例题7、已知函数. (1)求的单调区间;(2)设,若对任意,均存在,使得,求
的取值范围.
例题8、已知函数
.
(Ⅰ)当时,求曲线在
处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;(Ⅲ)若,在上存在一点,使得成立,求的取值范围.
参考答案
1、B 【解析】∵,∴
,解得
2、A 3、 【解析】求导得,依题意,∴
.
4、 a≥1 [解析] 由已知得a>在区间(1,+∞)内恒成立.设g(x)=,则g′(x)=-<0 (x>1),∴g(x)=
在区间(1,+∞)内单调递减,∴g(x)<g(1),∵g(1)=1,∴
<1在区间(1,+∞)内恒成立,∴a≥1.
5、 解答: 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),.
(Ⅰ) 当a=1时,
,f′(1)=﹣2+1+1=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为.(Ⅱ)
,
(1)当a=0时,f′(x)=x>0,f(x)在定义域为(0,+∞)上单调递增,
(2)当a>0时,令f'(x)=0,得x1=﹣2a(舍去),x2=a,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x (0,a) a (a,+∞)
f′(x) ﹣ 0 + f(x) 减 极小值 增此时,f(x)在区间(0,a)单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增;
(3)当a<0时,令f'(x)=0,得x1=﹣2a,x2=a(舍去),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x (0,﹣2a) ﹣2a (﹣2a,+∞)
f′(x) ﹣ 0 + f(x) 减 极小值 增,此时,f(x)在区间(0,﹣2a)单调递减,在区间(﹣2a,+∞)上单调递增.6、【解】(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=+=
.
∵a>0,∴f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(2)∵f(x)0,∴a>xln x-x3.令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,h′(x)=-6x=
∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)g(x)的单调递增区间为. ②当时,由,得. 时,,时,2在(1,+∞)上恒成立.,∴函数的单调增区间为,单调递减区间为.
(2)由已知,转化为. ∵,∴,
由(1)知,当时,在
上单调递增,值域为,故不符合题意.当时,在
上单调递增,在上单调递减,故
的极大值即为最大值,∴, ∴,解得
.
8、解:(Ⅰ)当时,,,切点, ,
, 曲线在点
处的切线方程为:,即.(Ⅱ),定义域为
, ①当,即时,令,令,
②当,即时,
恒成立, 综上:当时,在
上单调递减,在上单调递增. 当时,在
上单调递增. (Ⅲ)由题意可知,在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值
.… 由第(Ⅱ)问,①当,即时,在
上单调递减,,,
; ②当,即时,在
上单调递增,,
,③当,即时, ,,此时不存在使
成立. 综上可得所求的范围是:或
.