人大附中数学中考模拟试卷

数 学 试 卷（二）

第Ⅰ卷（共32分）

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．5的相反数是

A．

11 B．5 C．－ D．－5 552．北京燕山石油化工有限公司是我们身边的大型国有企业，投产以来，已累计实现利税372亿元，给国家和人民做出了重大贡献，把该数据用科学记数法表示应为 A．3.72×10元 B．372×10元 C．3.72×10元 3．已知一个等腰三角形有两边的长分别为2和5，则它的周长为

A．7 B．9 C．12 D．9或12

4．某市去年九月份第一周连续七天的日平均气温分别为27，25，24，27，24， 28， 24（单位：℃）. 这组数据的众数和中位数分别是

A．24℃，25℃ B．24℃，26℃ C．24℃，27℃ D．28℃，25℃ 5．下列计算中，正确的是

A．a39

8

8

D．3.72×10元

10

= a B．3x -2x=1 C．2a·3a = 6a D．(x+y)=x+y

25

2

2

2

2

6．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是

A．直棱柱 B．圆柱 C．球 D．圆锥

主视图 左视图 俯视图 7．某学校大厅的电子显示屏，每间隔2分钟显示一次“年、月、日、星期、时、分”等时间信息，显示时间持续30秒，在间隔时间则动态显示学校当日的其它信息.小明上午到校后，一走进大厅，显示屏上正好显示时间信息的概率是

1111 B． C． D． 234518．类比二次函数图象的平移，把双曲线y=向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解

xA．析式变为 A．y

x3 x2 B．yx1 x1x1 C．y D．y x2x2x2第Ⅱ卷（共88分）

1

二、填空题(本题共16分，每小题4分)

9．函数y=2x1的自变量取值范围是 。

10．已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm、3cm，当它们相切时，圆心距O1 O2= 。

11．已知△ABC中，D、E分别是两边AB和AC的中点，若△ABC的面积是8cm2，则四边形BCED的面积是 cm2。

12．已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落

在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________。 A D A D D C＇ F F F A＇ B C B B 图1 图2 图3 三、解答题（本题30分，每小题5分） 13．计算：| 1－3|－(3.14－π) 0 +（12）-1

－4sin60 °。

14．解不等式 5x1242x32，并把它的解集在数轴上表示出来。

15．已知：如图，点D在AB的延长线上，AB＝DE，∠A＝∠CBE＝∠E。 判断△ABC和△BDE是否全等？并证明你的结论。

16．当x＝2011时，求代数式1x12xx21的值。

2

17．本学期我区中小学组织“社会大课堂”活动，某校安排初三年级学生去周口店“北京人遗址博物馆”

参观学习。已知该校距离博物馆约10千米，由于事先租用的汽车少来了一辆，一部分学生只好骑自行车先走，过了20分钟，其余学生再乘汽车出发．汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，结果他们正好同时到达，求骑自行车学生的速度。

18．如图，某一次函数y＝kx+b的图象与一个反比例函数的图象交于A、B两 点，点A和点B关于直线y＝x对称。 （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）直接写出点B的坐标； （3）求k和b的值。

四、解答题（本题共19分，第19、20、21题各5分，第22题4分）

19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD，若它的周长为12 cm，求BC边的长。

3

20．出于研究中小学生减负问题的需要，某地教研室对当地初二年级学生周一至周五每天完成课外作业的

大致平均时间进行了抽样调查，下面是根据调查所得数据制作的统计表和扇形统计图，但表和图中都有缺项，请你根据表、图中所提供的信息解答下列问题：

组别序号 分组范围 人数 第1组 30分钟以下 第2组 30～60分钟 50 第3组 60～90分钟 125 第4组 第5组 90～120分钟 120分钟以上 275 30 （1）求一共调查了多少名学生？

（2）该地区共有初二学生约8000人，请你根据抽样调查所得数据，估计

该地区初二学生中，有多少人完成当天课外作业所需时间不少于90 分钟？

（3）请把表和图中的缺项补全。

21．如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC 分别相切。

（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由。 （2）若AB=5， BC=4，求⊙O的半径。

22．将正方形ABCD（如图1）作如下划分：

第1次划分：分别联结正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；

第2次划分：将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形；

若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形； 继续划分下去，能否将正方形ABCD划分成有2011个正方形的图形？需说明理由.

