导数和微分（摘自百度百科）

1.导数

导数（Derivative），也叫导函数值。⼜名，是中的重要基础概念。

当函数y=f（x）的x在⼀点x0上产⽣⼀个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与⾃变量增量Δx的⽐值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx定义

设y=f（x）在点x0的某个内有定义，当⾃变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之⽐当Δx→0时存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作① ；② ；③ ， 即需要指出的是：

两者在数学上是等价的。

2.判断可导

可导函数都是连续的,但是连续函数不⼀定是可导函数.

例如，y=|x|,在x=0上不可导.即使这个函数是连续的,但是lim(x趋向0+)y'=1,lim(x趋向0-)y'=-1，两个值不相等，所以不是可导函数。3.微分

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表⽰为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），⽽o(Δx)是⽐Δx⾼阶的⽆穷⼩（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）

AΔx叫做函数在点x0相应于⾃变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是⾃变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的⾼阶⽆穷⼩量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。

导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表⽰导数的记号，⽽且还可以表⽰两个微分的⽐值（把△x看成dx，即：定义⾃变量的增量等于⾃变量的微分），还可表⽰为dy=f′(X)dX。 4.导数和微分的区别

导数是函数图像在某⼀点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的⽐值。微分是指函数图像在某⼀点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，⼀般表⽰为dy。

导数是函数图像在某⼀点处的斜率，也就是纵坐标变化率和横坐标变化率的⽐值。微分是指函数图像在某⼀点处的切线在横坐标取得Δx以后，纵坐标取得的增量。