航空计算技术
Aeronautical Computing Technique
Vol.47 No. 2Mar. 2017
基于一致性矩阵的机场选址指标权重统计算法
宋花玉
(陕西省委党校科技部，陕西西安710061)
摘要：为了提高AHP法机场选址指标权重的可靠度，利用一致性矩阵理论和统计学原理，提出一种基于一致性 矩阵的机场选址指标权重统计算法。算法在完全遵循专家判断信息的基础上构造一组一致性矩阵，取这组一致性 矩阵的单位特征向量的平均向量作为指标权重。算法不需要对判断矩阵进行一致性检验，避免了当专家判断矩阵 一致性不满足要求时改进判断矩阵可能对指标权重产生不利影响的倾向，为种稳健的计算方法。
关键词：机场选址；AHP法；指标权重；一致性矩阵中图分类号:〇151.21;V351
文献标识码:A
文章编号:1671-654X(2017)02-0017-03
AHP法机场选址指标权重提供了一
Statistics Algorithm for Airfield Allocation Index Proportion Based on Consistency Matrix
SONG Hua- yu
{Department of Science and Technology, Shaanxi Provincial Party School ,Xi an 710061, China)Abstract：In order to improve the reliability of index proportion for airfield allocation in AHP,using consistency matrix theory and statistics principle, an statistics algorithm for airfield allocation index proportion based on consistency matrix is presented in this paper. According to the information of expert judgment completely, the algorithm constructs a group of consistency matrix and takes the average vector of unit feature vector of every consistency matrix constructed as the index proportion. The consistency testing for the expert judgment matrix is not be needed any longer,so the algorithm completely avoids to probably have a bad influence on index proportion along with improving the consistency of expert judgment matrix when expert judgment matrix can not satisfied the requirement in AHP. Thus providing a robust calculation method of index proportion for airfield allocation in AHP.Key words ： airfield allocation ； analytic hierarchy process ( AHP ) ； index proportion ； consistency matrix
引言
应用AHP法进行机场选址确定指标权重时，要求 判断矩阵满足一定的一致性要求[1]。由于机场选址的 复杂性以及专家经验的局限性,在实际选址过程中经 常出现判断矩阵的一致性不满足要求的情形。此时, 需按照AHP法应对判断矩阵进行改进使其满足一致 性要求。但这样做存在两点不足:1)会大大增加工作 量。由于不清楚是哪些元素导致判断矩阵一致性不满 足要求，改进时常常只能采用逐个试探法，从而大大增 加工作量。虽然有文献给出了一些改进判断矩阵一致 性的方法[2< ,但这些方法有的缺乏一定的理论依据, 有的计算过程过于复杂不便于实际应用。2)改进后的 矩阵虽然满足了一致性要求，但与专家的最初判断信
收稿日期:2017 -02-15
息可能有较大的差别，不仅不能保证所得指标权重更 接近实际,还可能使所得指标权重更远离实际[74]。 为了解决上述问题，本文提出一种基于一致性矩阵的 机场选址指标权重统计算法，算法在完全尊重专家判 断信息的基础上，利用统计学原理，通过构造多个一致
性矩阵计算指标权重,具有很强的实用性。
1算法原理1.1 一致性矩阵
定义：设矩阵/? = (b条件：
ru =1
(!)
