永嘉县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永嘉县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在平面直角坐标系

中，向量

＝(1，2)，

D．i

＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（ ）

A． B． C． D．2． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

B．1

C．﹣i

3． 如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（ ） A．命题p一定是假命题 C．命题q一定是真命题 4． 在△ABC中，C=60°，AB=

B．命题q一定是假命题

D．命题q是真命题或假命题

，AB边上的高为，则AC+BC等于（ ）

A． B．5 C．3 D．

5． 方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线

6． 下列各组表示同一函数的是（ ） A．y=

与y=（

2

）

B．y=lgx2与y=2lgx

C．y=1+与y=1+

D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）

7． 将函数ysin2x（0）的图象沿x轴向左平移最小值为（ ） （A）

个单位后，得到一个偶函数的图象，则的833 （ B ） （C） （D） 4848

8． 已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且

，那么实数a的取值范围是（ ）

A．

B．

C． D．

9． 设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（ ） A．{1，2，3}

B．{1，3，5}

C．{1，4，5}

D．{2，3，4}

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10．四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB2，若该四棱锥的所有顶点都在

243同一球面上，则PA（ ） 1679A．3 B． C．23 D．

22体积为

【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力． 11．如图，空间四边形OABC中，则

等于（ ）

，

，

，点M在OA上，且

，点N为BC中点，

A． B． C． D．

12．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（ ） A．（﹣∞，0） B．

C．[0，+∞） D．

二、填空题

13．已知函数f(x)的定义域R，直线x1和x2是曲线yf(x)的对称轴，且f(0)1，则

f(4)f(10) ．

14．下列结论正确的是

①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；

②以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e4；

③已知命题“若函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题；

④设常数a，b∈R，则不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．

15．若直线x﹣y=1与直线（m+3）x+my﹣8=0平行，则m= ．

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16．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）

17．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

18．已知平面向量a，b的夹角为

c的夹角为__________，ac的最大值为 ． 三、解答题

2，ab6，向量ca，cb的夹角为，ca23，则a与33【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 19．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如表： 月份x 1 2 4 3 5 4 6 5 6 销售量y（百件） 4 （Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；

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（2）求点A到平面PBC的距离．

21．如图所示，在正方体ABCDA1BC11D1中． （1）求AC11与B1C所成角的大小；

EF所成角的大小． （2）若E、F分别为AB、AD的中点，求AC11与

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22．=ax在“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）（0，+∞）上单调递减”，命题q：对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

23．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

24．（本小题满分12分）若二次函数fxaxbxca0满足fx+1fx2x,

2

且f01.

（1）求fx的解析式；

（2）若在区间1,1上，不等式fx2xm恒成立，求实数m的取值范围．

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永嘉县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】【知识点】平面向量坐标运算

【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。 若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4． 故要使O，A，B三点不共线，则。 故答案为：B 2． 【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

3． 【答案】D

【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p”也是假命题， ∴命题p为真命题． 故命题q为可真可假． 故选D

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．

4． 【答案】D

【解析】解：由题意可知三角形的面积为S=

=

=AC•BCsin60°，

2222

∴AC•BC=．由余弦定理AB=AC+BC﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）﹣3AC•BC，

∴（AC+BC）﹣3AC•BC=3，

2

2

∴（AC+BC）=11．

∴AC+BC=

故选：D

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．

5． 【答案】B

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2222

【解析】解：方程（x﹣4）+（y﹣4）=0

则x﹣4=0并且y﹣4=0，

2

2

即解得：

， ，

，

，

，

得到4个点． 故选：B．

【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．

6． 【答案】C

=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．【解析】解：A．y

2

B．y=lgx，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．

C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数． D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数． 故选：C．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

7． 【答案】B

【解析】将函数ysin2x(0)的图象沿

x轴向左平移

48个单位后，得到一个偶函数

ysin[2(x8)]sin(2x4)的图象，可得

2，求得的最小值为 ，故选B．

48． 【答案】A

【解析】解：设AB的中点为C，则 因为

所以|OC|≥|AC|， 因为|OC|=所以2（

22

，|AC|=1﹣|OC|， 2

）≥1，

，

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所以a≤﹣1或a≥1， 因为

＜1，所以﹣

＜a＜

，

，

所以实数a的取值范围是故选：A．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B

10．【答案】B

【解析】连结AC,BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OEPA，所以OE底面ABCD，则O111PA2AC2PA28，所以由球的体积到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为PC222412437PA28)3可得(，解得PA，故选B．

