教案三 拓扑空间的定义

第一章 拓扑空间与连续映射

第一节 拓扑空间

数学分析中连续概念的刻画 设函数f:E1→E1，

（序列语言） 则f在x0处连续⇔∀xn→x0⇒f(xn)→f(x0)。

⇔∀ε>0,∃δ>0,使得当x−x0<δ时，f(x)−f(x0)<ε。（ε−δ语言） ⇔若V是包含f(x0)的开集，则∃包含x0的开集U，使f(U)⊂V。 （开集语言）

（邻域语言） ⇔若V是f(x0)的邻域，则f(U)是x0的邻域U。

1．1 拓扑空间的定义

Def.1 设X是非空集合，若X的一个子集族τ它满足： （1）{X,∅}⊂τ；

（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中； （3）τ中两个成员的交集仍在τ中。

则称τ为X的一个拓扑，称(X,τ)为一个拓扑空间，称τ中的成员为这个拓扑空间的τ开集，一般都简称为开集。(X,τ)有时也记作X。

例子

Ex.1 （离散拓扑）设X是非空集合，拓扑τ=2X。 Ex.2 （平凡拓扑）设X是非空集合，拓扑τ={X,∅}。 Ex.3 （余有限拓扑）设X是任意集合，

拓扑τf={Ac|A是X的有限子集}∪{∅}。（证明留作习题）

Ex.4 （余可数拓扑）设X是任意集合，， 拓扑τc={Ac|A是X的可数子集}∪{∅}，

Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数的集合，

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教案三：拓扑空间的定义

拓扑τe={U|U是若干个开区间的并集}。

注 事实上，R中开集的是若干个互不相交的开区间的并集。

拓扑的比较

Def.2 设τ1和τ2都是集合X上的拓扑，如果τ1⊂τ2，则称τ2比τ1大。 （或者说τ2比τ1精细）

显然τf⊂τc,τf⊂τe。

问题1（如何构造具体的拓扑）

（1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓扑？（1个） （2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓扑？（4个） （3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓扑？（29个）

（4）若X有n（n≥4）个元素，则X上一共有几个拓扑？(思考题)

例 X={a,b,c}上有29个拓扑： (1){∅,{a,b,c}}; (2){∅,{a,b,c},{a,b}}; (3){∅,{a,b,c},{a,c}} (4){∅,{a,b,c},{b,c}}; (5){{a,b,c},∅,{a}}; (6){{a,b,c},∅,{b}}; (7) { {a,b,c},∅,{c}}; (8){{a,b,c},∅,{a},{b,c}}; (9) {{a,b,c},∅,{a},{a,c}}; (10) {{a,b,c},∅,{b},{b,c}} (11){{a,b,c},∅ , {c},{b,c}};

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教案三：拓扑空间的定义

(12) {{a,b,c},∅ , {b},{a,b}}; (13){{a,b,c}, ∅, {c},{a,c}}; (14){{a,b,c},∅,{a},{a,b}}; (15){{a,b,c},∅,{b},{a,c}}; (16) {{a,b,c},∅,{c},{a,b}}; (17){{a,b,c},∅ , {b},{a,b},{b,c}} ; (18){{a,b,c},∅,{a},{a,c},{a,b}} ; (19){{a,b,c},∅,{c},{a,c},{b,c}}; (20){∅,{a,b,c},{a},{b},{a,b}}; (21) {∅,{a,b,c},{a},{c},{a,c}}; (22){∅,{a,b,c},{c},{b},{b,c}}; (23){∅,{a,b,c},{a},{c},{a,c},{b,c}} ; (24){∅,{a,b,c},{a},{b},{a,b},{b,c}}; (25){∅,{a,b,c},{a,c},{a,b},{a},{c}};(26){∅,{a,b,c},{c},{b},{a,b}{b,c}}; (27){∅,{a,b,c},{a},{b},{a,b},{a,c}}; (28){∅,{a,b,c},{c},{b},{b,c},{a,c}};

(29){∅,{a,b,c}, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}。

问题2 （1）若τ1和τ2都是X上的拓扑，则τ1∪τ2是X上的拓扑吗？案：不是）

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（答教案三：拓扑空间的定义

（2）若τ1和τ2都是X上的拓扑，则τ1∩τ2是X上的拓扑吗？（答案：是）

问题3 设(X1,τ1)和(X2,τ2)都是拓扑空间，则如何给出X1×X2上的拓扑结构？（乘积拓扑）

问题4 设(X,τ)是拓扑空间，(X,∼)是等价关系，则如何给出商集X/∼上的拓扑结构？（

作业 P.20 ex.1 ex.5

商拓扑）

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