，则
表示“出现奇数点\
满足
,
至少发生两个可表示为______________________。 表示“点数不大于3”，则
，则，则,
表示______________________。 ___________。 ___________。 ，
、
,
２。 掷一颗骰子，
３．已知互斥的两个事件４．设５．设
则
为两个随机事件，
是三个随机事件，
至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球\"，则
（A) 取到2只红球 （B） 取到1只白球 （C） 没有取到白球 (D） 至少取到1只红球
2．对掷一枚硬币的试验， “出现正面”称为( ）.
（A） 随机事件 (B） 必然事件 (C) 不可能事件 （D） 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（ )。
(A） A （B） B （C) AB （D） φ 4. 设
和
是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是( ）。
与
互斥
为两随机事件,且（A） (C）
6。 设
(A） (C)
相互独立
(B) （D）
（B） （D)
与
不互斥
(A） (C)
5。 设
( ）。
，则下列式子正确的是( ).
(B） (D）
，则
，则
（B） 0.6
（D） 0.7
（ ）.
7.设是三个随机事件，且有
（ ).
（A) 0。1 （C） 0.8
8。 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。
（A） p(1– p） （B) 4 p （1– p）
2323
（C) 5 p （1– p） (D) 4 p （1– p）
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2
3
3
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9。 设A、B为两随机事件，且
(A）
,则下列式子正确的是（ ）。 (B）
(C） （D）
10。 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生，则( )。
（A） P(A B） = P （C) （B） P (A） + P （B) – P （C） ≤ 1 (C) P （A） + P （B） – P (C） ≥ 1 （D) P （A) + P （B) ≤ P （C)
三、计算与应用题(每小题8分,共64分）
1。 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个.
求取到的两个球颜色不同的概率。
2。 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。
3. 一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。
4。 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。
5。 加工某种零件,需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0。2，0。1，0。1，并且任何
一道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。
6。 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。
7。 一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件,如果发现有次
品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收, 求其中确实没有次品的概率.
8。 某厂的产品,按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0。8
与0。9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验， 求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题(共6分) 设
，
试卷一 参考答案
一、填空
1。 或 2。 出现的点数恰为5 3。
与
互斥
则
。证明
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4。 0。6
故
5。
至少发生一个,即为
又由 故
二、单项选择
1． 2。 A 3. A 利用集合的运算性质可得。 4．
与
互斥
故 5．
故 6．
相互独立
得
7。
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且
则
8。
9. B
10。 B
故 P (A) + P (B） – P (C） ≤ 1 三、计算与应用题 1。 解：
设
表示“取到的两球颜色不同”，则
而样本点总数
故
2. 解:
设
表示“能把门锁打开”,则
，而
故 3. 解：
设
表示“有4个人的生日在同一月份”，则
而样本点总数为
故
4。 解:
设 则
表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件包含的样本点数为
。而样本点总数为
=“没有取到次品”
故
5. 解：
设
“任取一个零件为次品”
由题意要求则
于是 6。 解：
设
表示“产品是一极品”,
，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品\
表示通过三道工序都合格，
表示“产品是合格品\"
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显然于是
，则
即 该产品的一级品率为7. 解：
设 又设
“箱中有件次品”,由题设,有
“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
，
于是
8. 解：
依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 则
四、证明题 证明
表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
，
由概率的性质知
又
且
故
, 则
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试卷二
一、填空（每小题2分，共10分) 1. 若随机变量 2。 设随机变量 3。 设随机变量 4. 设随机变量 5。 若随机变量
，则
的概率分布为 的概率分布为
,且 ，则
__________.
，,则
，则
__________。 __________。
__________.
则 __________。
二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1。 设 与 分别是两个随机变量的分布函数,为使
量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取（ ）。
（A) (C）
（B） (D）
是某一随机变
2。 设随机变量
(A）
的概率密度为
(B）
，则（ )。
（C） （D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是（ ）.