32162

11．【答案】B 【解析】解：又∴故选B．

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=

，

． ，

==；

，

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【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．

12．【答案】B

【解析】解：y=|x|（1﹣x）=再结合二次函数图象可知

函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：故选：B．

． ，

二、填空题

13．【答案】2

【解析】直线x1和x2是曲线yf(x)的对称轴， ∴f(2x)f(x)，f(4x)f(x)，

∴f(2x)f(4x)，∴yf(x)的周期T2． ∴f(4)f(10)f(0)f(0)2．

14．【答案】 ①②④

2

【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称． 若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确， ②∵y=cekx，

kxkx

∴两边取对数，可得lny=ln（ce）=lnc+lne=lnc+kx，

令z=lny，可得z=lnc+kx， ∵z=0.3x+4，

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∴lnc=4，

4

∴c=e．故②正确，

③已知命题“若函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，

x

则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，

若函数f（x）=e﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，

x

x

即f′（x）=e﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，

即m≤e，

x

x

∵x＞0，∴e＞1，

则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误， ④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，

则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0， ∴要使∀x＞1恒成立， 则对称轴x=

即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，

2

即不等式ax﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，

，

故答案为：①②④

15．【答案】

【解析】解：直线x﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my﹣8=0斜率为两直线平行，则故应填﹣．

16．【答案】 24

【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得故答案为：24．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

17．【答案】 ②④

=48种方法，

因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，

=1解得m=﹣．

．

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【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

2

（k+1）﹣

k2，

2

（k+1），

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

=

k2=2

k+

，

，

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

22424

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

18．【答案】【解析】

，18123. 6第 12 页，共 17 页

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）且

，代入回归直线方程可得

， =5…

∴=0.6x+3.2， x=6时， =6.8，…

（2）X的取值有0，1，2，3，则

，

，

，

其分布列为： X P … …

0 1 2 3 【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．

20．【答案】

【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC， 又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD， 所以BC⊥平面PCD．

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因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F． 易知DF=

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积由VA﹣PBC=VP﹣ABC，

故点A到平面PBC的距离等于

．

，得．

． ，

．

，故点A到平面PBC的距离等于

．

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．

21．【答案】（1）60；（2）90． 【解析】

试

题解析：（1）连接AC，AB1，由ABCDA1BC11D1是正方体，知AAC11C为平行四边形，

AC所成的角就是AC所以AC//AC11，从而B1C与11与B1C所成的角．

由AB1ACB1C可知B1CA60，

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BC所成的角为60． 即AC11与

考点：异面直线的所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题． 22．【答案】

【解析】解：若p为真，则0＜a＜1； 若q为真，则△=4a﹣1≤0，得

2

，

又a＞0，a≠1，∴．

因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假． ①当p为真，q为假时，由

；

②当p为假，q为真时，综上，a的取值范围是

．

无解．

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【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的． 23．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y）， ∵∵

=∵

22

，得（x﹣8）+（y﹣8）=1，②

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

，∴x+y=17，①

，

，

由①②解得或，

∵x＜y，∴x=8，y=9，

记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有∴P（C）=

个基本事件，

，

个基本事件，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=

=

， =

，

P（X=2）==，

P（X=3）=EX=

=，

=

．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．

224．【答案】（1）fx=xx+1；（2）m1． 【解析】

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试题分析：（1）根据二次函数fxax2bxca0满足fx+1fx2x，利用多项式相等，即可求解a,b的值，得到函数的解析式；（2）由x1,1,fxm恒成立，转化为mx3x1，设

2试题解析：（1） fxax2bxca0 满足f01,c1

2gxx23x1，只需mgxmin，即可而求解实数m的取值范围．

fx1fx2x,ax1bx1ax2bx2x，解得a1,b1,

故fx=x2x+1.

考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.

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