基于核密度估计的VaR-GARCH模型改进

第２４卷第５期　山东理工大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．５　２０１０年９月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｓｅｐ．２０１０　文章编号：１６７２—６１９７（２０１０）０５—００３１—０３　基于核密度估计的ＶａＲ—ＧＡＲＣＨ模型改进　李伟珍，李述山，侯　飞　（山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛２６６５１０）　摘　要：对ＧＡＲＣＨ模型下标准化扰动的分布进行非参数核密度估计，并应用标准化扰动的核密　度估计分布来计算时变风险价值．最后通过实证分析验证了此模型的有效性．　关键词：ＧＡＲＣＨ；时变风险价值；核密度估计；标准化扰动　中图分类号：Ｆ８３０　文献标识码：Ａ　Ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ＶａＲ－－ＧＡＲＣＨ　ｍｏｄｅｌ　ｂａｓｅｄ　０１１　ｔｈｅ　Ｋｅｒｎｅｌ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ＬＩ　Ｗｅｉ—ｚｈｅｎ，ＬＩ　Ｓｈｕ—ｓｈａｎ，Ｈ　０Ｕ　Ｆｅｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６５１０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｋｅｒｎｅｌ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ　ｒｅｓｉｄｕａｌ　ｕｎｄｅｒ　ＧＡＲＣＨ　ｍｏｄｅ１，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ　ｒｅｓｉｄｕａｌ　ｉＳ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　ｔｅｓｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＧＡＲＣＨ；ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ　ｖａｌｕｅ　ａｔ　ｒｉｓｋ；Ｋｅｒｎｅｌ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ　ｒｅｓｉｄｕａｌ　ＶａＲｌ＿１］（ｖａｌｕｅ　ａｔ　ｒｉｓｋ）是指处在风险中的价值，　ｆ一．￡上ｒ—＿广Ｂ￡　人们同时引入了时变ＶａＲ的概念．传统的时变ＶａＲ　一　估计需要对ＧＡＲＣＨ＿２　类模型中的标准化扰动进行　＋∑　Ｙ　一∑　ａ　ｉ＝１　Ｊ＝１　ｆ　分布假设，如正态分布、Ｔ分布、广义误差分布等，而　户　口　标准化扰动的实际分布与假设的分布有着一定的差　－０２　一ｃｕ＋∑　上．　＼－，　ｉ一１　＋∑　０Ｊ＝１　－　２一　异，所以估计得到的时变ＶａＲ存在着一定的误差．　ａ　一　，Ｅ（ｅ　Ｉ　Ｉ　１）：＝＝０，Ｄ（ｅ　ｌ　一　【　／　Ｉ　本文拟针对传统时变ＶａＲ估计的缺陷，对传统时变　ｐ　口　、，　ＶａＲ估计方法进行改进．非参数方法对模型结构的　其中：∞＞０，ａ　≥０，　≥０，∑ａ　＋∑　＜１，０２　为　ｉ＝１　Ｊ一１　有关先验信息不需要做出很多假设且可能对进一步　在ｔ一１时刻的信息集　已知条件下的条件方差．　