参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A． 3
B． ﹣3 C．
D． ﹣
分析： 根据相反数的概念解答即可． 解答： 解：﹣3的相反数是3， 故选：A．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
3255444236
A． a+a=a B． a÷a=a C． a•a=a D． （ab）=ab
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析： 利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案．
32
解答： 解：A、a与a不是同类项，不能合并，故选项错误；
545﹣4B、a÷a=a=a，故选项正确；
44+15
C、a•a=a=a，故选项错误；
2336
D、（ab）=ab，故选项错误． 故选B．
点评： 本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．
3．（3分）某班6名同学参加体能测试的成绩如下（单位：分）：75，95，75，75，80，80．关于这组数据的表述错误的是（ ）
A． 众数是75 B． 平均数是80 C． 中位数是75 D． 极差是20
考点： 众数；加权平均数；中位数；极差．
分析： 根据众数、平均数、中位数、极差的概念求解．
解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，75，75，80，80，95， 则众数为75，
平均数为：中位数为：
=77.5，
=80，
极差为：80﹣75=5． 故选C．
点评： 本题考查了众数、平均数、中位数、极差的知识，熟练掌握概念是解答本题的．
4．（3分）如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 140°
考点： 平行线的性质．
分析： 首先求得∠CDA的度数，然后根据平行线的性质，即可求解． 解答： 解：∠CDA=180°﹣∠CDE=180°﹣140°=40°， ∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDA=40°． 故选A．
点评： 本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，是一个基础题． 5．（3分）下列事件为必然事件的是（ ） A． 某射击运动员射靶一次，正中靶心 B． 小王参加本次数学考试，成绩是125分
C． 打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D． 口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
考点： 随机事件．
分析： 必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
解答： 解：A、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，选项错误； B、小王参加本次数学考试，成绩是125分是随机事件，选项错误；
C、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件，选项错误； D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球正确． 故选D．
点评： 本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）设a=，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A． 2和3 B． 4和5 C． 7和8 D． 8和9
考点： 估算无理数的大小． 分析： 估算出的取值范围，即可得出a的取值范围． 解答： 解：∵＜＜， ∴7＜＜8， ∴7＜a＜8． 故选：C．
点评： 本题考查的是估算无理数的大小，估算出的取值范围解答此题的关键．
7．（3分）如果直线y=k1x+1和y=k2x﹣4的交点在x轴上，那么k1：k2等于（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 1：4 D． 1：（﹣4）
考点： 两条直线相交或平行问题．
分析： 分别求出两直线与x轴的交点的横坐标，然后列出方程整理即可得解． 解答： 解：令y=0，则k1x+1=0， 解得x=﹣k2x﹣4=0， 解得x=
， ，
∵两直线交点在x轴上， ∴﹣
=
，
∴k1：k2=1：（﹣4）． 故选D．
点评： 本题考查了两直线相交的问题，分别表示出两直线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
8．（4分）化简：
+
= 0 ．
考点： 实数的运算．
分析： 首先计算二次根式和立方根，然后在计算有理数的减法即可． 解答： 解：原式=3﹣3=0， 故答案为：0．
点评： 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
9．（4分）分解因式：2x﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 因式分解．
分析： 先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
2
解答： 解：2x﹣8
2
=2（x﹣4） =2（x+2）（x﹣2）． 故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2
10．（4分）方程组的解是 ．
考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题．
分析： 方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解：
，
①+②得：4x=20，即x=5， 将x=5代入①得：y=1， 则方程组的解为故答案为：
．
．
点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（4分）据统计，全面实现九年制义务教育以来，我省免除30 000 000多名农村寄宿制学生住宿费，将“30000000”这个数用科学记数法表示为 3×10 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
n
分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
7
解答： 解：将30000000用科学记数法表示为：3×10．
7
故答案为：3×10．
n
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠ACD=100°，∠A=40°，则∠B的度数是 60° ．
7
考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠B=100°﹣40°=60°．
解答： 解：∵∠ACD=100°，∠A=40°， ∴∠B=100°﹣40°=60°，
故答案为：60°．
点评： 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC= ．
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理． 专题： 网格型．
分析： 先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
解答： 解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC=∴cosC=故答案为：
．
，
，
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
14．（4分）计算：（
﹣
）÷2= ．
考点： 分式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解
：
原
式
=[
﹣
]×=×=．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（4分）不等式组
