班别：________ 姓名：________ 座号：________ 一、选择题
1．设曲线y＝ax2
在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.11
2 C．－2 D．－1
2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
3．f(x)＝ax3
＋2x，若f′(1)＝4，则a的值等于( )
A.11
2 B.3
C.2 D．1 4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是( ) A．(π2，3π2) B．(π，2π) C．(3π5π2，2) D．(2π，3π)
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 6.函数f(x)＝(1－cos x)sin x在的图象大致为( )
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R＝( ) A.
V2V3V4S1＋S2＋S3＋S B.
4
SC. D.V 1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4
8．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x↔R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题 9.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为________．
10．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2×1×3ׄ×(2n－1)时，从“k”到“k＋1”左边需增乘的代数式是________．
11．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝
na·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”类比得到“
acabcba·c＝b·ca”． b以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．
12．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)．
①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致；④“两个整数”概念不一致． 13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________.
13112
14．已知函数f(x)＝x－(a＋)x＋x(a＞0)，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率最大
32a时的切线方程是________．
15．若函数f(x)＝
4x在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________． x＋1
2
xx
三、解答题：
16．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x； (2)f(x)＝x－ln x.
17.已知a、b、c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a＋b＋c≤3.
21*
18.在数列{an}中，a1＝－，an＝Sn＋＋2(n≥2，n↔N)．(1)求S1，S2，S3；
3Sn(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
3
2
19.已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a，和y＝cx＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点（用反证法）．
20.已知函数f(x)＝x＋ax＋x＋1，a↔R.(1)讨论函数f(x)的单调区间； 12
(2)设函数f(x)在区间－，－内是减函数，求a的取值范围
33
3
2
2
2
2
高二第二学期理科数学练习（2）答案
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 C 7 C 8 A 9.③①② 10.2（2k+1） 11.2个 12.① 13.2 14.y
2
2
1 15.1,0 3
16.解析： (1)f′(x)＝1－3x，令1－3x>0，解得－
因此，函数f(x)的单调增区间为－令1－3x<0，解得x<－
2
33 33，. 33 33 或x>. 33 因此，函数f(x)的单调减区间为－∞，－ 33，，＋∞. 33 12x－12x＋1 (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝. xx因为x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x> 2 ，所以函数f(x)的单调递增区间为2 2，＋∞； 2 由f′(x)<0，解得x< 22 ，又x↔(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，. 2213 13 17.证明 ∵ 三式相加得 a·≤＋ 13 a＋ 2 b＋ 2 ， b·≤ 13，c·≤13 c＋ 2 13 ， a3 bc11 ＋≤(a＋b＋c)＋＝1.∴a＋b＋c≤3. 2332 Sn1 18.解 (1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2， 1 ∴Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，Sn＝－ Sn1 (n≥2)， Sn－1＋2 S1＝a1＝－，S2＝－ (2)猜想Sn＝－ 231314＝－，S3＝－＝－. S1＋24S2＋25 n＋1* (n↔N)，下面用数学归纳法证明： n＋2 21＋1k＋1* ①当n＝1时，S1＝－＝－，猜想正确．②假设当n＝k(k↔N)时猜想正确，即Sk＝－， 31＋2k＋2那么Sk＋1＝－ 11k＋1＋1＝－＝－，这表明当n＝k＋1时猜想也正确． Sk＋2k＋1k＋1＋2 －＋2k＋2 * 根据①，②可知对任意n↔N，Sn＝－ n＋1 . n＋2 19.解 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点． 由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a，y＝cx＋2ax＋b， 得Δ1＝(2b)－4ac≤0， 且Δ2＝(2c)－4ab≤0， 且Δ3＝(2a)－4bc≤0. 同向不等式求和得： 4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0 ∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ac≤0 ∴(a－b)＋(b－c)＋(a－c)≤0. ∴a＝b＝c. 这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证 20.