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重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考
数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题
1．复数 的共轭复数 在复平面中对应的点位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． ，
B． ， C． ， D．
，
3．过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 ， ， ， 两点，若 ，则 （ ） A． 5 B． 6 C． 8 D． 10 4．抛物线 的焦点到双曲线
其中一条渐近线的距离为（ ）
A．
B． 1 C． D． 2
5．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A． 3 B． 7 C． 5 D． 1
6．在等差数列 中， ， ，则 （ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
7．偶函数 在 ， 上是增函数，且 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
试卷第1页，总4页
………线…………○…………
8．若 ，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．已知函数 ( ，e是自然对数的底数)在 处取得极小值，则 的极大值是（ ） A． B． C． D．
，10．如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， 为 （ ） 的中点，则
………线…………○…………
A．
B． C．
D． 11．过双曲线
， 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延
长 交双曲线右支于点 ．若线段 的中点为 ， 为坐标原点，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D． 无法确定
12．已知函数 ，
， ，函数
零点的个数为（ ）A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
试卷第2页，总4页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………
………线…………○………… ………线…………○…………
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题
13． ， ， ， ，若 ，则 ________________． 14．已知 ， ，则 __________．
15．已知点 是抛物线 ： 的对称轴与准线的交点，点 是抛物线的焦点，点 在
……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………抛物线上，且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为________________．
16．已知函数 在 ， 上没有最小值，则 的取值范围是________________． 评卷人 得分 三、解答题
17．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
． (1)求角 ；
(2)若 ，求 的最小值． 18．已知圆 ： ．
(1)若直线 过点 ， 且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程；
(2)从圆 外一点 向圆 引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，满足 ，求点 的轨迹方程及 的最小值．
19．设数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若
，当 时，求 ．
20．已知椭圆
右焦点 ， ，离心率为
，过 作两条互相垂
直的弦 ， ，设 ， 中点分别为 ， ． (1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标．
试卷第3页，总4页
………线…………○…………
21．已知函数 ；
(1)当 时， ，使 成立，求 的取值范围；
………线…………○………… (2)令 ， ， ，证明：对 ， ， ，恒有 ．
22．已知直线 的参数方程为
（ 为参数），在平面直角坐标系 中，
以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 只有一个公共点，求倾斜角 的值. 23．已知函数 ． (1)若 的最小值为4，求 的值；
(2)当 ， 时， 恒成立，求 的取值范围．
试卷第4页，总4页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
由已知z直接求 ，求得坐标得答案． 【详解】 ∵z=1+2i， ∴ =1﹣2i．
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为（1，-2），位于第四象限． 故选：D． 【点睛】
本题考查了复数的几何意义，是基础题． 2．B 【解析】 【分析】
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标． 【详解】
解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选：B． 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键． 3．C 【解析】
试题分析：根据抛物线中焦点弦长公式 ，可得 ，故选择C． 考点：抛物线焦点弦问题． 4．C 【解析】
答案第1页，总16页
【分析】
求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求． 【详解】
抛物线y2=8x的焦点为（2，0）， 双曲线x2﹣ =1的一条渐近线为y= x， 则焦点到渐近线的距离为d=故选：C． 【点睛】
本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键． 5．B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【详解】
作出x，y满足约束条件 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大．
，解得A（4，﹣1）由 ， 代入目标函数z=2x+y得z=2×4﹣1=7． 即目标函数z=2x+y的最大值为7． 故选：B．
= ．
答案第2页，总16页
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 6．C 【解析】 【分析】
利用a1+a9 =a2+a8，将 与 作差可直接得 . 【详解】
在等差数列{an}中，由 与 作差得： =（ ）+ -（ ） ∴a1+a9 =a2+a8，∴ = =6． ∴a5=6． 故选：C． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，是基础的计算题． 7．A 【解析】 【分析】
由偶函数 在 上是增函数，可得函数 在 上是减函数，结合 ，原不等式转化为 ，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果. 【详解】
因为偶函数 在 上是增函数， 所以函数 在 上是减函数，
答案第3页，总16页
由 且满足 ， 等价于 ， ，
可得 ， 实数 的取值范围是 ,故选A. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 8．D 【解析】 【分析】
已知 ,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1． 【详解】
由均值不等式，得 （当且仅当x=2y=-1时等号成立）
所以 . 故选D. 【点睛】
此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题． 9．A 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值. 【详解】
由题意知，f′（x）=[x2+（2﹣m）x﹣2m]ex， 由f′（0）=﹣2m=0，解得m=0．
答案第4页，总16页
此时f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex， 令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，
且函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），
单调递减区间是（﹣2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）= 故选A. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题． 10．B 【解析】 【分析】
利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得. 【详解】 由图可知：
= + ， = ， = ﹣ ， = + ， = ，
∴ =﹣ + （ + ﹣ ）=﹣ + ， 故选：B．
【点睛】
本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．A 【解析】 【分析】
将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1．由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|= |PF1|．由双曲线定义，知|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|= =b．由此知|MO|﹣|MT|= （|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a． 【详解】
答案第5页，总16页
将点P置于第一象限．
设F1是双曲线的右焦点，连接PF1
∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|= |PF1|． 又由双曲线定义得， |PF|﹣|PF1|=2a，
|FT|= =b． 故|MO|﹣|MT| =|PF1|﹣|MF|+|FT|
= （|PF1|﹣|PF|）+|FT| =b﹣a． 故选：A．
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化． 12．C 【解析】 【分析】
利用换元法：令 ,将复合函数 拆解成 与 ，利用解方程和函数图像求得. 【详解】
令 ，则
，
，
（1）当 时，ln(t+1)= -1，即 -1 当 时，ln(x+1)= -1有一个解. 因
为
，
在
，
x<0
时的
图
象
大
致如
图
：
答案第6页，总16页
x<0时 = -1> ，无解.