的解集是 2＜x＜3 ．
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解答： 解：
，由①得，x＞2，由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：2＜x＜3． 在数轴上表示为：2＜x＜3．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（4分）如图，已知反比例函数
与一次函数y=x+b的图象相交于点A（1，m）、
B（﹣2，﹣1），则反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜1 ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 计算题．
分析： 由反比例函数与一次函数交点的横坐标1和﹣2，以及0，将x轴分为四个范围，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
解答： 解：根据图象得：反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
17．（4分））在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点
的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的面积是 16或24 ．
考点： 图形的剪拼． 专题： 压轴题．
分析： 先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出两直角边的长，进而求出面积．
解答： 解：如图，构造三角形． ①如图：过点D作DN⊥AC于点N，
CD=
=2
，
由题意可得出：DN=EC=4， NC=DE=2，
∵D为AB中点， ∴AD=CD=BD，
∴AN=NC=2，BE=EC=4，
∴原直角三角形纸片的面积是：×4×8=16；
②如图：过点E作EF⊥AC于点F，
因为CE=
=5，
点E是斜边AB的中点，则AE=BE=CE=4， 由题意可得出：BD=CD=EF=4， 则FC=DE=3， ∴AC=6，BC=8，
∴原直角三角形纸片的面积是：×6×8=24．
故答案为：16或24．
点评： 此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
三、解答题（本大题共13小题，共89分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（7分）计算：﹣1+3×（﹣2）﹣．
考点： 实数的运算．
分析： 本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：原式=﹣1+1×4﹣4=﹣1+4﹣4=﹣1． 点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
19．（7分）如图，画出△ABC关于点C对称的图形．
0
2
考点： 作图-旋转变换． 专题： 作图题．
分析： 延长AC至A′，使A′C=AC，延长BC至B′，使B′C=BC，然后顺差连接A′、B′、C即可．
解答： 解：△ABC关于点C对称的图形△A′B′C如图所示．
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 20．（7分）已知：如图，B、F、C、D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．求证：AB∥ED．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 先根据BF=CD得出BC=DF，再由SAS定理得出△ABC≌△EDF，由全等三角形的性质得出∠B=∠D，由此可得出结论．
解答： 证明：∵BF=CD， ∴BF+FC=CD+FC，即BC=DF． 在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）， ∴∠B=∠D， ∴AB∥ED．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知SAS定理是解答此题的关键． 21．（6分）小明学完了统计知识后，从“中国环境保护网”上查询到他所居住地2014年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取28天，并列出下表：
空气质量级别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 A 14 7 0 0
请你根据以上信息画出该地扇形统计图．
考点： 扇形统计图；统计表．
分析： 首先求得A的值，然后求得优、良、以及轻度污染各自所对应的圆心角的度数，即可作出扇形统计图．
解答： 解：A=28﹣7﹣14=7，
优：良：
×360°=90°； ×360°=180°
×360°=90°．
轻度污染：
点评： 本题考查扇形统计图的运用，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．画扇形图时注意圆心角的求法．
22．（6分）解方程：x﹣4x+3=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析： 此题可以采用配方法：首先将常数项3移到方程的左边，然后再在方程两边同时加上4，即可达到配方的目的，继而求得答案；
此题也可采用公式法：注意求根公式为把x=
，解题时首先要找准a，
2
b，c；
此题可以采用因式分解法，利用十字相乘法分解因式即可达到降幂的目的．
2
解答： 解法一：移项得 x﹣4x=﹣3，（1分）
22
配方得 x﹣4x+4=﹣3+4（x﹣2）=1，（2分） 即 x﹣2=1或x﹣2=﹣1，（3分） ∴x1=3，x2=1；（5分）
解法二：∵a=1，b=﹣4，c=3，
∴b﹣4ac=（﹣4）﹣4×1×3=4＞0，（1分） ∴
，（3分）
2
2
∴x1=3，x2=1；（5分）
解法三：原方程可化为 （x﹣1）（x﹣3）=0，（1分） ∴x﹣1=0或x﹣3=0，（3分） ∴x1=1，x2=3．（5分）
点评： 此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意解题时选择适当的解题方法，此题采用因式分解法最简单．
23．（6分）如图，某风筝线的一端固定在地面上，此时风筝线长AB=48米，风筝线与地面的夹角∠ABC=60°，求风筝的高度AC．
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 在直角△ABC中利用∠B的正弦，即可求解． 解答： 解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，
∴sinB=，
∴AC=AB•sinB=48×sin60°=24（米）． 答：风筝的高度AC为24米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，理解三角函数的定义，理解三角函数反应了直角三角形的边与角直角的关系是关键．
24．（6分）甲袋中有两个红球，分别标有数字1、2；乙袋中有两个白球，分别标有数字2、3．这些球除颜色和数字外完全相同．小明先从甲袋中随机摸出一个红球，再从乙袋中随机摸出一个白球．请画出树状图，并求摸得的两球数字和为奇数的概率．
考点： 列表法与树状图法． 分析： 首先根据题意画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两球的数字和为奇数情况，利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树形图得：
由树形图可知共有6种等可能的结果，数字和为奇数有2种， 若记所求事件为A，则P（A）=．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连结AB．如果直线AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．试判断点C（3，1.5）、D（3.8，3.6）是否是线段AB的“环绕点”，并说明理由．
