第1讲 不定方程的整数解

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第一讲 不定方程的整数解

一、公式法

不定方程解的通解定理：对于整数a,b,c,a,b1，设x0,y0是方程axbyc的一组整数解，那么它的一切整数解为：x,yx0bk,y0ak，其中k为任意整数. 例1 求不定方程2x3y1的一切整数解.

例2

求不定方程4x10y22的一切整数解.

二、变量代换法 例3 求4x5y21的一切整数解.

例4 求7x4y100的正整数解.

例5 求不定方程12x8y36z100的一切整数解.

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例6、求方程

111的正整数解. xy2

例7、一批参观者决定分乘几辆车，要使每车有同样的人数，每辆汽车至多乘32人. 起先每车乘22人，这时有1人坐不上汽车；开走一辆空车，那么所有的参观者刚好平均分乘余下的汽车. 问原有多少辆汽车，这批参观者有多少人？

三、不等式法.

例8、已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，若干只蟋蟀和蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？

例9、求6x5y51的正整数解.

例10、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法

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例11、求方程1x1y1zn的正整数解，其中n是正整数，x,y,z各不相同.

例12、证明：不可能有正整数x,y，使得11x2xy1y21

四、因式分解法

例13、证明：方程x3113y3没有正整数解.

例14、求方程2xy6x5y22的整数解.

五、奇偶性分析

例15、2006能写成两个整数的四次方的和吗？如能，请举出实例，否则说明理由.

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例16、求方程x1z的质数解.

练习： 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7、 求x,y,z，使xyzzyxxzyyz. 1、求满足8、 求xy44xy19870的正整数解.

9、 求满足aabb43的正整数a,b.

10、 求方程2xyxy7的整数解.

11、 求方程xxyz120的质数解.

12、 求方程

22y用公式法与变量代换法两种方法求5x7y13的整数解.

用不等式控制法求3x2y20的正整数解.

求3x2y220的正整数解.

求满足不等式x2xyy210的正整数解x,y.

求不定方程2x3y4z5的一切整数解.

求不定方程7x5y4z3的一切整数解.

111且使y最大的正整数解x. xy121111n的正整数解，其中n是正整数，且xyzu. xyzu第 4 页 共 4 页

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