线性代数A：2015-2016学年第1学期期末考试题-参考答案与评分标准(1)

1.设A,B是两个n阶矩阵，下列说法正确的是（ ）．

A若A与B相似，则A与B合同； B若A与B合同，则A与B相似；

C若A,B是对称矩阵，则A与B相似当且仅当A与B合同； D以上说法都不对 2. 已知向量组{1,2,3,4}中线性相关，{1,2,3,5}线性无关。则下列说法正确的是（ B ）

A{1,2,3,4,5}的秩为5； B{1,2,3,4,5的秩为4； } C5可以由{1,2,3,4}的线性表示； D3可以由{1,2,4,5}的线性表示。

3.设A为n阶可逆矩阵，n3. 则下列等式正确的是（ A ）

A(A)C(A)An2A； B(A)An1A； A。

AA； D(A)Ann14.设A为mn矩阵，R(A)m，以下结论成立的是（ B ） AA的行向量组线性相关； BA的行向量组线性无关； CA的列向量组线性相关； DA的列向量组线性无关。

二. 填空题（每小题5分，共25分）

1.设A为3阶方阵，其特征值为1,2,3，则4A1E 1 。

3002.设T(1,1,1),(1,0,k)且相似于000，则k 2 。

000第1页 共4页

x1x2x30x2xax0233.设线性方程组1有解，则a 1 或 2 。 2x14x2ax30x12x2x3a1114.设四阶行列式D110222212330，则A41A42A43A44 4 。 1422 5.设二次型f(1x,2x,x)x312x223x3正2t2定x3，x则t的取值范围是

6t6 。

三. 计算和解答题（每题12分，共计48分）

1a23412a34，，，，向量组,,,线性相1. 设11234234123a41234a关。求a和1,2,3,4的一个极大无关组。解 因为向量组1,2,3,4线性相关，故

(1,2,3,4)a3(a10)0 （4分） 从而 a0 或 a10. （2分）

当a0时，1是1,2,3,4的一个极大无关组。 （2分） 当a10时，

923492341183418340(1,2,3,4)行行127412740123612360（2分） 1,2,3是1,2,3,4的一个极大无关组。

21003601 （2分）

1100第2页 共4页

2341a11a234行0法2：(1,2,3,4)12a340123a402a003a40a. （6分）

aa0a(a10)因为向量组1,2,3,4线性相关，故a0 或 a10. （2分） 当a0时，1是1,2,3,4的一个极大无关组。 （2分） 当a10时， 1,2,3是1,2,3,4的一个极大无关组。（2分）

x1x22x33x402. 求线性方程组3x12x28x37x41的通解。

xx6xx23412解 线性方程组的增广矩阵

112301041132871行01221 （4分） 1161200000x4x3x41同解方程组1 （2分）

x2x2x13424122对应齐次方程组的基础解系为 1,2 （2分）

100111方程组的一个特解为 （2分）

00故方程组的通解为xk11k22， k1,k2R. （2分）

13. 设A为三阶实对称矩阵，其特征值分别为1,2,2，1是矩阵A属于特征值1的

1特征向量，BA54A3E。验证是B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量。 解：由于是矩阵A属于特征值1的特征向量，故A. （2分）

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从而 B(A54A3E)4(2)，即是B的属于特征值2的特征向量。（2分）

B的特征值为12,21. （2分）

B的属于特征值2特征向量为k，k0. （2分）

B的属于特征值1的特征向量与属于特征值2的特征向量正交。由于B为实对称矩阵，故B的

x1属于特征值1的特征向量x2满足x1x2x30。 （2分）

x311故B的属于特征值1的特征向量为k11k20， k12k220. （2分）

01224. 设二次型f(x1,x2,x3)x12x2利用正交变换将其化为标准型，x34x1x24x1x34x2x3，

并写出所作的正交变换。

122解：二次型的矩阵为A212. （2分）

2211EA22222(1)2(5) 112故A的特征值为1,5. （2分）

当11时，解方程组(EA)x0

222111 EA222000

22200011基础解系为：11,20 （2分）

01第4页 共4页

122,11 1令11， 2221,1111111p1。 （2分） 单位化：p1，22602当25时，解方程组(5EA)x0

422101 5EA242011

2240001111 （2分） 基础解系为 31，单位化：p331122令P(p1,p2,p3)，作正交变换xPy，则f(x1,x2,x3)y12y25y3. （2分）

四． 证明题（共计7分）

214. A为n阶方阵，E为n阶单位阵，1）若AE. 证明3EA是可逆矩阵；

法1:(3EA)(3EA)9EA28E,(3EA)(3EA)E,所以3EA是可逆矩阵 82法2: 因为AE,所以A的特征值为1或-1,故3EA的特征值为2或4, 3EA0,

所以3EA是可逆矩阵

2）若存在非零矩阵B使AB0，则A0.

1 法1:假设A0,则A可逆,有AAB0,B0,矛盾.命题得证.

法2:因为B0,所以AX0有非零解.由克莱姆法则有A0

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