解 (1)f(x)＝x＋ax＋x＋1，f′(x)＝3x＋2ax＋1， ①当Δ＝(2a)－3×4＝4a－12≤0，即－3≤a≤3时，f′(x)≥0恒成立， 此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)． ②当Δ＝(2a)－3×4＝4a－12＞0，即a＞3或a＜－3时，函数f′(x)存在实数解． －a－a－3此时当x＜时，f′(x)＞0， 3 －a＋a－3当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 3 －a－ a－3－a＋ a－3当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 33 22 －a－a－3－a＋a－3 此时函数的单调增区间为：－∞，，，＋∞ 33 2 2 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 －a－a2－3－a＋ a2－3 单调递减区间为，； 33 故当－3≤a≤ 3，f(x)在R上为增函数；若a＞3或a＜－3函数f(x)单调递增区间为 22 －a－ a－3－a－ a－3 －∞，，，＋∞； 33 －a－a2－3－a＋a2－3 函数f(x)单调递减区间为， 33 122 (2)若函数在区间－，－内是减函数，则f′(x)＝3x＋2ax＋1＝0两根在区间 33 －2，－1外， 33 21－－因此f′≤0，且f′≤0，由此可以解得a≥2. 33 因此a的取值范围是上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( ) A．－5 C．10 2 B．7 D．－19 【解析】 ∵y′＝－3x＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)， 所以函数在内单调递减， 所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2. ∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5. 【答案】 A 9．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有 f′(x)＜1(x↔R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( ) A．(1，＋∞) C．(－1,1) B．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，设g(x)＝f(x)－x， 由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1， 故原不等式⇔g(x)＜g(1)，故x＞1. 【答案】 A 10．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在的图象大致为 ( ) 【解析】 在上， ∵f(－x)＝sin(－x) ＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数， ∴f(x)的图象关于原点对称，排除B. ππππ 取x＝，则f()＝(1－cos )sin ＝1＞0，排除A. 2222∵f(x)＝(1－cos x)sin x， ∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cosx＋cos x－cosx＝－2cosx＋cos x＋1. 1 令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－. 2 2 结合x↔，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C. 3【答案】 C 2 2 2 7.【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成1111 四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝ 33333V. S1＋S2＋S3＋S4 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________. 1x【解析】 令e＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝ xxx1＋1＝2. 【答案】 2 13112 12．已知函数f(x)＝x－(a＋)x＋x(a＞0)，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率 32a最大时的切线方程是________． 112 【解析】 f′(x)＝x－(a＋)x＋1，故f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2－(a＋)， aa111显然当a＝1时，a＋最小，k最大为0，又f(1)＝，∴切线方程为y＝. a33 1 【答案】 y＝ 313．若函数f(x)＝ 4x在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________． x＋1 2 2 4－4x【解析】 f′(x)＝22，令f′(x)>0，得－1 又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1， 所以m<2m＋1， 2m＋1≤1. 解得－1 14．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0 20， 3 2 2 2 3 2020 且当x↔(0，)时，V′(x)>0，当x↔(，10)时，V′(x)<0， 33∴当x＝ 204 0003时，V(x)取得最大值为π cm. 3274 0003 π cm 27 【答案】 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．若数列{an}(n↔N)是等差数列，则有bn＝ * a1＋a2＋„＋an* (n↔N)也为等差数列．类比 n* 上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0(n↔N)．则数列dn＝________(n↔N)也是等比数列． 解析 通常正数的算术平均数，类比其几何平均数． 答案 * nc1c2„cn 2．用反证法证明方程F(x)＝0至少有两个实根，其反证假设为____________________． 解析 方程F(x)＝0至少有两个实根，意指方程F(x)＝0有两个或两个以上实根，其反面是方程F(x)＝0至多只有一个实根． 答案 方程F(x)＝0至多只有一个实根 3．观察下列数表规律 则从数2 007到2 008的箭头方向是________． 解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n－1)×4⇒n↔N，故2 007在上行，又因为上行奇数的箭头为→an. ↓ * 答案 ↓ 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为________． 答案 ③①② 5．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2×1×3ׄ×(2n－1)时，从“k”到“k＋1”左边需增乘的代数式是________． 解析 若n＝k时等式成立，此时有 (k＋1)(k＋2)„(k＋k)＝2×1×3ׄ×(2k－1) 若n＝k＋1时，左边变为(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)． 与上式相比增的代数式应为答案 2(k＋1) 6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ k＋k＋1k＋1＋k＋1 ＝2(2k＋1)． k＋1 knacaa·ca＝”类比得到“＝”． bcbb·cb以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析 只有①②对，其余错误． 答案 2 7．