速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.
要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动. 证明：设α粒子的质量为Mα，碰撞前速度为V，沿X方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射。电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处，碰撞后以速度v沿φ方向反冲。α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有： （1）
（2）
（3）
作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ,得
（4） （5）
再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，
化简上式，得
（６）
若记，可将（６）式改写为
（７）
视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有
令 ，则
sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即
2cos(θ+2φ)sinθ=0 （1）
若 sinθ=0,
则 θ=0（极小） （8）
（2）若cos(θ+2φ)=0
则 θ=90º-2φ （9） 将（9）式代入（7）式，有
由此可得
θ≈10-4弧度（极大）
此题得证。
（1）动能为的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？
（2）如果金箔厚 μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？
要点分析:第二问是90°～180°范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值.
,其他值从书中参考列表中找.
解：（1）依 和 金的原子序数Z2=79
答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为.
(2)解: 第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出
来.
(问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出)
从书后物质密度表和原子量表中查出
ZAu=79,AAu=197,
ρAu=×10kg/m
4
3
依:
注意到： 即单位体积内的粒子数
为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。
是常数其值为
最后结果为：dN’/N=×10-5 说明大角度散射几率十分小。
1-3～1-4 练习参考答案（后面为褚圣麟1-3～1-4作业）
1-3 试问的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何?
要点分析: 计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。
解: 对心碰撞时 ，时 ，
离金核最小距离
离7Li核最小距离
结果说明: 靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估
算准核的半径. 反之易反。
1-4 ⑴ 假定金核半径为 fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？
⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，
那么入射质子的能量应为多少？设铝核的半径为 fm。
要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重
时, m << M可直接用公式计算;靶核较轻时, m << M不满足,应考虑靶核的反冲,用相对运动的质心系来解.79AAu=196 13AAl=27
解：⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m << M，则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为，时 ， 即 即：
⑵ 若金核改为铝核，m << M则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子中，应把E理解为质心系能EC
说明靶核越轻、Z越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小.核半径估计值越准确. 褚圣麟教材作业题解
若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C′放射的,其动能为×106电子伏特。散射物质是原子序数Z=79的金箔,试问散射角
θ=150°所对应的瞄准距离b多大?
解： 依 和
答：散射角为150º所对所对应的瞄准距离为×10-15m
钋放射的一种α粒子的速度为×107米/秒,正面垂直入射厚度为10-7米,密度为×104公斤/米3的金箔,试求所有散射在θ≥90°的α粒子占全部入射粒子的百分比,已知金的原子量为179。
解: 此题解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来. 设散射入大于90°角的粒子数为dn’,入射的总粒子数为n,金箔的单位体积内的粒子数为N。
依:
注意到：
最后结果为：dn/n=×10-7
问答:如果知道散射的总粒子数，如何计算散射入某一角度内粒子的数量？如何求出其散射截面？如何算出散射几率？ 散射入某一角内的粒子数
散射几率(微分散射截面)
习题1-5、1-6解 补：求积分式的积分结果 解：积分式的积分结果
=
结果：
1-5 动能为的窄质子束垂直地射在质量厚度为cm2的金箔上，记数器的记录以60°角散射的质子。计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2，离金箔散射区的距离为10cm，输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度ρm定义为单位面积的质量ρm=ρt，则ρ=ρm/ t其中ρ为质量密度，t 为靶厚）。
要点分析：没给直接给nt。设置的难点是给出了质量厚度，
计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t。需推导其关系。
解：输入圆孔相对于金箔的立体角为 Au=197
Aθ=60º （注意密度为单位体积的质量,单位体积内的粒子
数为）
依公式 )2 1 15 2 dN ' 2 d 1. 5 (79 1 .44 10.5 1023 6 nt 6. 022 10 8.9 10 1 N 16 sin197 16 4 ( )4 2 2
1-6 一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比。 要点分析：此题无难点，只是简单积分运算。
解：依据散射公式
因为 同理算出
可知
习题1-7、8解
补：求积分式的积分结果 解： 积分式的积分结果 =
结果：
1-7 单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为cm2的钽箔上，这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为×10-3.试计算：散射角θ=60°角相对应的微分散射截面。 要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系。 解： ρm= cm2
ATa=181 ZTa=73
θ=60º
依微分截面公式 知该题重点要求出a2/16
由公式
所以
1-8 (1)质量为m1的入射粒子被质量为m2（m2<< m1）的静止靶核弹性散射,试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定.
（2）假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大？
要点分析：同第一题结果类似。 证明： （1） （2） （3）
作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ,得 （4） （5）
再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，得 化简上式，得
（６） 若记，可将（６）式改写为 （７）
视θ为φ的函数θ(φ)，对(7)式求θ的极值，有
令 ，则
sin2(θ+φ)-sin2φ=0 2cos(θ+2φ)sinθ=0 (1)
若 sinθ=0,
则 θ=0（极小） （8） (2) 若cos(θ+2φ)=0
则 θ=90º-2φ （9） 将(9)式代入(7)式，有
由此可得
若m2=m1 则有 此题得证。
第一章 习题1-9、10题解
1-9 动能为 Mev的窄质子束垂直地射到质量厚度（ρt）为cm2
的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少？
要点分析：此题靶为一个复合材料靶,关键找出靶的厚度t .
然后计算出金原子数和银原子数,即可积分计算.
从书后表可知：ZAu=79,AAu=197, ρAu=×104kg/m3;
ZAg=47,AAg=108, ρAg=×104kg/m3.
解： 先求金箔的厚度t ρt=ρAu+ρAg) t = cm2
这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为
和
再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目。被金原子散射的相对数目为：
式中，N为入射质子总数，dNAu’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数目为：
被散射的相对质子总数为
将已知数据代入： NA=
×
1023,E=,t=
μ
m,ZAu=79,AAu=197,
ρAu
=×
103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,ρAg=×103kg/m3
η≈×10-5
结果讨论: 此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.
1-10 由加速器产生的能量为、束流为 nA的质子束，垂直地
射到厚为μm的金箔上，试求5 min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度（ρ=×104 kg/m3）
[1] 59°～61°; [2] θ>θ0=60° [3] θ<θ0=10°
要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系.
注意:第三问,因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射，故可
先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得。
解：设j 为单位时间内入射的粒子数，I为粒子流强度，因I= je, j=I/e,时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个：
再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为：
单位时间内，被所有靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为
式中，n为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：
所以，上式可写为
解：[1]
解：[2] 仍然像上式一样积分，积分区间为60°-180°，然后用总
数减去所积值。即θ>θ0=60°的值。
解：[3] 由于0°的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°，然后用总数减去所积值，即θ<θ0=10°的值。
总数为××1011=×1012 (个
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