均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若x0，则x11）;若x0，则x2 (当且仅当 2 (当且仅当x1时取“=”

xx _____________时取“=”）

若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当____________时取“=”） xxx2.若ab0，则ab2 (当且仅当____________时取“=”） ba 若ab0，则

ababab） 2即2或-2 (当且仅当_________时取“=”

bababa注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知x,yR，且满足

xy1，则xy的最大值为 ________。 34xyxy(当且仅当，即x=6，y=8时取等

343解：因为x>0，y>0，所以

xyxy23434号)，于是xy1，xy3.，故xy的最大值3. 311变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy解：∵log4xlog4y2 log4xy2 即xy=16

1111212xyxyxy2技巧二：配凑项求 例2：已知x 当且仅当x=y时等号成立

5，求函数y4x21的最大值。 44x5-可编辑修改-

。

解：

511x,54x0，y4x254x3231

44x554x当且仅当54x例3. 当解： 当

变式：设0x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。 54x时，求yx(82x)的最大值。

，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

3，求函数y4x(32x)的最大值。 2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222当且仅当2x32x,即x330,时等号成立。 42x27x10(x1)的值域。 例4. 求yx1解：当

,即

时,y2（x1)

459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x1练习：1、已知0x1，求函数y2、0xx(1x)的最大值.；

2，求函数yx(23x) 3技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错．解．：

x0,y0，且

191，xy19xy292xy12 故 xyxyxyxymin12 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在

199等号成立条件是1

2xxyxy

9

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，y

在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否

-可编辑修改-

。

有误的一种方法。 正解：

19y9x19x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy当且仅当

19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时， xymin16 。

xyxy变式： （1）若x,yR且2x

y1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xxyy的最小值

2：已知x0,y0，且

191，求xy的最小值。 xyab(3) 设a0,b0.若3是3与3的等比中项，则 A ．8 B ．4 C． 1 D．

解析：因为333，所以ab1。

ab11． 的最小值为（ ）

ab1 4又a0,b0,所以当

1111baba(ab)()2224，当且仅ababababba1即ab时取“=”。故选（Ｂ）． ab2技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x的单调性。例：求函数yaxx25x42的值域。

2解：令x24t(t2)，则yx5x24x241t(t2)

tx241因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

-可编辑修改-

1t1t1t5。 252。

（1）

x23x1y,(x0)x （2）

y2x1,x3 x3(3)y2sinx的最大值.

1,x(0,) sinx技巧六、已知x，y为正实数，且x 2＋

y 2

2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

1

a 2＋b 2

2

。

1＋y 22· ＝

2

同时还应化简

1y 2 ＋ 22

1＋y 2 中y2

前面的系数为 ， x2

1＋y 2 ＝x 2

x·

下面将x，

1y 2

＋ 分别看成两个因式： 22x 2＋(

122

1

y 2

＋ )222

x 2＋ ＝

y 21

＋ 222

x·

1y 2

＋ ≤221y 23 ＋ ≤ 224

＝ 即x4

3

1＋y 2 ＝2 ·x

技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b法一：a＝ ， ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1

-可编辑修改-

。

由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥

ttt2

16

t· ＝8

t ∴ ab≤18 ∴ y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

2 ab ∴ 30－ab≥2

2 ab

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 令u＝ ∴

1

ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

18

ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式

abab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②2（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到如何由已知不等式aba2b30ab与ab之间的关系，由此想到不等式

为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

abab（a,bR），这样将已知条件转换2变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧八、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x ＋

2y 的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

3x ＋

2y ≤

2

（

3x ）2＋（

a＋b2

≤

a 2＋b 2

2

，本题很简单

5

2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10

＋(3x＋2y)＝20

-可编辑修改-

。

∴ W≤20 ＝25

22变式: 求函数y2x152x(1x5)的最大值。 解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8

又y0，所以0y22 当且仅当2x1=52x，即x3时取等号。 故ymax22。 2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

技巧9：消元

y2例1.设x,y,z为正实数，x2y3z0，则xz的最小值是_________.

x3z解：由x,z0,y,可得2y2x29z26xz6xz6xz=3,xz4xz4xzy当且仅当x3z,即xy,z时，取“=”.3y2故的最小值为3.xz 技巧10.换元

例1. 求函数

yx22x5的最大值.

