运用几何画板,加强思想方法教学

张映姜 唐洪浪

（广东省湛江师范学院数科院 广东湛江 524048）

数学课程标准实施后，数学的思想和方法成为了数学课程的重要内容。在数学课程标准中，特别强调数学的思想与方法，将基本的数学思想方法与基础知识、基本技能、基本能力、基本的情感并列，在初中数学中，图形的变换成为课程的重要内容，要求学生通过实例了解平移、旋转、对称变换，理解变换的性质；在高中数学中，函数、数形结合仍是数学课程的重要思想方法。加强数学思想方法的教学仍然是当前数学教学的重要内容。在高师院校，开设有《数学思想方法概论》选修课。如何正确地理解数学的思想和方法，加强数学思想方法的教学？我们认为，加强数学思想方法的教学，必须创设思想方法教学的条件。利用传统的方法进行数学思想方法时，总会遇到较多的困难，如旋转变换中难以突出旋转角度与旋转中心，明确地体现出旋转变换的有关性质。如果利用计算机中的优秀软件——几何画板进行教学，不仅可以创设数学思想方法教学的环境，充分展示数学的思想与方法，而且还能让学生运用几何画板进行数学思想方法的学习、研究、创造。这样，几何画板不仅是教学的工具，而且也是学习的工具，更是研究、进行创作的工具。通过运用几何画板，揭示数学规律，充分体现数学思想和数学方法，把握数学的精髓。

1．利用几何画板中的[坐标分离]、[轨迹]构建数形结合的情境

数形结合是数学中相当重要的思想和方法。它的思想就是“化形为数，以数论形；或化数为形，以形论数”。下面以二次函数y=a x3＋bx2＋cx＋d图象作法为例，说明利用几何画板中的轨迹功能画出函数图象的过程，构建数形结合的教学情境，体现数学的思想和方法。通过对函数图象的观察，可以发现函数不同，图象也不同，我们还可以通过函数图象研究函数的单调性、最值、周期性、奇偶性等重要特征。函数的图象就是通过化（代）数为形，以形论数来体现的。

例1 作出二次函数y= a x3＋bx2＋cx＋d (其中a，b，c，d为常数)图象

⑴ 在几何画板的编辑窗口，建立坐标轴，在横坐标轴上任取点C； ⑵ 利用计算器分离出点C的横坐标，并改写为x ；

⑶ 选定x，双击，出现计算器，利用计算器计算a x＋bx＋cx＋d的值，并记为y； ⑷ 选定x，y，根据〖画点—根据(x,y)〗，作出点P；

⑸ 选定点C，P，单击〖构造〗/〖轨迹〗，于是得到y= a x3＋bx2＋cx＋d的图象。 2． 利用几何画板中的[变量]构建实验情境

著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”实验是数学研究中很重要的方法。利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动。对于函数，《普通高中数学课程标准》中特别指出：“通过二次函数等，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。”因此，如二次函数等教学，特别是含参变数a，b，c的函数y= a x2＋bx＋c，运用几何画板，就立即可构建实验情境，引导学生观察，方便学生研究、概括，通过研究参变数a，b，c对函数y= a x2＋bx＋c图象的影响，发现两者间制约的规律。下面利用几何画板，创设含参变数a，b，c的函数y= a x＋bx＋c的实验情境，并进行教学。

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例2 作函数y= a x2＋bx＋c的图象及参变数对图象影响的实验研究 分二步进行：先作函数的图象；然后，研究考虑怎样研究二次函数的性质。

⑴ 在几何画板的编辑窗口，建立坐标轴，在横轴上任取点D，并利用计算器分离出点D的横坐标，并改写为x ；

⑵ 在横轴上任取点E，过点E作横轴的垂线 j，在垂线上任取点A，B，C，并利用计算器分离出点A，B，C的纵坐标，并依次记为a，b，c；

⑶ 选定a，b，c，x，双击，出现计算器，利用计算器计算ax＋bx＋c的值，并记为y； ⑷ 选定x，y，根据〖画点—根据(x,y)〗，作出点P；

⑸ 选定点D，P，单击〖构造〗/〖轨迹〗，于是得到参变数的二次函数y= a x2＋bx＋c的图象。

⑹ 依次选定垂线 j，点A，或点B，或点C，分别构建〖动画a〗，〖动画b〗，〖动画c〗三个动画按钮。

由上可知，a，b，c都是参变数，可以随意改变大小。利用参变数a，b，c，我们可以进行二次函数y= a x2＋bx＋c的实验，发现图象的开口方向、开口大小、对称轴随参变数a，b，c的变化而变化的情况：

