数学概念有效教学的几点建议

靖江外国语学校 袁泉

数学概念是数学基础知识的基石，是数学思维的细胞，是整个教学内容的“脉络”，是融会贯通掌握知识的核心，是把知识学活的必由之路。教好数学概念是提高教学质量的关键。在平时教学中，教师常常感叹概念教学难讲，下面是我这几年教学中的几点建议。

一、新概念要建立在直观上

数学概念的形成，必须建立在对事物的具体形象的认识，所以要引导学生通过观察、分析、比较，找出事物的本质特性．教学中，要充分运用直观的方法，使抽象的数学概念成为看得见、摸得着、想得来的东西，成为学生亲身体验过的东西，这样既可以帮助学生理解概念．例如学生刚进入初一，引入绝对值概念，绝对值既是重要概念又是难学内容，学生第一次接触到绝对值符号的抽象性、绝对值概念表述的复杂性．为了突破绝对值教学难点，在教学过程中，一定要揭示绝对值的发生过程，逐步去理解它、掌握它．首先通过复习有理数的组成以及在数轴上的相应位置；其次以旧引新，如在数轴上有A、B两点，A点在数轴上的原点右边的“3”上，即对应有理数“3”，而B点在数轴上原点，左边的“—2”上即对应有理数“—2”，问：A点到原点距离是3吗？为什么？B点到原点的距离是—2吗？为什么？对B点离开原点2个单位，所以距离应是2，即—2的相反数，这里的结论发生了质的飞跃，由“—2” 跃到2，即由负有理数变为它的相反数——正有理数；最后引入绝对值的概念时，我们联想到测量两点间距离时，人们是用两支标杆立在两点上，两杆之间的长度即为距离，也就是不论从甲杆量到乙杆，还是从乙杆量到甲杆，都得到同一个数值(距离)，这个数与方向(正负)无关，一律为非负的；对于这类数，我们只要在这个数的两侧立上两支标杆“︱︱”就可达到目的，即正数的两侧加上竖“︱︱”(绝对值)就是它本身，零的两侧加上“︱︱”(绝对值)仍是零，负数的两侧加“︱︱”(绝对值)就是它的相反数．通过上述的讲述，使学生初步体会到绝对值是怎样产生的，绝对值的产生来源于实践，有着现实的背景，同时可以使他们初步理解绝对值的含义，再去学习绝对值就容易掌握了。

二、重视剖析，揭示本质属性

数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的，在教学中，抽象概括出概念后，还要注意剖析概念的定义，帮助学生认识概念的含义．如为了掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析。如(1)在某个变化过程中，有两个变量“X和Y”是说明①变量的存在性；②函数是研究两个变量之间的依存关系；③在这个变化过程中，两变量的取值都有一定的范围．(2)“对于在某—范围内的每一个确定的值”是说明变量X的取值是有范围限制的，即允许值范围也就是函数的定义域.(3)“Y有唯一确定的值和它对应”说明有唯一确定的对应规律．(4)“Y是X的函数”揭示了谁是谁的函数．由以上剖析可知，函数概念的本质是对应关系，即两个集合之间存在着一种对应关系：yfx

三、抓要点，促深化

教师在概念教学时，切忌直截了当就定义而讲定义，应更多地从概念的产生和发展过程中为学生提供思维情景，让他们通过观察，比较，概括，由特殊到一般，由具体到抽象，这样不仅能帮助学生理解和掌握新概念，而且也使他们的抽象思维得到发展。

案例“正弦和余弦”一课的教学设计。 第一步 创设两个问题。

问题1 在RtΔABC中，已知斜边和一条直角边怎样求另一条直角边？ 问题2 在RtΔABC中，已知∠A和斜边，怎样求∠A的对边BC？

对于问题1，学生很快想到利用勾股定理解决，对于问题2，有些学生很可能也想到用勾股定理，经尝试无法解决，从而产生认识冲突——如何解决这类问题？激发了学生的探究欲望。

第二步 引导学生探究发现。

1.启发思考. 在RtΔABC中，∠A的斜边和∠A的对边BC有什么关系呢？学生可能无法下手.此时，教师作点拨，能否从∠A的特殊值中找关系？

2. 从探究特殊情况中发现规律

（1）当∠A=30时，在RtΔABC中，∠A的对边和斜边有什么关系？ 学生利用图形和已知知识，不难发现：∠A的对边是斜边的一半。

（2）学生画一个比原直角三角形大（或小），且∠A=30的RtΔABC，结果发现什么？（发现都有∠A的对边是斜边的一半）

（3）要求学生探讨一下，当∠A=60时，∠A的对边与斜边有什么关系？

学生不难发现，在直角三角形中，当∠A=60时，∠Α的对边与斜边的比值也是固定值。 3.由特殊到一般，引导学生大胆猜想，从而得到当锐角A取其它固定值时，∠A的对边与斜边的比值也是固定值。

4.证明猜想.引导学生利用相似三角形的知识证明此猜想。 第三步 引入“正弦和余弦”的定义。

在“正弦和余弦”的教学中，学生通过自主探究，经历了正弦和余弦概念的发生过程，实现了由形到数，由具体到抽象的思维过程，从而培养了学生的概括和抽象思维能力，同时也激发了学生学习的动机和探究的热情。

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四、注意归纳、比较、区分异同

数学的许多概念，它们之间既有联系又有区别，有些概念同种而属差较小，学生容易混淆．教学中应引导学生进行归类比较，学会比较方法，分析两种概念的从属关系，区分它们的异同之处．如平方根与算术平方根是联系密切的两个概念，教学中应引导学生比较，从符 号表示上，aa0是表示a的平方根，aa0是表示a的算术平方根；从读法上，

前者读作a的平方根，后者读作a的算术平方根或根号a；相同点：它们的被开方数都是非负数；不同点：一个正数的平方根有两个值，且互为相反数，一个正数的算术平方根只有一个且为正数；联系点：一个正数的算术平方根是正平方根．

五、把概念串连起来，融汇贯通

数学中的概念有些是互相联系、互相影响的，我们在教完一个单元或一章后，要善于引导学生把有关概念串连起来，充分揭示它们之间的内部规律，从而使学生对所学概念有个全面、系统的理解．例如，在讲完直线与圆的位置关系这一节后，我们可以这样串连一下概念． 圆中两条弦分平行与不平行两种，平行就有“圆中两平行线所夹的两条弧相等”这个定理，如果不平行就一定相交，相交又分圆内相交和圆外相交．圆内相交，有相交弦定理，圆外相交，有割线定理，如果把一条割线绕交点移动使之与圆相切，就得到切割线定理．这样串连后就会使学生所学的知识得到进一步巩固和提高。