格区间集合[L]上的t-模及其广义逆算子

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年２月　湖北第二师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｆｅｂ．２００８　Ｖ０１．２５　Ｎｏ．２　第２５卷第２期　格区间集合Ｅ　Ｌ］上的ｔ一模及其广义逆算子　杨　云　（湖北第二师范学院　数学与计量经济系，武汉４３０２０５）　摘要：在格区间集合［Ｌ］上定义ｔ一嗾及其广义逆算子　研究它们的性质，利用它们给出群Ｇ．Ｙ－￣Ｅ间值Ｆｕｚｚｙ子集组成的集　合中［Ｌ］　元素的ｓｕｐ一晗成运算和ｉｒｌｆ　成运算，得到这些运算的代数性质以及一些重要的关系式。　关键词：ｔ－模；逆算子；格区间值Ｆｕｚｚｙ子集　中图分类号：０１８９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—１６８７（２００８）０２－０００１—０３　作者简介：杨云（１９５６一），女，湖北襄樊人，教授，研究方向为软代数理论及应用。　文献【１】研究了完备Ｂｒｏｕｗｅｆｉａｎ格Ｌ上的ｔ一模Ｔ及其广义逆　算子　以及关于两个Ｆｕｚｚｙ关系之间的Ｏ　合成运算与ＯａＴ合成　运算，得到了许多性质。本文中，我们首先利用完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格　（２）若对任意。，６　∈Ｌ，有ａｉｒ（　６，）　分配的：　（口　）称Ｔ是无限＾一　设Ｔ是Ｌ上的ｔ一模，利用Ｔ在［Ｌ］上定义二元函数　ｉＦ：［ＬＩ×［ＬＩ　［￡】如下：，　＝ｌａＴｃｂＴｄ则易证魂［Ｌ］上的ｔ一模，且当　．Ｌ上的ｔ一模Ｔ引人格区间集合［Ｌ］上ｔ一模　利用院义其广义逆　算子０ｉ，研究发现它们具有与文［１］中的Ｔ与　相类似的许多性　质。其次我们利用卿０芫义群Ｇ上格区间值Ｆｕｚｚｙ子集组成的　Ｔ是Ｌ上无限Ｖ（＾）一分配的ｔ一模时，嘿［Ｌ］ｋ无限　（　）一分配的　集合［Ｌ］　中元素的ｓｕｐ一眙成运算和ｉｒ　０；合成运算，得到这些　运算的代数性质以及一些重要的关系式。通过这些关系式求得　ｓｕｐ一璞方程Ａｏ－＿，．Ｘ＝Ｂ的一个最大解。　设（Ｌ，一，ｖ，０，１）是一个有最大元“１”和最小元“０”的完　ｔ一模。事实上，由确定义知：　（１）（　ａｂＴ１ｃｄ）Ｔｉｅ，ｔ＝１。　，６扎，Ｔ１　，＝　（。　）７　。（６Ｔｄ）　＝　。ｒ（ｃ　ｒ（ｄ可Ｆ　，，』。６　，（』　　）　ｄＴ１，同理可证曰黹足定义１中其他（２），（３），（４）条。　定义４对任意　，　，　∈［Ｌ］＿，规定［Ｌ］上的一个二元算子　备Ｂｒｏｕｗｅｒ格，Ｖａ，ｂ∈Ｌ，ａ≤６令，　＝｛叫ｄ≤　≤ｂ　∈Ｌ）．　［Ｌ］＝　｛　ｂ　￡｝．在［Ｌ］中规定　，　运算如下：　§　１３．ｔ　：［Ｌｌｘ［Ｌ］—　【　］如下：，　．　ｆ，ｃ，ｄ＝一ｖ｛，　ｌｏ，ｂ　，　ｙ　，　ｄ），称为亍的　，广义逆算子。　定义５设Ｘ是任意经典集合，映射　§　一［Ｌ］称为Ｘ上的　．　Ａ　∈Ｌｘ　格区间值Ｆｕｚｚｙ子集。Ｖｘ∈Ｘ，１８Ａ（ｘ）：，　一（　）（　Ｊ，其中　一，分别为的　下Ｌ—Ｆｕｚｚｙ子集和上Ｌ—Ｆｕｚｚｙ子集。这里　，ｃ．ｄ＝　口　６　ｄ　，　』　．　＝　。　Ｌｘ＝｛Ａ　ＪＡ：Ｘ　）表示Ｘ上所有Ｌ－Ｆｕｚｚｙ子集的集合。用［Ｌ］　表　示Ｘ上所有格区间值Ｆｕｚｚｙ子集的集合。在［Ｌ］　中规定：　如果令０＝　Ｄ，１＝１Ｉ‘ｌ，则易验证（［Ｌ］，　，　，０，１）也是一个完备　格。