转向参数拟合提供有益的帮助，因此将其运用在较　通常基于ＧＡＲＣＨ模型计算时变ＶａＲ（公式中　复杂的非线性时间序列分析中具有重要意义＿３］．　记为ＶａＲ　），需要对其标准化抖动ｅ　的分布进行假　１　基于核密度估计及ＧＡＲＣＨ模型　定，例如假设其标准化抖动ｅ　服从正态分布，且Ｙ　表示ｔ时刻的收益，则在概率水平１一Ｃ下的时变　的时变ＶａＲ估计　ＶａＲ为　ＶａＲ　一一（　＋　（１一ｃ）０－　）　（２）　１．１　ＧＡＲＣＨ模型及时变风险价值估计　１．２　核密度估计方法　在ＧＡＲＣＨ模型中考虑两种设定，分别是条件　定义　设总体Ｘ具有未知的概率密度．厂（　），　均值和条件方差，ＧＡＲＣＨ（Ｐ，ｑ）模型的一般表达　Ｘ　，Ｘ。，…，Ｘ　为取自总体Ｘ的一个样本，ｚ　，ｚ。，　式为　…，ｚ　为样本观察值，若全直线上有界函数Ｋ（　）≥　收稿日期：２０１０—０１一Ｏ４　作者简介：李伟珍（１９８６一），男，硕士研究生．Ｅ—ｍａｉｌ：ＬＷＺ．００７＠１６３．ｃｏｒｎ　３２　山东理工大学学报（自然科学版）　０满足：　对｛Ｒ　）进行一般描述性统计分析［６］，结果显示偏度　系数为１．８ｌ１　１４，峰度系数为１３．２３，远大于３，ＪＢ　正态检验统计量为２１　６３１．５７，说明｛Ｒ　｝不服从正　态分布．分析结果显示上证指数收益率序列｛Ｒ　）具　有尖峰、厚尾特征．对数据｛Ｒ　｝进行平稳性检验，检　（１）ｌ　｝Ｋ（　）Ｊ　ｄ　＜＋ＣｘＤ．　（２）ｌｉａ　ｒｙＫ（　）一０．　（３）Ｋ（　）为偶函数．　（４）Ｉ　Ｋ（　）ｄｙ一１．　验结果表明序列｛Ｒ　）不存在单位根，是平稳序列．　２．２　参数估计　则称函数　（ｚ）：＝＝　１’∑Ｋ　（了Ｘｉ－－ＳＯ．Ｊ为未知密度　根据上证指数月收益率自相关函数值与偏自相　（ｚ）的核估计，其中Ｋ　称为核函数，ｈ称为窗宽．若　取正态核函数　（　）一　ｅ＿号，则密度函数的核　√Ｚ７ｃ　估计为　ｙ（ｘ　一　耋去ｅ　㈤　其最优窗宽嘲可以通过求估计量ＭＩＳＥ的最小值确　定，从而ｈ一１．０５９ａｎ一专，　为数据个数，本文实证分　析选取标准正态核函数，从而　一１，ｈ一１．０５９ｎ一．　１．３　基于核密度估计及ＧＡＲＣＨ模型的时变ＶａＲ估计　由式（１）估计条件标准差　｝与残差（ａ　｝，计算　标准化残差即为抖动ｅ　一　，记标准化残差序列为　），ｔ一１，２，…，　则计算标准化抖动ｅ　的正态核函　数密度估计　（ｅ）：　＝　耋　ｅ－　㈤　则标准化抖动￡　的核估计分布函数记为Ｆ（ｅ）：　一　。。　骞去ｅ一　如　㈣　核估计分布Ｆ（ｅ）在１一Ｃ的分位数记为Ｆ　（１一ｃ）：　骞去ｅ～　一　一ｃ　㈤　利用数值方法计算核估计分布在ｉ—ｃ的分位　数Ｆ　（Ｉ～ｃ），则时变ＶａＲ的计算公式为　ＶａＲ　一一（　＋Ｆ－　（１一ｃ）ａ　）　（７）　２　实证分析　２．１　样本选择　本文以上证指数为观察对象，样本区间为１９９１　年１月１日至２００７年１２月３１日，样本容量为４　４３５　日收盘价Ｐ，得到月收益率数据４　４０１．以月对数收　益率Ｒ　为研究对象，其中Ｒ　一ｌｎｐ　一ｌｎｐ　如此　得到了１９９１—２００７年的上证指数收益率数据｛Ｒ　｝，　关函数值，建立时间序列模型，对上证指数月收益率　进行ＡＲＣＨ／ＬＭ检验，Ｆ统计量下的伴随概率Ｐ值　远小于０．０５，因此，我们可以认为上证指数月收益　率序列存在异方差性．因此我们应用ＧＡＲＣＨ进行　数据拟合．由于假定ＧＡＲＣＨ模型中的残差为正态　分布不足以反映上证指数月收益率序列的尖峰厚尾　性，因此采用广义误差分布来反映厚尾特性．利用　ＧＡＲＣＨ（１，１）模型估计方程的结果为：　ｆＲ　一０．