4

A D A H D A H D

E M G E M G

B C B F C B F C 图1 图2 图3

五、解答题（本题共23分，第23题8分，第24题8分，第25题7分）

23．已知在同一直角坐标系中，直线l：y=x-3k+6与y轴交于点P，M是抛物线C：

2

y=x-2 (k+2) x+8k的顶点。

（1）求证：当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点；

（2）A、B是抛物线c与x轴的两交点，A、B在y轴两侧，且A在B的左边，判断：直线l 能经过点B

吗？（需写出判断的过程）

（3）在(2)的条件下，是否存在实数k，使△ABP和△ABM的面积相等？如果存在，请求出此时抛物线C

的解析式；若不存在，请说明理由。

24．已知：如图，等边△ABC中，AB=1，P是AB边上一动点，作PE⊥BC，垂足为E；作EF⊥AC， 垂足为F；作FQ⊥AB，垂足为Q。

（1）设BP=x，AQ=y，求y与x之间的函数关系式； （2）当点P和点Q重合时，求线段EF的长；

（3）当点P和点Q不重合，但线段PE、FQ相交时，求它们与线段 EF围成的三角形周长的取值范围。

5

25．已知：如图，在梯形ABCD中，∠BCD=90°， tan∠ADC=2，点E在梯形内，点F在梯形外，

BEABCECD0.5，∠EDC=∠FBC，且DE=BF。 （1）判断△ECF的形状特点，并证明你的结论； （2）若∠BEC=135°，求∠BFE的正弦值。

中国人民大学附属中学中考冲刺卷

数学试卷（二）参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D D C A C B D A

6

二、填空题(本题共16分，每小题4分) 题号 9 10 11 12 答案 x ≥12 1cm或5cm 6 6-2

三、解答题（本题30分，每小题5分）

13. 原式=3-1-1+2-23 „„„„„„„„„„„„„4分 = -3。 „„„„„„„„„„„„„„„„„5分 14. 5x-12>8x-6， „„„„„„„„„„„„„„„„1分 -3x>6， „„„„„„„„„„„„„„„„2分 x<-2.

∴ 不等式的解集是x<-2。 „„„„„„„„„„„„„„„„3分 数轴上正确表示解集 „„„„„„„„„„„„„„„„5分 15. 全等 „„„„„„„„„„„„„„„„1分 证明：∵∠CBE =∠E，

∴ BC∥DE。 „„„„„„„„„„„„„„„2分

又∵点D在AB的延长线上，

∴∠CBA=∠D。 „„„„„„„„„„„„„3分

在△ABC和△EDB中,

又∵∠A=∠E, AB=DE, „„„„„„„„„„„„„4分 ∴△ABC≌△EDB。 „„„„„„„„„„„5分

16. 原式=

1x1-2x(x1)(x-1) „„„„„„„„„„„„„1分 =

x-1-2x(x1)(x-1) „„„„„„„„„„2分

=

-x-1(x1)(x-1) „„„„„„„„„„3分

= -

1x-1 „„„„„„„„„„„4分 ∴当x=2011时，

原式= -12011-1 = -12010 „„„„„„„„„„„„5分 17. 设骑自行车学生的速度是x千米/时. „„„„„„„„„„„1分

依题意,得

10x-102x13。 „„„„„„„„„„„„„2分

解得 x=15。 „„„„„„„„„„„„„3分 经检验，x=15是原分式方程的根。 „„„„„„„„„„„„„4分 答：骑自行车同学的速度是15千米/时。 „„„„„„„„„„„5分 18. ⑴ 由题意,可认定点A的坐标是(-1, 2), 把x = -1, y=2代入y=

mx，

7

解得m= -2。

∴ 反比例函数的解析式是y= -

2x。 „„„„„„„„„„„2分 ⑵ 点B (2, -1)。 „„„„„„„„„„„„„„„„3分 ⑶ 把点A(-1,2)、B (2,-1)分别代入y=kx+b， 得 -kb2,b1. „„„„„„„„„„„„„„„„4分

2k 解得，k= -1，b=1。 „„„„„„„„„„„„„„„„5分

四、解答题（本题共19分，第19、20、21题各5分，第22题4分）

19. 能正确画出图形 „„„„„„„„„„„„„„„„„1分 作DE∥AB交BC与E，则∠DEC=∠B=60°， „„„„„„„„2分 又∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC。 A D ∴ DE=AB =CD，且AD=BE。 ∴△CDE是等边三角形。 又∵AB =AD，

B E C ∴CE=CD=AD=BE=AB。 „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 依题意，AB+AD+CD+CE+BE=12cm， „„„„„„„„„„„4分 即 5BE=12cm ， ∴ BE=2.4cm

∴ BC边的长为4.8cm. „„„„„„„5分 20. ⑴ 500 „„„„„„„1分 ⑵ 4880 „„„„„„„2分 D F

⑶ 表中空格填“20” „„„„„„„3分 把扇形统计图补全 „„„„„„„5分

21. ⑴ 是 „„„„„1分 理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D.