解：令x2t,t0,xt22,则

ty2(t0)

2t1

当t0时，y0;当t0时，y

12t

1t

122t1t24

练习题：

12当且仅当2t=，即t时，取等号.

t232所以x时,取最大值为.24

-可编辑修改-

。

111

1.若a>0，b>0，a，b的等差中项是2，且α＝a＋a，β＝b＋b，则α＋β的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5 2. 已知三个函数

y＝2x，y＝x2，y＝

8xx的图象都过点A，且点A在直线m＋y2n＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．

3. 已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则111

a＋b＋c的最小值为________．

4. 设M是△ABC内一点，且AB→·AC→

＝2

3，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，

其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝1142，x，y

，则x＋y的最小值是________．

5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1

x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，

每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

xy2126. 设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当z取得最大值时,

xyz的最大值为

9A．0 B．1

C．4

D．3

7.已知a,b,c,a2b3c6,则a24b29c2的最小值为______.

148. 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=

ab的最小值是 79

A．2

B．4

C． 2

D．5

-可编辑修改-

）（

。

9. 设x,y为实数，若4xyxy1,则2xy的最大值是 ．。 10.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 11. 设a＞b＞0，则a22211的最小值是 abaab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 B. 4 C. D. 11.

111111

习题答案：1. ∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.a＋＋b＋⇒1＋＋＝1

22abab＋

11 2a＋bab＝1＋

1

ab，∵a＋b21

ab≤，∴ab≤＝.∴原式≥1＋4.当且仅当a=b=1/2时，

244

a＋b∴α＋β的最小值为5.故选D.

2. 由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，所

m2n以1＝＋2

4

24

·，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，当且仅当m2nxym2n≥2

m=n=4时，故log2m＋log2n的最小值为4.

3.[答案] 6＋4[解析] ＋4≥2

1

1

2 1

a＋＋＝

a＋2b＋cabc＋

a＋2b＋cb＋

a＋2b＋c2ba

ccac2b

＝＋＋＋＋＋abacbc

2＋2＋22＋4＝6＋42，

2bacac2b等号在＝，＝，＝同时成立时成立．

abacbc即a＝c＝

2

2b＝1－时等号成立．

2

4.[答案] 18

→→→→

[解析] ∵AB·AC＝|AB|·|AC|cos30°

-可编辑修改-

。

3＝|AB|·|AC|＝2

2

3，∴|AB|·|AC|＝4，

1

由f(M)的定义知，S△ABC＝＋x＋y，

21

又S△ABC＝|AB|·|AC|·sin30°＝1，

21

∴x＋y＝(x>0，y>0)

2

14y4x14

∴＋＝2(x＋y)＋＝25＋＋≥2(5＋2

xyxy



xy

4)＝18，等号在＝y4xxy，即y＝2x＝

141

时成立，∴＋min＝18. 3xy

32Q＋3

5. [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为

Q×150%＋×50%，

xQ32Q＋3x∴年销售收入为(×150%＋×50%)·Q

QQ31＝(32Q＋3)＋x， 22

31

∴年利润W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x

221－x2＋98x＋35

＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)． 22x＋1(2)令x＋1＝t(t≥1)，则

t32－t－12＋98t－1＋35W＝＝50－＋.

2t2t

32

∵t≥1，∴＋≥2

2tt·＝8，即W≤42， 2tt32

-可编辑修改-

。

当且仅当t2＝32

t，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7.

即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．

2106.B；7.12；8.C；9. 510.解析：考察均值不等式

2x2y8x(2y)8x2y22，整理得x2y4x2y320

即x2y4x2y80，又x2y0，x2y4 11.解析：

a2111abaab＝a2ababab1a(ab)ab11aba(ab)a(ab)≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝2,b＝22满足条件. 答案：D

-可编辑修改-

＝