其中０，１，分别是［Ｌ］最小元和最大元。　定义１设Ｔ是Ｌ上的二元运算，若Ｔ满足条件：Ｖａ，ｂ，Ｃ∈Ｌ　（１）结合律（ａＴｂ）Ｔｃ＝ａＴ（ｂＴｃ）　（２）交换律ａＴｂ＝ｂＴａ　ＶＡ，∈【　］　，，∈Ｊ，Ｖｘ∈　（１）ＡＩ＝　（２）ＡＩ≤Ａ！　§　ＡＩ（　）＝Ａ２　ｘ）　ＡＩ（　）　Ａ２（　）　（３）（Ａｌ　Ａ２）（ｘ）＝４（ｘ）　Ａ２（　）　（４）（Ａ　Ａ　）（　）＝Ａ．（　）　Ａ２（　）（５）１（　）＝１１Ｉ￣０（ｘ）＝，Ｄ－。Ｖｘ∈　，（３）单调性ｂ≤ｃ　ａＴｂ＜￣ａＴｃ　（４）ａＴｌ＝ａ　称Ｔ是Ｌ上的ｔ一模。　定义２设Ｔ是Ｌ上的ｔ一模，定义Ｌ上的一个二元算子　，为：　ｍｒｂ＝Ｖ｛　ｘ∈￡．ａＴｘ　，Ｖａ，ｂ∈Ｌ，称　，为Ｔ的广义逆算子。　定义３设Ｔ是Ｌ上的ｔ一模。　则易验证（［Ｌ］　，　，　，０，１）是完备格，其最小元和最大元分别是　０，１。　下面我们将利用两　乃，）称Ｔ是无限ｖ一　收稿日期：２００７—１２—１５　定义群Ｇ上格区间值Ｆｕ　ｚｙ子集问　（１）若对任意ｎ，　∈Ｌ，有。ｒ（　，）　分配的：　维普资讯 http://www.cqvip.com

的ｓｕｐ～　合成运算与ｉＩｌｆ吨ｉ合成运算。取Ｘ＝Ｇ是经典群，　ＶＡ一，定理Ｉ设Ｇ是经典群，Ｖ　，Ｂ一，一Ｃ∈［　］　记（　）　Ｖ　∈Ｇ，则　Ｄ；　≤　＝　≤　）　ｏ　．　）　（　），　Ｂ—Ｅ　】。，Ｖｘ，ｙ，ｚ　ｅＧ，规定：　（Ａ　ｏｆ　）（　）＝：　（　（　（ｙ））　证明：Ｖ毛Ｙ∈Ｇ，令ｚ＝ｘｙ，由条件Ａ口　≤ｃ得（Ａ口　）（ｚ）＝　：　（　ｏａｆ　）（ｚ）＝：　）０ｃｆ　（ｙ））　（　（　）　（ｙ））：品　．。　，）　ｒ　矿（ｙ））：ｚ－　ｒ．ｙ，Ａ　（日　（　）＝　分别称Ａ口　与Ａ　曰为Ａ与引｝ｇ　ｓｕｐ－７舍成运算与ｉｒ　ｉ合成　ｆ　ｖ（　一　）四一（　ｃ一０）　运算。　引理Ｉ　设Ｔ是Ｌ上无限ｖ一分配的ｔ一模，Ｖ口，６，ｃ，ｄ，吗∈Ｌ，　Ｊ∈Ｌ则有：　（Ｉ）ａＴ（ａａｒ６）　ｂ　（２）・缎ｒ　Ｔｂ）　ｂ　（３）口乃　ｃ§ｂ＜ａｃｔｒ　（４）ａ　ｂ　ｊ　ａｃｔｒｂ＝ｌ，ａｃｔｒｃ≥ｂｃｔｒｃ，　ｒａ　ｒｂ　证明见文献［Ｉ］　引理２　ＶＬ＾，　，ｄ∈［Ｌ］，则』　ｂａｅｌ。ｄ＝』　．ｄ。其中　ｒ是　，，６　Ｌ匕Ｔ的广义逆算子。　证明：　，ｙ∈｛Ｌ。ｙ１　。刀　Ｊ　。ｄ）＝肘有，　开　＝　Ｌ　印＜－ｌｅａ　１Ｉ　６ａＴｘ　ｃ　　ｄ　１ｆ　≤ａｏｙ＜－ｂｏａ１．ｒｒｃ　　ｄ　Ｊ　。　ｒｄ　１，，ｂａＴ１　．，ｄ＝　｛　，ｙＩ　。　，ｙ　ｌｃ，ｄ｝　ｒ　。　ｒｄ．　反之，由　的定义知，ｌａｆｌａｏｕｉｃ，６　，ｄ＝　ｚ（ａＣｔ￣－ｃ）＇６ｚ（　，ｄ）．由引　理理　（・ｃ・，知，Ｉ）知，１｛　曼６　（　０ｃ　　三；　　ｌｌａｌ＂（ａａｒｃ），ｂＴ（ｂａｒｄ）　－＜ｌｅｄ于是　ｊ。　＾　－＜１‘　，　ｒ　，６ｑ　｛，　ＩＩ　ｌｃ，ｄ｝＝ｌａ，ｂＣ￣ｒ，　．故　Ｊ，嘶ｃ６ａｒｄ一－Ｊ，　ｂａｒｌｃ，，ｄ．　引理３　Ｖ厶．５，　．ｄ∈［Ｌ］，有　（１）　。６ａｒ（１￣。６Ｔｌｃ．ｄ）≥Ｊ，　，　（２）ｌａ，ｂＴ（１　ｒＪ，　）　。ｄ　证明：（１）由　的定义及引理２知］ａ，ｂＯｌ＂Ｔ（Ｊ，　６Ｔ１　．ｄ）＝　Ｊ，。．６　ｒＪ，。　．６　＝』口ｑｒ（口　），６ｑｒ（ｂＴｄ），　由引理　Ｉ　（２）　知，　｛乏　ｌａ．ｂ　＝ｌａａｒ（ａＴｃ），ｂａｒ（ｂＴｄ）　≥　．ｄ．　同理可证（２）．　