(A） （B）
(C) （D)
4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。
(A) (B）
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(C）
5. 设随机变量
（A） (C)
6. 设
的概率密度为
(D) ，
，则(B） （D）
，则（ ）。
，则
（B) （D) （ ）. (B） (D）
的概率密度为（ )。
服从二项分布(A） (C)
7。 设
（A） （C)
8．设随机变量的分布密度为
（A） 2 （C) 1/2 9．对随机变量来说，如果
(A） 二项分布 （C） 正态分布 10．设
， 则
（B） 1 （D） 4
,则可断定不服从（ ）。
(B） 指数分布 (D) 泊松分布
（ ).
( ）。
为服从正态分布的随机变量，则
(A） 9 （B） 6 （C） 4 （D) —3
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个,直到取到新球为止。
求抽取次数
的概率分布.
2。 车间中有6名工人在各自独立的工作,已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求(1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2)若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少?
3。 某种电子元件的寿命
是随机变量，其概率密度为
求（1)常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4。 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量
求(1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在
，且
。
内的概率不小于0。9。
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5. 设随机变量
求
6。 若随机变量
求
7。 设随机变量
求
和
概率密度
。 。
服从泊松分布，即.
，且知。
的概率密度为.
.
8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红
或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以求(1）
的概率分布；
表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
（2)
四、证明题（共6分) 设随机变量证明:
。
服从参数为2的指数分布. 在区间
上，服从均匀分布。
试卷二 参考答案
一、填空 1. 6
由概率分布的性质有 即 得 2。
,则
.
，
3. 0。5
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4。
5。 0。25
由题设，可设
即
则
0 0.5
二、单项选择 1。 （
）
由分布函数的性质，知 则 2。 （
)
由概率密度的性质，有
3. (
）
,经验证只有
满足,
选
1 0。5 由概率密度的性质,有
4。 （
)
由密度函数的性质,有
5。 （
）
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是单减函数，其反函数为
由公式，
6. （
） 由已知
7。 (
）
于是
服从二项分布
,则
的密度为
,求导数得
又由方差的性质知，
8。 （A） 由正态分布密度的定义,有
9. (D）
时，只能选择泊松分布.
∴如果10。 (D)
∵ X为服从正态分布N (-1, 2)， EX = —1 ∴ E（2X - 1） = -3 三、计算与应用题 1。 解:
设
为抽取的次数
的可能取值为:
只有个旧球，所以由古典概型，有
则 2. 解: 1 2 3 4 设 表示同一时刻需用小吊车的人数,则是一随机变量，由题意有，
，于是
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（1）（2)
的最可能值为
，即概率达到最大的
3。 解:
(1）由 可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此,若用
表示“线路正常工作\"，则
而
故 4。 解:
（1）
（查正态分布表)
(2）由题意
即 5。 解:
查表得
.
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
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又由题设知
故由公式知: 6。 解：
，则
而由题设知 即 可得
故
查泊松分布表得,
7。 解:
由数学期望的定义知,而
故 8。 解:
(1）
的可能取值为
即 0 1
且由题意，可得
2 3 （2）由离散型随机变量函数的数学期望，有 word完美格式
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四、证明题 证明：
由已知
则
又由
得
连续，单调,存在反函数
且
当故
时，
则
即
试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分) 1. 设二维随机变量
的联合分布律为， 则
__________，
和
__________。
2。 设随机变量相互独立,其概率分布分别为，
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则 3。 若随机变量
则 4。 已知
与
__________。 与
相互独立，且
，,
服从__________分布。 相互独立同分布,且 则 5。 设随机变量
__________. 的数学期望为__________。
、方差
，则由切比雪夫不等式有
二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 若二维随机变量
（ ）. (A)
的联合概率密度为 ，则系数
(B） (D）
和
分别服从正态分布
和
，则下列结论正确的是
（C)
2。 设两个相互独立的随机变量
（ ）。
（A） （C)
(B） (D）
3。 设随机向量(X ， Y）的联合分布密度为（A) （X ， Y） 服从指数分布
(C） X与Y相互独立 4. 设随机变量( ）。
（A) （C）
5. 设随机变量
, 则( ）.
