高三数学一轮专题复习----平面向量的概念与线性运算(有详细答案)讲义

平面向量的概念与线性运算

考情分析 ① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义．

→

1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝→→

a，AD＝b，则BE＝________．

掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件. 考点新知

1

答案：b－a

2

11→→→1→

解析：BE＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋a＝b－a.

222

→→→→→

2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________．(用b、c表示)

21答案：b＋c

33

→→→→→→→→→→

解析：因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)，即3AD＝AB＋2AC＝c＋2b，故AD21＝b＋c. 33

1→→→→，则这个3. (必修4P63练习第6题改编)设四边形ABCD中，有DC＝AB且|AD|＝BC2

||

四边形是________．

答案：等腰梯形

→1→→→→1→→→

解析：AB＝DCAB∥DC，且|AB|＝|DC|，∴ ABCD为梯形．又|AD|＝|BC|，∴ 四

22边形ABCD的形状为等腰梯形．

→→→

4. (必修4P66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p＝________．

答案：－1

→→→→→解析：∵ BD＝BC＋CD＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴ 存在实数λ，使AB＝λBD.

2＝2λ，即∴ p＝－1. p＝－λ，

1. 向量的有关概念

→

(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的长度(或模)，记→作|AB|.

(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．

规定：0与任一向量平行．

(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法

① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．

③ 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2) 向量的减法

① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．

3. 向量的数乘运算及其几何意义

(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|；

② 当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2) 运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．

4. 向量共线定理

向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

[备课札记]

题型1 平面向量的基本概念

例1 给出下列六个命题：

① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

③ 若AB＝DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形； ④ 在

→→

ABCD中，一定有AB＝DC；

⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p； ⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥

解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不→→

正确；AB＝DC，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．

备选变式（教师专享）

设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|·a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是________．

答案：3

解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，

故②、③也是假命题，填3.

题型2 向量的线性表示

→1→→1→→→

例2 平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝BC，CN＝CD，OA＝a，OB＝b，

33→→→

用a、b表示OM、ON、MN.

→→1→11→→→15→→→解：BA＝a－b，BM＝BA＝a－b，OM＝OB＋BM＝a＋b.OD＝a＋b，ON＝OC＋

66666→1→1→2→22→→→11

CN＝OD＋OD＝OD＝a＋b.MN＝ON－OM＝a－b.

2633326

变式训练

→→在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC＝→

b，试用a，b表示AG.

λ→λ→→→→→→→→λ→→→1－AB＋(AC－AB)＝(1－λ)AB解：AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝AB＋(BA＋BC)＝222λ→λ

＋AC＝(1－λ)a＋b. 22

→→→→→→m→→又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋(CA＋CB)

2→m→m

＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，

22

1－λ＝2，2

∴ 解得λ＝m＝，

3λ

1－m＝2，

→11∴ AG＝a＋b.

33题型3 共线向量

例3 设两个非零向量a与b不共线．

→→→

(1) 若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线； (2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→

(1) 证明：∵ AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

m

→→→→∴ BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB. →→

∴ AB，BD共线．

又它们有公共点B，∴ A、B、D三点共线． (2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线， ∴ 存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a、b是两不共线的非零向量， ∴ k－λ＝λk－1＝0. ∴ k2－1＝0.∴ k＝±1. 备选变式（教师专享）

→→

已知a、b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．

答案：λμ＝1

→→→→

解析：由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得AB＝tAC，所以λa

λ＝t，

＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.

1＝tμ，

题型4 向量共线的应用

→→→

例4 如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

1答案： 2

解析：如图所示，设M是AC的中点，则 →→→OA＋OC＝2OM. →→→又OA＋OC＝－2OB， →→∴ OM＝－OB， 即O是BM的中点， 1

∴ S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，

2即

S△AOB1

＝. S△AOC2

备选变式（教师专享）

1

如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝

311→AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λ32→→→

CM时，AP＝QA，试确定λ的值．

→→→1→→

解：∵AP＝NP－NA＝(BN－CN)

21→→1→＝(BN＋CN)＝BC， 22→→→1→→QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，

21→→→→1→

又∵AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，

221→1→

即λMC＝MC，∴λ＝.

22

→→→→

1. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，→

则AO＝________．(用向量a和b表示)

21答案：a＋b

33

1→→→→1→

解析：因为AC＝AD＋DC＝AD＋AB＝a＋b，

22121→→→2→2

a＋b＝a＋b. 又AB＝2DC，所以AO＝AC＝33233

→→

2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝→

λAO，则λ＝________．

答案：2

→→→→

解析：AB＋AD＝AC＝2AO，则λ＝2.

12

3. (2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝DC，若

23→→→

DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．

1答案： 2

1→2→→→→1→2→1→2→→→→

解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC＝λ1AB＋λ2AC，

232363121

故λ1＝－，λ2＝，则λ1＋λ2＝.

632

→→→→

4. 已知点P在△ABC所在的平面内，若2PA＋3PB＋4PC＝3AB，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．

4答案： 5

→→→→→→→→→→→

解析：由2PA＋3PB＋4PC＝3AB，得2PA＋4PC＝3AB＋3BP，∴ 2PA＋4PC＝3AP，→→即4PC＝5AP.

→→|AP|4S△PAB|AP|4∴ ＝，＝＝. →5S△PBC→5|PC||PC|

→→→

1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．

答案：2

→→

解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以AB＋AD＝→→→→→→→→→

AC，又O为AC的中点，所以AC＝2AO，所以AB＋AD＝2AO，因为AB＋AD＝λAO，所以λ＝2.

→→→

2. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________．

答案：1

→→→→→→→→

解析：∵ A，B，C三点共线，∴ AC＝λAB，即OC－OA＝λOB－λOA，∴ OC＝(1－λ)OA→

＋λOB，即x＝1－λ，y＝λ，∴ x＋y＝1.

12→→

3. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．

1答案： 2

1→2→1→2→→1→2→1

解析：易知DE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，所以λ1＋λ2＝.

23236324. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点． →→→

(1) 求GA＋GB＋GO；

11→→→→

(2) 若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝

mn3.

→→→→→→→→→→

(1) 解：因为GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，所以GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0. →1→2→1

(2) 证明：因为OM＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P、

233→→→→→→→1

G、Q三点共线，得PG∥GQ，所以有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.又PG＝OG－OP＝(a

3

1111111→→→

－ma＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋n－b，所以－ma＋＋b)－ma＝3333333b＝

11

n－b. λ－3a＋3

11

－m＝－λ，33

又a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝

11＝λn－，33



11

m＋n，故＋＝3.

mn

1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．

2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．