利用　定义及引理２，完全可得到　似与文［Ｉ］中关于　的若干性质。　一引理４落　，一ＢＣｅ［　］　，若　≥否，则　口Ｂ…＞－Ａｏ￣一Ｃ．　，，证明：由条件知ｖ，，ｅＸ，　（　）≥　（　），利用确单调性有　（　）７　（ｙ）≥Ａ　）７Ｔｃ（），），从而，Ｖ　ｚｅＸ，Ａｏ　（ｙ）：（　于百（ｙ））≥　：　要　（　（ｘ）于　（　）＝　。　（：）．故　Ｄ　≥ＡＤｉＣ．　主要结果如下：　，　一　￡‘　，）　弋　扣　九，）招　）≤ｃ（：）　、‘，，），　ｃ　）、‘，　　ｌ　Ｖｔ　ｔ工－ｆＤ　Ｉ　Ｖ＋ｃｙ）ｌ１）　ｃ＋　‘，（ＩＺｚ）●　　ｆＡ－（ｘ）ｒＢ一（　≤ｖ（　一（ｘ）ＴＢ一（ｙ））　ｃ　（ｚ）　Ｖ：＝　∈Ｇ有１　＋（　＋（　＋　）阳＋（），））　ｃ＋（ｚ）利用‘　∽　ｃ　ｒ　ｃ　。。　ｃ　‘　。　’＝　。ｃ，　。　ｃｒ　：：　｛　：；：　；　：　：；　得　｛｝　曰Ｂ　Ａ：　：（ｙ）　　Ｃ　：（　）ｃｃｒ　（ｃ：　：　：ｚ）＝（　三：　：）一　（　一：　）ｃｃ：ｒ　（ｃＣ：　　ｚ；Ｖ）　ｘ－ｌｚ＝ｙ成立．‘　　Ｖｓ，ｔ∈Ｇ，令），　ｆ　ｔ＝ｓ。￣ｙ＝ｘｙ其中令　－ｉ．由上面证明知，　。（ｙ）≤（　一）一　（　）０‘ｒＣ一（ｆ）＝（Ａ－）‘　（Ｊ）０‘ｒＣ‘（ｆ）　Ｂ一（），）≤　Ｂ。（ｙ）≤Ａ（　一）　）ｃｃｒＣ一（ｆ）同理可得Ｂ　（ｙ）≤Ａ（　）　（　）ｃｃｒＣ　（ｆ）．　Ｉｌｌｓ１　归耵　故　（），）＝　口一（ｙ）口＋（　）≤　，　（　。）。　（　Ⅺ，ｃ一（ｒ）Ｉ，，叫＾（　）　ｒｃ　（ｆ）＝　ｌ（ａ）４（ｓ）ｆ？ｃ－（１），（　ｔ）　：　（　∽ａｆ』ｃ＿（ｆ　ｆ】　：　）　）ａｒｃ（ｔ）：（（　）　￣ａｆ　）（ｙ）．故　（　）一。　，ｃ一．　定理２设Ｇ是经典群，ｖ　，Ｂ一，　∈　］ｃ’记　）一　）　（　～），　Ｖ　∈Ｇ。则　（１）　）～０　（　０　否）≤　（２）Ａｏ，４（Ａ）～口五≥　证明（１）Ｖｘ，ｙ∈Ｇ，令ｚ－ｘｙ，则［（　）一０　（　否）］　（ｚ）：　：　（＿）　（ｘ）　（　。　（　】　＝　（　）丁（互　（　）０【ｆ　（ｆ））】　≤　（　一’）　（　（ｘ一　）０ｃ　（ｚ））（ｙ－ｘ－】ｚ）．Ｖｘ，ｚ∈Ｇ，　（ｘ。　），否（ｚ）∈　［　］，由引理３（２）知，　ｘ－１）一Ｔ（Ａ—ｘ－Ｉ）　；百（ｚ）≤　（ｚ）），于是　（　）　（　（ｘ一‘）０ｃ　（：））≤　（：）＝　（ｚ）　（　）一’。ｒ（　。　，　）　．　；　（２）Ｖｘ，ｙｅＧ，令ｚ＝ｘｙ，　【ＡＤ　（（Ａ）　ｏＩｃ）】（ｚ）　【　）ｃｃｒ　（（　）］　２（ｘ）ａ　（　（　）　））】　ｒ　（　而＝，））】≥　【　（班　（　）（　）　（ｚ））】（ｙ＝ｘ－】ｚ）．Ｖｘ　ｅ　Ｇ，　（ｘ），　（ｚ）∈［　］由引理３（１）知，　（ｘ）　（　（ｘ）　（ｚ））≥　（ｚ），于是，　【　ｆ（　）（　（ｚ））】≥　ｃ（ｚ）：ｃ（ｚ）＝　Ｄ　（（Ａ）－Ｉｏｉｃ））≥Ｃ．　：　：０　推论：Ｖ　，Ｂ一，Ｅ［三　有　Ｄ　（（　）一ｔ　百）≤　．　证明：ＶＡ一Ｂ一，，∈［　］　令　（　）一，则Ｖｘ∈Ｇ，有云（ｘ）＝（　）　（ｘ）　（ｘ）～．令ｙ－ｘ～，　（ｙ）　（ｘ　）＝　（ｘ）＝　（ｙ。　）＝（　）一，（ｙ）＝　＝　（　）一．由定理２（１）知，（　）一－０　（一Ｃｏ　）≤否　Ｄ　（　）　０　）≤否．　设　，　是Ｇ上给定的格区间值Ｆｕｚｚｙ子集，　是Ｇ上未知的　格区间值Ｆｕｚｚｙ子集，形如　Ｄ：　＝否的方程称为ｓｕｐ一　方程。