（B) X与Y不独立 （D) cov(X ， Y） ≠0
相互独立且都服从区间[0，1］上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有
与随机变量
(B） （D）
相互独立且同分布， 且
, 则下列各式中成立的是（ )。
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（A) （B)
6．设随机变量
（A) （C）
7。 若随机变量相关系数
是
（C) （D）
的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.
的线性函数，
(B） （D）
且随机变量
存在数学期望与方差，则
与
的
( ）。 (A） （B）
(C）
（D）
与
是个相互独立同分布的随机变量，
，
不相关的充要条件是（ ）。
8. 设
（A） （B） （C） （D）
9。 设
是二维随机变量,则随机变量
则对于
(A） (C）
10。 设
,有（ ）.
(B） （D）
，为独立同分布随机变量序列，且Xi ( i = 1，2，…）服从参数为λ的指数分布，
正态分布N ( 0， 1 ） 的密度函数为， 则（ ）.
三、计算与应用题（每小题8分,共64分） 1。 将2个球随机地放入3个盒子，设
求二维随机变量2。 设二维随机变量
表示第一个盒子内放入的球数,
表示有球的盒子个数。
的联合概率分布。 的联合概率密度为
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（1）确定(2）求 3. 设
的值；
。
的联合密度为
（1）求边缘密度(2)判断4. 设
与
和
；
是否相互独立。
的联合密度为
求5. 设
求（1)（2)（3）6。 设
的概率密度.
，
的联合概率密度；
； 。
的联合概率密度为
，且
与
相互独立.
求及.
7。 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5。
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率。
8。 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10％的这批产品不被接受的概率达0。9。
四、证明题（共6分） 设随机变量
试卷三 参考解答
一、填空 1。
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
的数学期望存在,证明随机变量
与任一常数的协方差是零。
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2。
3。
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且
,
，
∴
4。
5。
二、单项选择 1。 （B)
由
即 ∴选择（B）。
2。 （B）
由题设可知,故将
标准化得
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∴选择(B）。 3。 （C)
∴选择(C)。 4。 （C）
∵随机变量
相互独立且都服从区间［0，1］上的均匀分布， 则
∴选择(C）. 5. （A）
∴选择(A）. 6. (A)
∵由期望的性质知 ∴选择（A）. 7. （D)
∴选择（D）。 8. (B）
与
即 则
∴选择(B)。 9。 (C)
不相关的充要条件是
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∴选择(C）。 10. （A）
Xi （ i = 1,2，…）服从参数为λ的指数分布，则
故
∴选择(A)。 三、计算与应用题 1。 解
显然
的可能取值为
；
的可能取值为
注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有
即
的联合分布律为 2. 解
(1)由概率密度的性质有
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可得 （2）设
,则
3. 解
（1）
即
即 (2）当
时
,
故随机变量4。 解
先求当
与
不相互独立。
的分布函数时，
显然，随机变量
，
的取值不会为负，因此
当 时,
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故
的概率密度为
5。 解
（1）
与
相互独立 的联合密度为
(2)
（3)
6。 解
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于是 由对称性
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故
7。 解
设
。
表示第次炮击命中目标的炮弹数，
，
由题设，有
则次炮击命中目标的炮弹数 ，
因
相互独立，同分布,则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
8。 解
设应检查个产品,其中次品数为，则由题设,
这里，可以认为较大，则由棣莫弗—拉普拉斯定理知，
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近似服从正态分布依题意,有
即
亦即
查表得
故至少应检查个产品，才能达到题设要求.
四、证明题 证
由协方差的定义及数学期望的性质，得
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