【湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-1课本例题习题改编)

人教A版选修2-1课本例题习题改编

湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com

1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t∈（0，1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．

解：设M（x，y），则kBMy1y(1)y1 (x≠0)，kAM(x≠0)，kBMkAM=-t， x0x0x0y(1)x221(x≠0)（1）当t∈（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除=-t(x≠0)，整理得y1x0t去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）．

2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l：xy40上任取一点M，过点M且

y21的焦点为焦点作椭圆．(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长以双曲线x32轴最短时的椭圆方程．

解：(1)a21,b23,c2a2b24.故双曲线

y2x1的两焦点F1(2,0),F2(2,0),过F2向l引垂直

32线l：yx2，求出F2关于l的对称点F‘‘2，则

F‘2的

‘坐标为（4，2）（如图）， 直线F1F2的方程为x3y20。

5x,x3y20,532∴，解得 ∴M(,)即为所

22xy40.y3.2''求的点.此时，MF1MF2MF1MF2F1F2=210

x2y2222(2)设所求椭圆方程为221，∴a10,c2, ∴bac1046.∴所

abx2y21. 求椭圆方程为

1063. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）改编 已知椭圆与双曲线2x2y1共焦点，且过（2，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

22

x2y2=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为112220x2y22设椭圆方程为22=1，∵椭圆过（2，0），∴22=1，即a=2，∴椭圆方程

aa1aa1x2y2=1． 为2（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b

8b2b4bbx2y2=1得9x28bx2b220，且 ∴x1x2，y1y2．即x=，y=，

99992122x．令△=0，64b36(2b2)0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆44相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹

3144方程为：y=x（≤x≤）．

433两式消掉b得 y=x2y21的4．原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）改编 F1、F2是双曲线1620焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于

x2y21得：a=4，由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8，|PF1|=9， 解：∵双曲线

1620∴|PF2|=1＜（不合，舍去）或|PF2|=17，故|PF2|=17．

5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）改编 经过点A（2，1）作直线L交双曲

y21于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程． 线x22解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：

（2）； (2k2)x2(4k22k)x4k24k30，

又设P，P，P(x，y)，则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有1（x1，y1）2（x2，y2）

x1x24k22k2k2k2 (k-2≠0)．按题意，x=，∴x=2．因为(x，y)在直线（1）上，x1+x2=22k2k22(2k1)2k2k2)+1=2所以y=k(x-2)+1=k(2．再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨

k2k2

14(y)28(x1)21，这就是所求的轨迹方程． 迹的普通方程为7726．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y22px(p0)交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|2p． 解：由题意，直线l的方程为yxa，将yxa代入y22px，得

x22(ap)xa20．

设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，

4(ap)24a20,则 x1x22(ap),

2x1x2a.∴|AB| 又y1x1a,y2x2a，

(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)．

∵ 0|AB|2p,8p(p2a)0， ∴ 08p(p2a)2p． 解得ppppa． 故a(,]时，有|AB|2p．

24247. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编 直线l与抛物线y22x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．则直线l过定点 解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程得：

b2ykxb,y2x消去y得kx(2kb2)xb0，由题意：x1x2=2，

k22222bb22by1y2(kx1b)(kx2b)0，解得b=0，又由OA⊥OB得x1x2y1y20，即 2kkk（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）

（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程xm,y2x解得

2y2m，即y1y2=-2m，又由OA⊥OB得x1x2y1y20，即m22m=0，解得m=0（舍

去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件

的直线过定点（2，0）． 8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）改编 已知F1、F2分别为椭圆

x2y21的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求169PF1F2的面积.

解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为7,9，则点P4到x轴的距离为

997，此时PF的面积为；当以点P为三角形的直角顶点时，点P的F1244坐标为

9797. 3，舍去。故PF1F2的面积为

749. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知O、A、B三点共线，且OPmOAnOB

(m、nR且mn0)，则

14的最小值为 . mn解：由O、A、B三点共线，且OPmOAnOB得，mn1。故

1414n4m14n4m(mn)()=5+,又mn0，529（当且mnmnmnmnmn仅当n4m时取等号），故

2214的最小值为9. mn