随机信号处理习题答案

随机过程部分习题答案

习题2

2.1 设随机过程X(t)Vtb,t(0,),b为常数，V~N(0,1)，求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因V~N(0,1)，所以EV0,DV1，X(t)Vtb也服从正态分布，

E[X(t)]E[Vtb]tEVbb

D[X(t)]D[Vtb]t2DVt2

2所以X(t)~N(b,t)，X(t)的一维概率密度为

f(x;t)12te(xb)22t2,x(,)，t(0,)

均值函数 mX(t)E[X(t)]b

相关函数 RX(s,t)E[X(s)X(t)]E[(Vsb)(Vtb)]

22E[stVbsVbtVb]

2 stb

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2.4 设有随机过程X(t)Acos(t)Bsin(t)，其中为常数，A,B是相互独立且服从正

2N(0,)的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。 态分布

22A~N(0,)B~N(0,) A,B解 因独立，，

2E[A]E[B]0,D[A]D[B]所以，

均值 mX(t)E[X(t)]E[Acos(t)Bsin(t)]

cos(t)E[A]sin(t)E[B]0 相关函数

RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]E(Acos(t1)Bsin(t1))(Acos(t2)Bsin(t2))

EA2cost1cost2B2sint1sint2ABcost1sint2ABcost2sint1

cost1cost2E[A2]sint1sint2E[B2]

2(cost1cost2sint1sint2)

2cos(t1t2)

2.5 已知随机过程X(t)的均值函数mX(t)和协方差函数BX(t1,t2),(t)为普通函数，令

Y(t)X(t)(t)，求随机过程Y(t)均值和协方差函数。

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解 均值 mY(t)E[Y(t)]E[X(t)(t)]E[X(t)](t)mX(t)(t)

协方差 CY(t1,t2)RY(t1,t2)mY(t1)mY(t2)

E[Y(t1)Y(t2)]mY(t1)mY(t2)

E(X(t1)(t1)(X(t2)(t2)[mX(t1)(t1)][mX(t2)(t2)] E[X(t1)X(t2)]mX(t1)mX(t2) 其它项都约掉了

RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)

CX(t1,t2)

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4.5 设{X(t),tT}为随机过程，且

X1X(t1),X2X(t2),,XnX(tn), 为独立同分布随机变量序列，令

Y00,Y1Y(t1)X1,YncYn1Xn,n2 试证：{Yn,n0}是马尔可夫链。

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证明 只要证明{Yn,n0}满足无后效性，即

P{Yn1in1Y00,Y1i1,,Ynin}P{Yn1in1Ynin}即可。

根据题意，YnXnCYn1，由此知Yn是(X1,X2,,Xn)的函数，因为X1,X2,,Xn,是相互独立的随机变量，所以，对任意的n，Xn1与Y0,Y1,Y2,,Yn,相互独立。从而

P{Yn1in1Y00,Y1i1,,Ynin}

（因Ynin）

P{Yn1CYnin1CinY00,Y1i1,,Ynin}P{Xn1in1CinY00,Y1i1,,Ynin}

P{Xn1in1Cin} （因Xn1与Y0,Y1,Y2,,Yn,独立，条件概率等于无条件概率）

P{Xn1Cinin1Ynin}

P{Yn1in1Ynin}

4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为

0.50.50P00.50.50.500.5

求三步转移概率矩阵P及当初始分布为

(3)8

P{X01}P{X02}0,P{X03}1 时，经三步转移后处于状态3的概率。

P(2)解

0.50.5000.50.50.500.50.50.500.250.50.2500.50.50.250.250.50.500.50.50.250.25

P(3)0.250.50.250.50.500.250.3750.3750.250.250.500.50.50.3750.250.3750.50.250.250.500.50.3750.3750.25

0.250.3750.375PT(3)0010.3750.250.3750.3750.3750.250.3750.3750.25

所以，p3(3)0.25

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6.2设有随机过程X(t)Acos(t)，其中A是均值为零、方差为的正态随机变量，求：

21X(1)和X()4的概率密度； （1）

（2）X(t)是否为平稳过程。

解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t，X(t)服从正态分布。

12X(1)A,X()A42，

E[X(1)]E[A]0,D[X(1)]D[A]DA2

121212E[X()]E[A]0,D[X()]D[A]DA424222

所以X(1)的概率密度为

f(1;x)12ex222， x

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1X()4的概率密度为

11f(;x)e4

x22， x

（2）RX(t,t)E[Acos(t)Acos(t)]

cos(t)cos(t)E[A2]2cos(t)cos(t)，与t有关

所以，X(t)不是平稳过程。

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