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)． ①正确； ②推理形式不正确； ③两个“自然数”概念不一致； ④“两个整数”概念不一致． 解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案 ① 8．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，„，则a8＝________. 解析 由a1，a2，a3，a4的形式可归纳， 7×1＋7∵1＋2＋3＋4＋„＋7＝＝28， 2∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝ 8×57＋71 ＝512. 2 答案 512 9．在数列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则 S2、S3、S4分别为______________，猜想Sn＝________. 解析 由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，因为S1＝a1＝1，所以2Sn＋1＝ Sn＋2. 3 令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3⇒S2＝， 2715 同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝. 48 2－132－172－1152－12－1 由S1＝1＝0，S2＝＝1，S3＝＝2，S4＝＝3，猜想Sn＝n－1. 2224282237152－1* 答案 、、 n－1(n↔N) 2482 10．观察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，„，根据上述规律，第五个等式为________． 解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，„，因此，第五个等式为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21. 答案 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 11．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得． 答案 若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bt＝bs 12．已知f(1,1)＝1，f(m，n)↔N(m，n↔N)，且对任意m，n↔N都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确的个数为________． 解析 f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9； * * * 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2,3 3 3 2,3 3 3 3 2 1 2 3 4 nns－1t－1 f(5,1)＝2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)＝16f(1,1)＝16； f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝f(5,3)＋6＝f(5,2)＋8＝f(5,1)＋10＝26. 所以这3个结论都正确． 答案 3 13．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意 fx1＋fx2＋„＋fxnx1＋x2＋„＋xn x1，x2，„，xn，有≤f，若函数y＝nn sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得 sin A＋sin B＋sin C≤3sin A＋B＋C＝33， 32 33 即sin A＋sin B＋sin C的最大值为. 2答案 33 2 14．(2011·陕西高考)观察下列各式： 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 „„ 照此规律，第n个等式为________． 解析 由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(3n－2)＝(2n－1). 答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(3n－2)＝(2n－1) 二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知a、b、c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a＋b＋c≤3. 1 3 2 2 2 a＋ 2 证明 ∵ a·≤c＋ 213 13 ， b·≤13 b＋ 2 13， c·≤ 三式相加得 13 ， a3 ＋bc11 ＋≤(a＋b＋c)＋＝1. 2332 ∴a＋b＋c≤3. 16．(本小题满分14分)设a，b，c均为奇数，求证：方程ax＋bx＋c＝0无整数根． 2 证明 假设方程有整数根x＝x0，∴ax0＋bx0＋c＝0，∴c＝－(ax0＋bx0)． 若x0是偶数，则ax0，bx0是偶数， ax0＋bx0是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾； 若x0是奇数，则ax0，bx0是奇数， ax0＋bx0是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程ax＋bx＋c＝0没有整数根． 21* 17．(本小题满分14分)在数列{an}中，a1＝－，an＝Sn＋＋2(n≥2，n↔N)． 3Sn(1)求S1，S2，S3； (2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 1 解 (1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2， 22 2 2 2 22 Sn1 ∴Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，Sn＝－ Sn1 (n≥2)， Sn－1＋2 S1＝a1＝－，S2＝－ 4＝－. 5(2)猜想Sn＝－ 23131＝－，S3＝－ S1＋24S2＋2 n＋1* (n↔N)，下面用数学归纳法证明： n＋2 21＋1 ①当n＝1时，S1＝－＝－，猜想正确． 31＋2②假设当n＝k(k↔N)时猜想正确，即Sk＝－那么Sk＋1＝－ * k＋1 ， k＋2 11k＋1＋1＝－＝－，这表明当n＝k＋1时猜想也正Sk＋2k＋1k＋1＋2 －＋2k＋2 确． 根据①，②可知对任意n↔N，Sn＝－ * n＋1 . n＋2 11111113 18．(本小题满分16分)由下列各个不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋＋„＋＞，223234721111 1＋＋＋＋„＋＞2，„，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明． 23415111解 根据给出的几个不等式可以猜测第n个不等式，即一般不等式为1＋＋＋ 234＋„＋ 1n* ＞(n↔N)． n2－12 用数学归纳法证明如下： 1 (1)当n＝1时，1＞，猜想成立． 2 1111k* (2)假设当n＝k(k↔N)时，猜想成立，即1＋＋＋＋„＋k＞， 2342－12 1111111k11 则当n＝k＋1时，1＋＋＋＋„＋k＋k＋k＋„＋k＋1＞＋k＋k2342－122＋12－1222＋11k111k2k＋1 ＋„＋k＋1＞＋k＋1＋k＋1＋„＋k＋1＝＋k＋1＝， 2－12222222即当n＝k＋1时，猜想也正确． 