考点： 坐标与图形性质． 专题： 新定义．
分析： 根据点A、B的纵坐标相等判断出AB∥x轴，然后求出点C、D到AB的距离，再根据“环绕点”的定义判断．
解答： 解：由“环绕点”的定义可知：点P到直线AB的距离d应满足：d≤1， ∵A、B两点的纵坐标都是3， ∴AB∥x轴，
∴点C到直线AB的距离为|1.5﹣3|=1.5＞1， 点D到直线AB的距离为|3.6﹣3|=0.6＜1，
∴点C不是线段AB的环绕点，点D是线段AB的环绕点．
点评： 本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解“环绕点”的定义是解题的关键．
26．（6分）某工厂承担了加工1200个机器零件的任务，原计划由甲车间独立完成，因任务紧急，实际由甲乙两车间同时加工，结果比原计划提前10天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的2倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
考点： 分式方程的应用．
分析： 先设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件2x个，由题意列分式方程即可得问题答案．
解答： 解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件2x个，依题意得：
﹣
=10
解得：x=80，
经检验，x=80符合题意．
答：甲车间每天加工零件80个，则乙车间每天加工零件160个．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
27．（6分）（2014•海沧区模拟）已知：如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．∠BCF=30°．当∠DAC满足什么条件时，CF是⊙O的切线．请给予证明．
考点： 切线的判定． 分析： 当∠DAC=60°时，CF是⊙O的切线．如图，连结OC．欲证明CF是⊙O的切线，需先证明OC⊥FC．
解答： 解：当∠DAC=60°时，CF是⊙O的切线．证明如下： 连结OC．
∵∠BCD=∠BAC，∠BCD=∠BAD，∠DAC=60°． ∴∠BAC=∠BAD=30°．
∴∠BOC=60°．
∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB=60°． ∵∠BCF=30° ∴∠OCF=90°即OC⊥FC， ∴CF是⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
28．（6分）已知点A（m1，n1）在直线y=kx+b上，点B（1，n2）在双曲线y=上．若m1+1=3b，n1+n2=kb﹣b+4，b＞2+．试比较n1和n2的大小，并说明理由．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据根据反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征得出n1，n2的值，再由m1+1=3b，n1+n2=kb﹣b+4，故可得出k=﹣1，再根据b＞2+的大小即可．
解答： 解：∵点A（m1，n1）在直线y=kx+b上，点B（1，n2）在双曲线y=上， ∴n1+n2=k（m1+1）+b．
又∵m1+1=3b，n1+n2=kb﹣b+4， ∴k=﹣1． ∵b＞2+， ∴n1﹣n2
=k（m1﹣1）+b =（﹣1）（3b﹣2）+b =8﹣2b﹣
=﹣[（b﹣2）﹣2]＜0，
∴n1＜n2．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2
，利用作差法进行比较它们
29．（10分））如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E在AC边上（不与端点重合）．
（1）若AB=BC，且BD=DE，求证：DE是△ABC的中位线；
（2）若DE=BC，则结论“DE一定是△ABC的中位线”是否正确？若正确请证明；若不正确，请举出反例．
考点： 三角形中位线定理；反证法；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： （1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据中点的定义可得AD=BD，然后求出AD=DE，再根据等边对等角的性质得到∠A=∠AED，从而推出∠AED=∠C，根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，然后证明△ADE和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出E为AC的中点，从而得证；
（2）可以举反例，先作出等腰三角形平行于底边的中位线DF，再过一腰的中点向另一腰作等于顶角的角得到与中位线相等的线段DE，从而得到证明．
解答： （1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C，
∵点D是AB边的中点， ∴AD=BD， 又∵BD=DE， ∴AD=DE， ∴∠A=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
=，
∴E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线；
（2）结论不正确．
反例如下：如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，点D是AB边的中点，点F为AC边的中点，
∴DE=BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°， 在∠ADF内部作∠FDE=40°，交线段AF于点E，
∴∠DEF=70°， ∴DE=DF，
∴DE=BC，但点E不是AC边的中点， ∴DE不是△ABC的中位线，
∴“当DE=BC时，DE是△ABC的中位线”这个结论不正确．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理的证明，相似三角形的判定与性质，以及反证法，熟练掌握中位线的定义，关键在于利用已知条件证明另一点E是AC边的中点．
30．（10分））如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD，∠B=∠D． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；点P从B点出发，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动，当一个点先到达点C时另一点就停止运动．问从运动开始经过多少时间，△BPQ的面积最大？
考点： 四边形综合题．
分析： （1）先根据∠BAC=∠ACD，证明AB∥CD，然后证明△BAC≌△DCA得出AB=DC，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；
（2）分三种情况讨论求得．
解答： （1）证明：∵∠BAC=∠ACD， ∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，AC=CA， ∴△BAC≌△DCA， ∴AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）设从运动开始经过t秒时，△BPQ的面积为S，
当0≤t≤时，如图2①，S=BQ•PB=×4t×t=2t，S的最大值为；
当＜t2时，如图2②，S=（AP+BQ）•AB﹣AP•AB=（4t﹣3+t）×3﹣（4t﹣3）×3=t；S的最大值为3；
当2＜t≤
时，如图2③，S=BQ•PC=
（11﹣4t）=﹣2t+
2
2
t；无最大值；
所以S=，
所以当从运动开始经过2秒时，△BPQ的面积最大的，其值为3cm．
点评： 此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形的面积公式．能够借助函数的知识讨论图形的面积最值问题．
2
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