hu
，如果满足以下三个
ZZl2〇l6)
作者简介:宋花玉（1971 -),男，陕西西安人,副教授，硕士，主要研究方向为机场规划与数据处理。
基金项目：总装备部基金项目资助（
.18 .航空计算技术
第47卷第2期
其中^',/〇=1,2,_“,《,则称/?为一致性矩阵。根据矩阵理论可知[9]，一致性矩阵有唯一非零最 大特征值人_ =〜其他特征值均为零,且属于最大特 征值A_ = 的全部特征向量构成的向量组/2的秩为 1,即/2中任何两个向量只相差一个常数倍，因此/2中 的每个向量的单位向量都相同，即/2向量组有唯一一 个单位向量。采用AHP法进行机场选址时，在专家判
1断完全准确的情况下,该单位向量就是指标权重。
.2
算法原理
记专家判断矩阵为4 =(〜）„x„，根据文献[10 ], 若专家判断完全准确，则判断矩阵4为一致性矩阵 的对应于唯一最大特征值A的唯一单位特征向 量就是AHP法机场选址指标权重。但在实际工作中， 由于机场选址的复杂性以及专家经验的局限性，判断 矩阵几乎都不是一致性矩阵，因此我们一般不能直接 用求出专家判断矩阵的最大特征值的单位特征向量的 方法确定指标权重。但是，由于判断矩阵是由领域专 家经过大量调查并经过认真研究确定的，因此有理由 认为判断矩阵的大部分信息是比较符合实际的，即判 断矩阵的大部分元素是在其真值附近的，故可认为判 断矩阵的每个元素均服从正态分布，即&〜^),从而判断矩阵是一个服从《 x «维正态分布的正 态矩阵，根据统计学原理,可以由专家给出多个判断矩 阵,取这些矩阵最大特征值对应的单位特征向量的平 均向量作为指标权重是比较准确的。根据一致性矩阵 的第三个条件可知，一致性矩阵实际上是被其任意一 行（或列）元素确定的，只要给出一致性矩阵的任意一 行(或列）元素，就能得到这个一致性矩阵的其余全部 元素。由判断矩阵的形成原理可知，判断矩阵的每行 元素是专家以该行所对应的指标与其余所有指标的每 一个比较其相对重要性得出的。只要专家给定判断矩 阵的任意一行元素，按照一致性条件，判断矩阵其他各 行的元素就确定了，又由于专家判断矩阵符合一致性 矩阵的前两个条件，因此我们可以根据专家判断矩阵 的每一行元素按照一致性矩阵的第三个条件构造一个 一致性矩阵，总共可以构造《个一致性矩阵，这《个一 致性矩阵便可作为专家给出的多个判断矩阵。下面给 出具体算法：
1)根据专家判断矩阵4 = (〜）„><„的第1行元素 构造一致性矩阵及(1):
R⑴)il X il
n xn
1
al2a13
an
an
an
1
al3.
^al2
al2
al2a12
1 •
.
ain
al3
a13
a13
a12a13
* 1
-alnalnaln
2)根据原专家判断矩阵4 =(〜父^的第2行元 素构造一致性矩阵及(2):
R(2)=(42)) / n xn=：(\\ ^/lJi ' nxn
1a22
a23a2l
a21
a21
a211
a23a22a22
a22
=
a21a221
…
a23
a 23
a23
-a!n
a21a22a231
a2.
a2.
如此这样，根据专家判断矩阵a = (%)„><„的每行元素 构造一致性矩阵，总共可得《个这样的一致性矩阵
/^),/〇 = 1,2,_“，'根据专家判断矩阵4 = (\\)„><„的 第A行元素构造一致性矩阵/?(i)的通式为：
Rw =
(4fe))/
nx
n
=
\\aH/ il X ili
ak2ak3…
^
akl
aklaki
1
ak3… ^
ak2
ak2
ak2
=
ak21
… ^
aB
ak3
ak3
ak2
ak3… 1
-akn
akn
akn
3)用方根法求出每个一致性矩阵的对应于唯 一
非零最大特征值人_ =«的唯一单位特征向量W(i)
=(wp)
),其中 A： =1,2,…,ra。具体步骤
如下：
(1) 将矩阵/?(i)的每行元素相乘；
(2) 将所得乘积开《次方,得特征向量；(3)
将特征向量单位化，得单位特征向量W(wK，…，wt
k、）〇(i)=
2017年3月宋花玉:基于一致性矩阵的机场选址指标权重统计算法• 19 •
1,2,…,《)的平均向量W作为指标权重：
W =
iyn
Ak)
2
算例
设有甲、乙、丙、丁 4个备选机场场址，根据机场战
略意义的重要性程度，专家经过认真调查研究给出判 断矩阵如下：
■ 甲
乙1/51
5丙
3丁
7 _甲
_1/7
1/3211/231/511/35乙1 _丙丁
根据本文方法确定这4个备选场址的战略重要性指标