联结OD，则OD⊥AB于D. 作OF⊥AC于F， ∵AE是底边BC上的高，

∴AE也是顶角∠BAC的平分线。 ∴OF=OD=r为⊙O的半径。 ∴⊙O与AC相切于F。 又∵ ⊙O与BC相切，

∴⊙O是△ABC的内切圆。 „„„„„„„„„„„„„„„2分 ⑵ ∵OE⊥BC于E， ∴点E是切点，即OE=r。 由题意，AB=5，BE=

12AB=2， ∴ AE=52-22=21。 „„„„„„„„„„„3分

∵Rt△AOD∽Rt△ABE，

∴

OAODABBE， „„„„„„„„„„„„„„„4分

8

即

21-rr52。

解得，r=

2217。 ∴ ⊙O的半径是

2217。 „„„„„„„„„„„„„„5分 22. 第2次划分，共有9个正方形； „„„„„„„„„„„„„1分 第100次划分后，共有401个正方形； „„„„„„„„„„„„2分 依题意，第n次划分后，图中共有4n+1个正方形， „„„„„„„3分

而方程4n+1=2011没有整数解，

所以，不能得到2011个正方形。 „„„„„„„„„„„„„4分

五、解答题（本题共23分，第23题8分，第24题8分，第25题7分）

23.⑴ 证明：在抛物线C中， Δ=4 (k+2)2-32k =4k2

-16k+16 =4(k-2)

2

„„„„„„„„„„„„„„„„1分

∵

当k≠2时，4(k-2)2

＞0，

∴方程x2

-2(k+2)x+8k=0有两个不相等的实数根。

∴ 当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点。 „„„„„„„„2分 ⑵ 解方程x2-2(k+2)x+8k=0，

得 x1=4，x2=2k „„„„„„„„„„„„„„„„3分 ∵点A、B在y轴两侧，且A在B的左边，

∴k＜0，点B（4，0） „„„„„„„„„„„„„„„„4分 把点B（4，0）代入y=x-3k+6，

得 k=103＞0，与“k＜0”不符

∴ 直线l不可能经过点B „„„„„„„„„„„„„„„„5分 ⑶ y=x2-2(k+2) x+8k =[x-(k+2)]2-(k-2)2，

作MH⊥x轴于H，则MH=(k-2)2 „„„„„„„„„„„„„6分 ∵k＜0, ∴-3k+6＞0 ∴OP= -3k+6

由S △ABP=S△ABM ，得 -3k+6=(k-2)2 „„„„„„„„„„„7分 解得 k1= -1，k2= 2（舍去）

∴存在实数k= -1，使得S△ABP=S△ABM .

此时，抛物线C的解析式是y=x2

-2x-8 „„„„„„„„„„8分 8. ⑴∵△ABC是等边三角形，AB=1

∴∠A=∠B=∠C=60°, BC=CA=AB=1 „„„„„„„„„1分 又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°, BP=x ∴BE=

11111112x, CE=1-2x, CF=2-4x, AF=1-(2-14x)=2+4x

9

∴AQ=12AF=12(12+14x),

∴ y=

18x+14 „„„„„„„„„„„„2分 xy1, ⑵由方程组11 y8x „„„„„„„„„„„„3分 4. 得x =

23. „„„„„„„„„„„„4分 ∴当点P和点Q重合时，x =23，

∴EF=3CF=3(112-4x)=33. „„„„„„„„„„„„„„„„5分

⑶设线段PE、FQ相交于点M，

易证△MEF是等边三角形， „„„„„„„„„„„„6分 且当点P和点A重合时，EF最短为34. „„„„„„„7分

∴

334≤ m ＜3. „„„„„„„„„„„„8分 9. ⑴ 是等腰直角三角形. „„„„„„„„„„„„„1分

证明：作AH⊥CD于H，

∵梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°.

∴ AB∥CD，AH=BC，AB=CH. „„„„„„„„„„„„„„2分

又∵

ABCD0.5，即CH+DH=2AB=2CH ∴ DH=CH，CD=2DH ∵ tan∠ADC=

AHDH=2， ∴ AH=2DH=CD=BC „„„„„„„„„„„„„„3分 在△EDC和△FBC中， 又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF， ∴△EDC≌△FBC ∴CE=CF, ∠ECD=∠FCB ∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°, ∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°.

∴△ECF是等腰直角三角形 „„„„„„„„„„„„H

4分 ⑵ ∵ 在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°， ∴ ∠CEF=45°，CE=22EF „„„„„„„„„„„„5分 又∵∠BEC=135°，

BECE=0.5 ， ∴ ∠BEF=90°，

BEEF=24 „„„„„„„„„„„„„„„6分

10

不妨设BE=2，EF= 4，则BF=18 ∴sin∠BFE=

1BE=2= „„„„„„„„„„„7分 BF183 11