９６４２２５３８９４６Ｒ卜１＋ａ　…　Ｉ　一０．０９４３３５ａ￣＿１＋０．９１９６５５６ａ￣１　方差方程中的ＡＲＣＨ项和ＧＡＲＣＨ项的系数　在５　置信水平下都是统计显著的，并且对数似然　值有所增加，说明ＧＡＲＣＨ（１，１）模型能够更好的　拟合数据．而对随机误差项ａ　再作ＡＲＣＨ／ＬＭ检　验，发现不存在异方差现象，说明以上模型能较好的　刻画基金指数收益率异方差现象．　２．３　标准化抖动的核密度估计与时变ＶａＲ估计　首先根据式（８）计算标准化残差，根据公式（３），　应用ＭＡＴＬＡＢ编程算得标准化抖动￡　的正态核函数　密度估计　（ｚ）．应用ＭＡＴＬＡＢ数值计算方法得到参　差核密度估计函数的９５　分位数为２．２，代人公式　（７），得到下核密度估计下的时变ＶａＲ．为了比较，在　标准化残差分别服从正态分布与自由度为５的Ｔ一分　布下计算时变ＶａＲ，结果见图１及图２．　２．４　模型评价　ＬＲ似然比检验：设Ｎ为检验样本中损失高于　ＶａＲ的次数，Ｔ为检验样本总数，Ｐ一１一Ｃ，Ｃ是既　定的置信水平．则检验的假设为　Ｈｏ￣了Ｎ—Ｐ，　Ｈ　：丁Ｎ≠Ｐ、　．　似然比统计量为　ＬＲ一２｛ｌｏｇ［－（￣－）　（１一　）卜　］一　ｌｏｇ［Ｐ　（１一Ｐ）卜　］｝．　在原假设Ｈ。成立的条件下，ＬＲ服从于自由度　第５期　６　５　４　３　李伟珍，等：基于核密度估计的ＶａＲ—ＧＡＲＣＨ模型改进　２　ｌ　０　１　３３　５００　１ｏ０ｏ　１５ｏｏ　２０００　２５００　３０００　３５００　４０００　一Ｔ—Ｈ　图１　核密度估计和Ｔ　分布下的时变ＶａＲ　（Ｔ一分布Ｈ　核密度）　图２　核霉厦估计和正态分布下的时变ＶａＲ　（Ｎ一正态Ｈ一核密度）　为１的　分布．在５　的显著水平下，如果ＬＲ＞　３．８４１　５，拒绝本模型．　根据ＧＡＲＣＨ模型下正态分布假设、Ｔ一分布　假设、正态核密度估计得到的扰动分布，这三种模型　下得到的时变风险价值分别与实际的损失比较，得　到预测失败的次数，并求得ＬＲ（表１）．　表１失败率检验　３结束语　由图１图２看出正态假设下得到的时变ＶａＲ　要低于对残差核密度估计下得到的时变ＶａＲ值，这　说明正态假设不能很好的反映金融收益的尖峰厚尾　情况，低估了风险．由表１看出核密度估计的分布　下的时变ＶａＲ要比Ｔ一分布下的时变ＶａＲ更准　确，核密度估计下失败率为５．４　，显示其准确地估　计了风险．　本文应用ＧＡＲＣＨ模型分析上证指数收益率　数据，得到了该模型的标准化残差，运用核密度估计　得到标准化残差的分布函数，得到该分布下的时变　ＶａＲ．通过对模型进行检验评价，并与正态分布和Ｔ　一分布得到的时变ＶａＲ进行比较分析，可以看出本　文提出的方法能够提高ＶａＲ预测的准确度，而且避　免了对随机误差项进行正态假设．　参考文献：　［１］周革平．ＶａＲ基本原理、计算方法及其在金融风险管理中的应　用［Ｊ］．金融与经济，２００９（２）：６９—７８．　Ｅ２３郭晓亭．基于ＧＡＲＣＨ模型的中国证券投资资金市场风险实证　研究Ｉ－Ｊ］，国际金融研究，２００５（１Ｏ）：５５—５９．　［３］叶倩．非参数核密度估计在非线性一混合时间序列中的应用　［Ｊ］．青年科学，２００９（７）：２４７—２４８．　￣４３杜宇静．变换下核密度估计的应用及其它［Ｄ］．长春：吉林大学　数学学院，２００５．　［５］龚妮．ＧＡＲＣＨ模型与ＶａＲ法在外汇风险度量中的应用［Ｊ］．黑　龙江对外经贸，２００６（６）：２９—３０．　［６］洪丽颖．数学统计软件ＥＶｉｅｗｓ的实证教学ＥＪ３．硅谷，２００９　（９）：１３６—１３８．　（编辑：姚佳良）