（2）当 时，f（t）= ,即 -1,
当 时 ，故无解. 当 时，0 本题考查复合函数零点问题，运用数形结合思想解决零点问题是常用方法. 13． 【解析】 【分析】 根据 即可得出y=-4，从而得出 【详解】 ∵ ； ∴y=-4； ∴ ． 故答案为 【点睛】 考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题． 14． 【解析】 答案第7页，总16页 分析：先根据条件解出 ， ，再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为 ， ，所以 ， 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 15． 【解析】 过点 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义可得： ， ∵ ，∴ ，则 ， 设 的倾斜角为 ，则 ， 当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切， 设直线 的方程为 ，代入 ，可得 ，即 ， ∴ ，即 ，∴ ，双曲线的实轴长为 ， ∴双曲线的离心率为 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义结合 ，可得 ，设 的倾斜角 为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切，求出 点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率. 16．（ ） 【解析】 【分析】 先求导，利用f′（x）=0时，x=0或x= ,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数 答案第8页，总16页 和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围. 【详解】 ∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x= , （1）当 ∈（﹣∞，﹣1]时，即a 时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去. （2）当-1<<0时，f(x)在（-1，）单调递增，在（，0）单调递增减，在（0，1）单 调递增，由题意 在 ， 上没有最小值， 则有 （3）当a=0时，f(x)= 在 ， 上显然没有最小值，故成立. （4）当0<<1时，f(x)在（-1， ）单调递增，在（0，）单调递增减，在（，1）单 调递增，由题意 在 ， 上没有最小值， 则有 （5）当 时，即a 时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减， 此时f(x)在 ， 上没有最小值. 综上：a>-1. 故答案为（ ）. 【点睛】 本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题 17．（1） （2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值． （Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值． 【详解】 答案第9页，总16页 解：(1) ∵ 中， ， ∴由正弦定理知， ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 得 ， (2) 由 (1)及 所以 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题． 18．（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2） 【解析】 【分析】 （1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程； （2）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y﹣12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离． 【详解】 解：(1) (1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2， 易求直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 答案第10页，总16页 则圆心C到直线l的距离 解得 ， ， 所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0 (2) 如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM， 所以 PMC为直角三角形， 所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2 设P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝ ， 因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2， 化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0 求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离， 代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为 . 【点睛】 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．(1) ；(2)2. 【解析】 试题分析： (1)由题意有 ，分类讨论可得：当 时， ，当 时， ，整理可得 ，据此可得 成等比数列， . (2)结合(1)中的结论有 ，结合等比数列前 n项和公式可得 ，即 ，据此可得关于n的方程 ，解方程可得 . 试题解析： (1)因为 成等差数列，所以 ， 当 时， ， 当 时， ， 则 ，则 ，即 ， 又 ， ，所以 成等比数列，所以 . 答案第11页，总16页 （2）因为又 ， ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 . 20．（1）【解析】 【分析】 （1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可； （2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可； 【详解】 解：(1) 由题意： ， ∴ ， ， 则椭圆的方程为 (2) ∵ ， 斜率均存在 ∴设直线 方程为： ， 再设 ， ， ， ，则有 联立得： ， 消去 得： ， ∴ ，即 ， ， ， （2） ， ， ， 答案第12页，总16页 将上式中的 换成 ，同理可得： ， ， 若 ，解得： ，直线 斜率不存在， 此时直线 过点 ， ； 下证动直线 过定点 ， ， 若直线 斜率存在，则 直线 为 ， ， ， 令 ，得 综上，直线 过定点 ， ； 【点睛】 此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键． 21．（1） ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 (1)先将存在性问题转化为求 最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得 的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证 .构造差函数 ，利用导数可得 单调性，根据单调性可得 ，即证得结论. 【详解】 （1）当 ，由 ，令 ，∴ ， 列表得： 减函数 极小值 增函数 答案第13页，总16页 这时 . ∵ ，使 成立，∴ ，∴ ， ∴ 的范围为 . （2）因为对 ， ，所以 在 内单调递减， 所以 . 要证明 ，只需证明 ，即证明 . 令 ， ， 所以 在 是单调递增函数， 所以 【点睛】 ，故命题成立. 不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 恒成立⇔ ， 恒成立⇔ . 22．(1) ；(2) 或 . 【解析】 【分析】 （1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线 的直角坐标方程为 ； （2）联立直线的参数方程与曲线 的直角坐标方程可得 ， 满足题意时，二次方程的判别式 ，据此计算可得直线的倾斜角 或. 【详解】 （1）∵ ， ∴ ，即 ， 此即为曲线 的直角坐标方程. （2）将 代入 得 ， 答案第14页，总16页 ∴ ， ∵直线 与曲线 只有一个公共点， ∴ ， 即 ， ，又 ，∴ 或. 【点睛】 本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．(1) 或 ；(2) ， 【解析】 【分析】 (1)利用绝对值三角不等式求 的最小值为|a-3|=4,即得a的值.(2)分 ， 讨论分别得到a的取值范围，即得 的取值范围． 【详解】 (1) 的最小值为 解得 或 ． (2) ① 时， 恒成立等价于 恒成立 即 在 时恒成立 即 解得 ② 时， 恒成立等价于 恒成立 即 在 时恒成立 须 解得 答案第15页，总16页 综上， 的范围是 ， ． 【点睛】 （1）本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式： ,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数. 答案第16页，总16页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容