⑴ 单击〖动画a〗，发现：a的正负决定图象的开口方向，|a|的大小决定其开口大小； ⑵ 单击〖动画c〗，发现：c的大小只改变顶点位置，不改变图象的其它性质； ⑶ 单击〖动画b〗，观察发现：b的大小不影响图象的形状、开口方向以及开口大小。 3． 利用几何画板的标识向量和运动制作平移变换

平移变换是数学图形变换中重要变换之一。四边形的平移、三角形的平移等是数学变换的重要内容之一。数学课堂上经常要进行几何图形的平移变换。平移不仅是初等数学中的学习内容，也是高等数学中重要的方法。几何画板在平移方面，其功能是非常强大的，只要我们充分利用平移变换的技巧，就能充分体验到平移变换的思想。

例3 图形的平移变换

先作出图形A，为了真实地反映其平移变换过程，可设置图形内部的填充色为灰色；然后确定标识向量D→F，标识向量反映了平移的方向和长度；接着确定图形A沿标识向量D→F平移的结果：图形A’；最后，作出图形平移变换的按钮。如从E→D的动画按钮，或从E→F动画按钮。此时，桌面有图A，图形A’，从E→D或从E→F画按钮。若分别单击两按钮〖运动F→D〗与〖运动F→E〗，我们即可观察到图形的平移变换情况。 4． 利用几何画板中的标识角度制作旋转变换

图形的旋转也是数学变换方法中重要内容，同样，数学课程改革后，图形的旋转变换也是中小学中重要的学习内容。无论初等数学学习还是高等数学的学习，我们都要学习和把握旋转变换思想。三角形的旋转是数学旋转变换中最基本的形式。我们可通过三角形的几何旋转，创设旋转变换的学习情境。

例4 做一个已知图形的旋转变换

在几何画板窗口内画一个图形A；利用〖画圆〗工具，在窗口内画圆D，在圆D上取三点E、F、G，并将点G拖至点E，F之间；按住键盘中shift键，依次选定∠GDE标识角度，另取一点H作为旋转中心；接着选定图形A（包括各顶点、边及内部），点击菜单〖变换〗/〖旋转〗作出现图形A’；最后依次选择点G，E，做出动画按钮〖运动G→E〗；或依次选择点G、F，仿上，得到按钮〖运动G→F〗；只要单击〖运动G→E〗或〖运动G→F〗按钮，就会发现图形在做旋转变换。

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5．利用几何画板中的反射实现对称变换

对称变换是数学中最富有数学美的一种方法。新数学教材中，有许多内容都体现对称特征，反映数学的对称美。为了体验、掌握旋转变换的特征，我们可利用几何画板的反射做出几何图形的对称变换，创设对称变换的教学情境。

例5 做三角形ABC的对称变换

⑴ 双击△ABC一侧的对称直线DE，选择△ABC（包括顶点、边），单击菜单〖变换〗/〖反射〗，立即出现△A’B’C’； 直线AB与A’B’，直线BC与B’C’分别相交于直线DE上点F，G；

⑵ 利用菜单〖构造〗/〖以圆心和一点划圆〗作出圆弧BB’ ，圆弧CC’； ⑶ 在圆弧BB’上选定点I，连FI，GI，交圆弧AA’于点J，圆弧CC’于点L； ⑷ 利用画板工具箱〖画线〗工具，构造△IJL；

⑸ 再利用菜单中〖编辑〗/〖按钮〗/〖运动〗，作出动画按钮〖运动I→B〗与〖运动I→B’〗；

此时，单击按钮〖运动I→B〗、或〖运动I→B’〗，就可体验三角形的对称变换，发现三角形在对称变换下一些特征，如在对称变换下保持全等关系不变、二对称直线相交于对称直线等。

（该论文为广东省教育科学“十五”规划项目的研究成果，项目号为GYA02042）

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