由(1)(2)知，不等式对一切n↔N都成立． 19．(本小题满分16分)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D， 求证： 1 * kAD2＝1 2AB＋ 1 ，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜AC2想，并说明理由． 解 如图①所示，由射影定理知 AD2＝BD·DC， AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， 图① ∴1 2 AD＝1 BD·DCBC2BC2 ＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2 又BC＝AB＋AC， 2 2 2 AB2＋AC211 ∴2＝2. 2＝2＋ADAB·ACABAC2 1所以 1 AD2＝1 AB2＋1 AC2. 类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想： 四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直， AE⊥平面BCD，则 1 AE2＝1 AB2＋1 2AC＋ 1 AD2. 如图②，连接BE并延长交CD于F， 连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， 图② ∴AB⊥平面ACD. 而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴ 1 AE2＝1 AB2＋1 AF2 . 1＝1 2 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴∴1 2 AF2 AC＋ 1 AD2 . AE＝1 2 AB＋1 AC2 ＋1 AD2 ，故猜想正确． 2 20．(本小题满分16分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x－12x＋1 27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn. 2(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； 1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由． bna2＋a5＝12， 解 (1)由已知得 a2a5＝27. 因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9. 所以d＝ a5－a29－3 3 ＝3 ＝2，a1＝1，即an＝2n－1. 12 因为Tn＝1－bn，所以b1＝. 231 当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1， 2 11 所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－1－bn－1， 221 化简得bn＝bn－1， 3 21 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列， 3321n－12 即bn＝·＝n. 3332 所以an＝2n－1，bn＝n. 3(2) 因为Sn＝ 1＋2n－12 ×n＝n， 2 2 3 所以Sn＋1＝(n＋1)，＝. bn21 下面比较与Sn＋1的大小： 1 nbn131 当n＝1时，＝，S2＝4，所以 191 当n＝2时，＝，S3＝9，所以 当n＝3时，＝，S4＝16，所以 当n＝4时，＝，S5＝25，所以>S5. b42b41 猜想：n≥4时，＞Sn＋1. bn下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证． 32 ②假设当n＝k(k↔N，k≥4)时，>Sk＋1，即＞(k＋1)， bk2 * 1 k那么， 2 1 bk＋1 3 ＝ k＋1 322 ＝3·>3(k＋1)＝3k＋6k＋3 22 2 2 k＝(k＋4k＋4)＋2k＋2k－1>＝S(k＋1)＋1， 1 所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立． bn1* 由①②可知，对任何n↔N，n≥4，>Sn＋1都成立． bn1 综上所述，当n＝1,2,3时， 当n≥4时，>Sn＋1. bn1．设曲线y＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( ) A．1 1 C．－ 2 1 B. 2D．－1 2 【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1. 【答案】 A 2．若f(x)＝x－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( ) A．(－1,0) C．(2，＋∞) 2 2 B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 42x－x－22x＋1x－2 【解析】 f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得xxxx＞2. 【答案】 C 3．f(x)＝ax＋2x，若f′(1)＝4，则a的值等于( ) 3 1A. 2C.2 【解析】 f′(x)＝3ax＋∴a＝1. 【答案】 D 2 1B. 3D．1 1 x，∴f′(1)＝3a＋1＝4， 4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是( ) A．(C．( π3π，) 223π5π，) 22 B．(π，2π) D．(2π，3π) 3π5π ，)时，y′>0，函数22 【解析】 y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，故当x↔(为增函数． 【答案】 C 5．一汽车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝18－6t，则列车的刹车距离为( ) A．27 C．81 B．54 D．13.5 【解析】 令v(t)＝0得18－6t＝0得t＝3， ∴列车的刹车距离为3v(t)dt＝3(18－6t)dt 00 2＝(18t－3t) 0 3 ＝27. 【答案】 A 图1 6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【解析】 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2 极小值，选D. 【答案】 D 7．由y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( ) 5A. 3C.64 3 2 2 B. 32 3 D．9 y＝－x， 【解析】 解 y＝2x－3， 得交点A(－3，－9)，B(1，－1)． 由y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积 2 13 ＝－x 3－3 1 2 －(x－3x) －3 1 ＝ 32. 3 【答案】 B 8．若函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( ) A．－5 C．10 23 2 B．7 D．－19 【解析】 ∵y′＝－3x＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)， 所以函数在内单调递减， 所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2. ∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5. 