对数换底公式的探究及应用

对数换底公式的探究及应用（修改稿）

云南会泽一中 郭兴甫 邮编：654200

课本66页中给出探究问题，你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

logablogcb(a0,且a1;c0,且c1;b0)logca

你推导了吗？这里给出一种证明，供你参考比较。

证明：设

logcbm,则logcbmlogcalogcam,amb,即mlogablogca

故

logablogcb(a0,且a1;c0,且c1;b0)logca成立。

由对数的性质，利用换底公式易得探究变式：

变式1.

loganbnlogab

logcbnnlogcb左边logabnnlogalogacc证明：

变式2.

loganbmmlogabn

由变式1可证这里略。

变式3.

logab1(a0,且a1,b0)logba

证明：由换底公式，可得

logablogbb1(a0,且a1,b0)logbalogba

变式4.logab•logbclogac(a0,a1;b0,b1;c0)

lgblgclgclogaclgalgblga证明：左边==右边。

变式5.logam•logbnlogan•logbm其中（a0,a1;b0,b1;n0,m0)

证明可仿变式4.这里略。

举例：

例1已知log1227m,求log616的值。

分析：由于已知的对数和所求的对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，寻找已知和未知之间的关系，可将真数都化成质数的形式，方便计算。

3lg33mm,lg2lg32lg2lg32m

解：由

log1227m,得3mlg164lg22m4(3m)log6163mlg6lg2lg33m12m

4

评注：应用换底公式时一般换成以10为底或以其中一个底数相同的对数的形式，也可根据实际需要换成相应的底。

例2.计算

log48log13log924

分析：因对数式中底数都不相同，故不能直接利用对数的运算性质计算。利用变式2化简每一个对数式。

312log22log33log221222

log2223log323log12222解：原式=

314222=

评注：正确利用换底公式是快速，准确求解对数问题的有效途径之一。

213x4y36,求xy的值。 例3.设

分析：已知条件可转化为对数式，在利用换底公式将底数化为同底的对数式。

解：

3x36,4y36,xlog336,ylog436,

1111log363,log364.xlog336ylog436

212log363log364log36(324)1xy

评注：利用对数的底数与真数互换，对数值互为倒数，可把两对数的底数化为相同，进而可利用对数的性质运算。

例4.计算log225•log34•log59

分析：本题是求几个对数值的积的问题，由于底数不同，可利用变式4改变真数的位置，再把真数化为质数幂的形式。

log24•log39•log525log222•log332•log552解：原式=

=222=8

评注：本题的解答过程实际是把对数换底，再约分。

例5已知

2x256且log2x1x,求函数f(x)log2•log222x2的最大值和最小值。

分析：由条件知log2x的范围，将所求函数式化为用log2x表示的形式，再用函数在闭区间上的最值问题求解。

11由2x256得2x28x8.又log2x，log2x322解：

xf(x)(log2x1)(log2)(log2x1)(log2x2)4

31(log2x)23log2x2(log2x)224 =

当log2x3113,即x22时，f(x)min,又因log2x时，f(x),当log2x32424时，f(x)21故函数的最大值为2，最小值为－4。

评注：解决本题的关键是正确利用换底公式式，提示也是解决本题的一个难点。

loganbnlogab把对数式转化为log2x的形

附注：本文适合第6期4版自主探究、方法技巧等栏目。笔者在教学中发现学生能灵活应用换底公式，对解决对数方面的问题十分有益。希望本文能给同学们一点帮助与启示！