下　面定理给出此类方程摄大解存在的条件　维普资讯 http://www.cqvip.com 定理３　ＹＡ，Ｂ∈［　］　如果ｓｕｐ一璞方程ＡＯ；Ｘ＝ＢＴｆｆ￣，则　（Ａ）－ｌｏｔｔ￣Ｂ是其一个最大解。　方程』４ｏ　的一个最大解。　参考文献：　证明：由定理２的推论知Ａｏ；（（Ａ）　ｏ　）≤　．　另一方面，由条件设　是方程Ａｏ　＝　的任意一个解，即Ａｏ　：【１］熊清泉，张晓玲．完备Ｂｒｏｕｗｅｆｉａｎ格Ｌ上的ｔ＿模　及其广义逆算　子　，的性质【Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００４，（１）．　【２］廖大见．赵敏．伪ｔ一模与Ｌ＿关系方程的解集【Ｊ］Ｉ中国科学技术　大学学报，２００４，（２）．　【３］Ｂｉｒｋｈｏｆｆ．Ｇ．Ｌａｔｉｔｃｅ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｒｈｏｄｅ　Ｉｓｌａｎｄ：Ａｍｅｒ　Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ　Ｃｏｉｌ　Ｐ１ｌｂｌ，１９６７．　Ｘｏ＝Ｂ．由定理１知，Ｘｏ≤（Ａ）　ｏ　（　）　由引理４知，Ｂ＝Ａｏ　≤Ａｏ　（（Ａ）－ｌｏ￣Ｂ）故Ｂ＝Ａｏ　（（Ａ）　ｏ　），　从而（Ａ）　ｏ　是方程Ａ０　＝　的一个解．由（　）式知（Ａ）　ｏ＋Ｂ还是　ｔ－ｎｏｒｍ　ａｎｄ　Ｉｔ１一　ｓ　Ｇｅｎｅｒａｌ一　１‘ｉ　ｚｅｄ　１　Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｉｎ　ａ　Ｓｅｔ　ｏｆ　Ｌａｔｔｉｃｅ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　ＹＡＮＧ　ｙｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｅｏｎｏｍｅｔｉｒｅｓ，Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｗｕｈａｎ　４３０２０５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＡｏＸｏ＝Ｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｂａｓｉｃ　，ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔ—ｎｏｒｍ　Ｔ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｏ，－ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｎ［Ｌ］　．　ｏｎ［Ｌ］，ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｏ￣－ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ－＊ｔ—ｎｏｒｍ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ；ｌａｔｔｉｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｖａｌｕｅ；Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔ　・　３　－