【答案】 A 9．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有 f′(x)＜1(x↔R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( ) A．(1，＋∞) C．(－1,1) B．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，设g(x)＝f(x)－x， 由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1， 故原不等式⇔g(x)＜g(1)，故x＞1. 【答案】 A 10．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在的图象大致为 ( ) 【解析】 在上， ∵f(－x)＝sin(－x) ＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数， ∴f(x)的图象关于原点对称，排除B. ππππ 取x＝，则f()＝(1－cos )sin ＝1＞0，排除A. 2222∵f(x)＝(1－cos x)sin x， ∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cosx＋cos x－cosx＝－2cosx＋cos x＋1. 1 令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－. 2 2 结合x↔，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C. 3【答案】 C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________. 1x【解析】 令e＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝ xx2 2 2 x1＋1＝2. 【答案】 2 13112 12．已知函数f(x)＝x－(a＋)x＋x(a＞0)，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率 32a最大时的切线方程是________． 112 【解析】 f′(x)＝x－(a＋)x＋1，故f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2－(a＋)， aa111显然当a＝1时，a＋最小，k最大为0，又f(1)＝，∴切线方程为y＝. a33 1 【答案】 y＝ 313．若函数f(x)＝ 4x在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________． x＋1 22 4－4x【解析】 f′(x)＝22，令f′(x)>0，得－1 又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1， 所以m<2m＋1， 2m＋1≤1. 解得－1 14．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0 20 ， 3 2 2 2 3 2020 且当x↔(0，)时，V′(x)>0，当x↔(，10)时，V′(x)<0， 33∴当x＝ 204 0003时，V(x)取得最大值为π cm. 3274 0003 π cm 27 【答案】 7．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－x；(2)f(x)＝x－ln x. 解析： (1)f′(x)＝1－3x， 令1－3x>0，解得－ 2 2 3 2 33 2 33，. 33 33 或x>. 33 因此，函数f(x)的单调减区间为－∞，－(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 33，，＋∞. 33 f′(x)＝2x－＝ x12x－12x＋1 x. 2， 2 因为x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>所以函数f(x)的单调递增区间为由f′(x)<0，解得x< 2 ，＋∞； 2 2 ，又x↔(0，＋∞)， 2 所以函数f(x)的单调递减区间为0， 2. 2 2 2 18．(本小题满分16分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx2 ＋2cx＋a，和y＝cx＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 解 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点． 由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a，y＝cx＋2ax＋b， 得Δ1＝(2b)－4ac≤0， 且Δ2＝(2c)－4ab≤0， 且Δ3＝(2a)－4bc≤0. 同向不等式求和得： 4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0 ∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ac≤0 ∴(a－b)＋(b－c)＋(a－c)≤0. ∴a＝b＝c. 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 19.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x＋ax＋x＋1，a↔R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； 12 (2)设函数f(x)在区间－，－内是减函数，求a的取值范围． 33解 (1)f(x)＝x＋ax＋x＋1，f′(x)＝3x＋2ax＋1， ①当Δ＝(2a)－3×4＝4a－12≤0，即－3≤a≤3时，f′(x)≥0恒成立， 此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)． 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 ②当Δ＝(2a)－3×4＝4a－12＞0，即a＞3或a＜－3时，函数f′(x)存在实数解． －a－a－3此时当x＜时，f′(x)＞0， 3 －a＋a－3当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 3 －a－ a－3－a＋ a－3当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 33此时函数的单调增区间为： 22 －a－a－3－a＋a－3 －∞，，，＋∞； 33 2 2 2 2 22 －a－a2－3－a＋ a2－3 单调递减区间为，； 33 故当－3≤a≤ 3，f(x)在R上为增函数；若a＞3或a＜－3函数f(x)单调递增区间为 22 －a－ a－3－a－ a－3 －∞，，，＋∞； 33 函数f(x)单调递减区间为 －a－a2－3－a＋a2－3 ，. 33 12 (2)若函数在区间－，－内是减函数，则说明 3312 f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0两根在区间－，－外， 33 21因此f′－≤0，且f′－≤0，由此可以解得a≥2. 33 因此a的取值范围是[2，＋∞)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容