权重如下：
1)以专家判断矩阵B的每行元素为基础,按照上 文算法原理给出的方法构造1,2,3,40
4个一致性矩阵B(i) ,/c =
B(l)=(O4x4 ~
-1/515⑵34<4
7-1/71/35/313/57/55/73/717/31B(2)=(#))4x4 ~
-1/515-3/5
2/5215/21/25/3-33/212/31/31 -
~ 1/616315 --1/151/32/5211/21/515/2
51 -Bw =k4 — |_b-^4i^\\ / 4 x本
1/211217/57 --1/75/71511/1531/511/351 -2)用方根法求出每个的对应于唯一非零最大 特征值=4的唯一单位特征向量W⑴=«),<),
«4'«^)),/£=1,2,3,4,具体计算过程见表1~表4。
表
1
矩阵B(1)的单位特征向量W(1)计算过程备选场址
甲
乙甲
5丙3丁行之积开3.204次方
0.60W⑴乙1/51
0.12丙1/30.20丁
1/75/313/55/73/717/57105
7/30.1680.6410.0441.2960.46
1.070.08表
2
矩阵B(:2)的单位特征向量w(2)计算过程备选场址
甲
甲1乙55/2丙丁行之积开4次方0.46w(2)乙丙2/51/511/25/31/320.8330.0332. 140.430.09丁
3/5233/212/310.5332.7000.851.28
0.180.27表
3
矩阵
B(3)的单位特征向量W(3)计算过程
备选场址甲甲
1乙6丙315丁行之积270开4.054次方
0.64w(2)乙1/611/20.11丙
1/3215/250.2083.3330.68
1.350.21丁
1/15 2/51/510.0050.270.04表
4
矩阵n的单位特征向量w(4)计算过程备选场址
甲
甲21乙
0.52w(2)乙1/2111/157/5丙丁7行之积开4次方0.03丙5/70.38丁
1/71513
1/511/3205.850.0013.79153.570.180.0862.710.54
0.07
3
) if» W(k) = (w[k), wik) ,
) (/c = 1,2,3,
4)的平均向量W
w =+(
k = 1
ix
)，
k = 1
，
k = 1
ix
)，k = 1
i
x
))
=(0.555,0.087 5,0.242 5,0.115)
于是甲、乙、丙、丁这4个备选场址的战略重要性
指标权重依次为 0.555,0.087 5,0.242 5,0.115。
3结论
1)本文提出的基于一致性矩阵的机场选址指标权
重统计算法完全立足于专家原始判断矩阵，由于判断 矩阵是由领域专家经过大量调查并经过认真研究确定 的，因此判断矩阵的大部分信息是比较符合实际的，由 统计学原理可知,本文算法所得结果将以较大概率落 在真值附近，离开真值较远的概率是很小的，因此本文 算法是稳健的。
(下转第24页）
• 24 •航空计算技术
第47卷第2期
游移动并最终消失。
实验结果表明，通过隔离段壁面压力计算得到双 模态超燃冲压发动机隔离段激波串前沿位置是可行 的,并且通过控制隔离段激波串前沿位置能够预防燃 烧室反压引起的进气道不起动。
4结束语
本文为了研究双模态超燃冲压发动机隔离段激波
串前沿位置的测量及控制，分别对整机和燃烧室构型 进行了数值模拟,分析了激波串前沿位置与隔离段压 力分布的关系,并在此基础上介绍了 3种通过实时隔 离段壁面压力分布得到激波串前沿位置的测量方法。 数值计算结果表明，本文所使用的数值计算方法有效 可行;隔离段的壁面压力分布能够很好地反馈隔离段 激波串的位置信息，通过监测和控制隔离段的压力分 布能够实现对隔离段激波串前沿位置的控制。另外， 通过本文所述的隔离段激波串前沿位置的测量方法实 时测量和控制隔离段激波串前沿位置,可以作为预防 双模态超然冲压发动机燃烧室反压引起的进气道不起 动的方案之一。
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(上接第19页）
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越多，得到的指标权重就越接近实际状态。
址指标权重时，涉及的指标越多,构造的一致性矩阵就
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