湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(10月19日)

总分：100分 时量：75分钟 组题人：陈智勇

一、选择题（每小题5分共40分，请将答案填写在答题区。） 1．已知命题p，p::RR,,R使使sinsinxxp:xx使sinRp:xxR,,使sinxx555522， ;;命题命题qq:xxR,,都有xx1100.;命题q:R都有x1.给出下列结论：q::xR,都有x2x0222①命题“pq”是真命题 ②命题“pq”是假命题 ③命题“pq”是真命题 ④命题“pq”是假命题

其中正确的是（ ）

A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③ 2.设{an}是等比数列，则“a11336 B． C． D． 2266x2y24.已知双曲线221(a0,b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的

abA．一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( )

A．x3y0

B．3xy0

C．x2y0

D．2xy0

5．抛物线y24x上一点P到直线x1的距离与到点Q(2,2)的距离之差的最大值为()

A．3 B．3 C．5 D．5

x2y2236.已知双曲线T：221（a，b>0）的右焦点为F（2，0），且经过点R（，0），

ab3△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分

别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1,2,3．若直线OM,ON ,OP

111的值为（ ） k1k2k37.已知f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+），都有f[f（x）

的斜率之和为-1．则

－1og2x]=3，则方程f（x）－f′（x）=2的解所在的区间是（ ）

1，1） C．（1，2） D．（2，3） 28.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)|x1x2||y1y2|为P(x1,y1),Q(x2,y2)两点

A．（0，

B．（

之间的“折线距离”。在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到点P(1,0),Q(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x0；

④到点P(1,0),Q(1,0)两点的“折线距离”的差的绝对值为1的点的集合是两条平行线。 其中真命题有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题5分共35分，请将答案填写在答题区。）

9．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时二面角B-AD-C大小为_____________

10．曲线yxe2x1在点（0,1）处的切线方程为 .

x1） 211．函数f(x)axb在点(1,f(1))的切线方程为xy30，则函数f(x)的解析x21式为

x2y2P为椭圆上任意一点，12．设F1,F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，当 F1PF2ab1． 则椭圆的离心率为 ． 49213．若以F为焦点的抛物线y4x上的两点A、B满足AF2FB，则弦AB的中点到准

取最大值时的余弦值为线的距离为____________．

x2y21左支上一点M到右焦点F的距离为16,N是线段MF的中14．已知双曲线

2516点,O为坐标原点,则|ON|的值是

15．若函数f(x)=(1x)(xaxb)的图像关于直线x2对称,则f(x)的最大值是_____________.

22

选择题答题区： 1 2 题号 答案 填空题答题区：

3 4 5 6 7 8 9、 ____ _ 10、 11、 _______ 12、 13、 14、 15、

三、解答题（共25分，请将答案填写在答题区。） 16．（本小题12分）如图四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，ADCD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝2，点M在线段PD上。

（1）求证：AB⊥PC

（2）若二面角M－AC－D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值。

x2y217．（本小题13分）如图，椭圆221（ab0）与一等轴双曲线相交，M是其中

ab一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1,F2，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，

△MF1F2的周长为421。设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1,PF2的

斜率分别为k1,k2，且直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D。 ⑴求椭圆和双曲线的标准方程； ⑵（ⅰ）证明：k1k21；

（ⅱ）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

选择题答题区： 1 2 题号 答案 B B y P A M C F1 O F2 x B D 2014.10.19高二理科特色班数学周考参考答案

3 D 4 B 5 D 6 1- 27 C 8 C 填空题答题区：

9、 600_ 10、 y3x1 11、 f(x)2x2 x2112、 59 13、 14、 3 7415、 16 三、解答题（共25分，请将答案填写在答题区。） 16．（本小题12分）如图四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面

ABCD，AD∥BC，ADCD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝2，点M在线段PD上。 （1）求证：AB⊥PC （2）若二面角M－AC－D的大小为45°，求BM与平面PAC

所成的角的正弦值。

x2y217．（本小题13分）如图，椭圆221（ab0）与一等轴双曲线相交，M是其中

ab一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1,F2，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，

△MF1F2的周长为421。设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1,PF2的

斜率分别为k1,k2，且直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D。 ⑴求椭圆和双曲线的标准方程； ⑵（ⅰ）证明：k1k21；

（ⅱ）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（Ⅰ）由题意知，双曲线的离心率为2，

c2椭圆离心率为，即a2c。

a2又2a2c421，所以可得a22，y P A M C F1 O F2 x c2。所以bac4，于是椭圆方程为x2y21；所以椭圆焦点坐标为2,0，因84为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，故所求双曲线的标准方程为

222B xy1。 ……………………4分 4422D

2y0y0y0y00y（Ⅱ）（ⅰ）设点Px0,y0，则k1，，则k1k2；k22x02x02x02x02x04222x0y0y0221，即有x04y0；从而2而由点P在双曲线上，可知1，故44x04k1k21。 ……………………8分

（ⅱ）假设存在常数，使得ABCDABCD恒成立。

则由（ⅰ）知k1k21，所以可设直线AB的方程为ykx2，直线CD的方程为

1x2；把直线AB的方程为ykx2代入椭圆方程，整理得k12k2x28k2x8k210； y8k218k2若设Ax1,y1，Bx2,y2，则有x1x2，x1x2； 2212k12k2421k22因此AB1kx1x24x1x2=；

12k2同理可得CD42k2122k12k22k233k23211。 8ABCD421k242k2142k2132，使得ABCDABCD恒成立。 ……………13分 8；因此由ABCDABCD知

所以存在常数