高考数学40个考点总动员 考点18 等差数列的运算和性质(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员 考点18 等差数列的运算和性

质（教师版）

【高考再现】

热点一、等差数列基本量的计算

1．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ）

A．12 B．16 C．20 D．24

2．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a11,S2a3,则2a2________;Sn=________.

【答案】1,【解析】

1n(n1) 4S2a3,所以a1a1da12d，∴d1n(n1). 41∴a2a1d1 2 ∴Sn3．（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（ ）

A．7 B．15 C．20 D．25

4． （2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1 B．2 C．3

【答案】B 【解析】

D．4

（ ）

a1a5102a14d10,而a4a13d7,解得d2.

24,则5．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a2an______________.

【答案】2n1

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【解析】设公差为d(d0),则有12d1d4,解得d2,所以an2n1. 6．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前

2m项和Sm.

【方法总结】

等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．

热点二、等差数列性质的综合应用 1．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（ ）

A．58 B．88 C．143 D．176

2．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则

a5b5__________。

【答案】35

【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

(解法一)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列anbn也是等差数列. 故由等差中项的性质,得a5b5a1b12a3b3,即a5b57221,解得a5b535.

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(解法二)设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,

因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21, 所以d1d27.所以a5b5(a3b3)2(d1d2)35.

3．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)3x1,{an}是公差不为0的等差数

列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（ ）

A．0

B．7

C．14

D．21

4．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下

．．

列命题错误的是（ ）

A．若d<0,则数列{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0 D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

5．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

列,f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]2a1a3（ ）

A．0 【答案】D

B．

8的等差数

12 16C．2

18D．

132 16▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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6．（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列

1的前100项和为（ ） aann1A．

100 101B．

99 101C．

99 100D．

101 100

7．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.

(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.

【解析】:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得3a484,a428,而a9=73, 则5da9a445,d9,a1a43d28271,、 于是an1(n1)99n8,即an9n8.

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(Ⅱ)对任意m∈N﹡,9m9n892m,则9m89n92m8, 即9m188n92m1,而nN*,由题意可知bm92m19m1, 99于是Smb1b2bm919392m1(90919m1)

992m119m92m199m192m1109m192m119m, 219808808081992m119m即Sm. 808【考点剖析】

一．明确要求

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 3．考查等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．. 二．命题方向

三．规律总结

基础梳理

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项

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如果A＝

a＋b2

，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

5．等差数列的前n项和公式

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

dd

Sn＝n2＋a1－n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

22

7．最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

两个技巧

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已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

【基础练习】

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C

【解析】 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.

2．（经典习题）设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8

等于( )．

A．31 B．32 C．33 D．34

3．（经典习题）在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 【答案】 13 【解析】 设公差为d.

则a5－a2＝3d＝6，

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∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

π3π

4．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin 2a4－＝( )

32 A.

3131

B. C．－ D．－ 2222

5．(教材习题改编)已知数列{an}，其通项公式为an＝3n－17，则其前n项和Sn取得最小值时n的值为( )

A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B

【解析】由通项公式an＝3n－17可知{an}是以3为公差，－14为首项的等差数列．则

nn－Sn＝－14n＋2

【名校模拟】 一．基础扎实

331

×3＝n2－n，所以当n＝5时，Sn取得最小值．

22

1．(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)设等差数列{an}的前n项和为

Sn，若a2、a4是方程x2x20的两个实数根，则S5的值是( )

A．

55 B．5 C．  D．5 22

2．(2012届郑州市第二次质量预测理)在等差数列项的和为（ ）

A. 100 B. 110 C. 120 D. 130

中，，则数列的前10

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3．(2012洛阳示范高中联考高三理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S972,则

a2a4a9的值是 （ ）

A．24 B．19 C．36 D．40 【答案】A 【解析】∵S99(a1a9)72 ∴a1a916 ∴2(a14d)16 2∴a2a4a93(a14d)24

4．(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）已知等差数列{an}中，

a7a916,a41，则a12的值是（ ）

A．15

【答案】：A

B． 30 C．31 D．64

【解析】：∵a7a9a4a12，∴a12a7a9a416115

5．（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）在等差数列an中，a1=-2 012 ，其前n项和为Sn，若

S12S10=2，则S2 012的值等于 1210A. -2 011 B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013

6．(湖北省八校2012届高三第一次联考文)设数列{an}是等差数列，且

a28,a155,Sn是数列{an}前n项的和，则有（ ）

A．S9S10

B．S9S10

C．S11S10

D．S11S10

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【答案】：B

【解析】：由题意得，设等差数列的公差为d，则da15a21，

152所以数列的通项公式为ana2(n2)dn10，则a100， 所以

S9S10，故选B。

中，

，则数

7．(河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文)在等差数列列

的前10项的和为_______.

8．（海淀区高三年级第二学期期末练习文）（本小题满分13分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d0，S5=4a3+6，且a1,a3,a9成等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{1}的前n项和公式. Sn▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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9．(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)

在等差数列an中，2a13a211,2a3a2a64，其前n项和为Sn. ⑴求数列an的通项公式；

1，求数列{bn}的前n项和Tn. Snn.【解析】：⑴2a13a22a13(a1d)5a13d11，

⑵设数列bn满足bn

2a3a2a64即2(a12d)a1da15d4 得d2， a11，

ana1(n1)d1(n1)22n1.

11⑵Snna1n(n1)dn1n(n1)2n2，

22▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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111112， Snnnnn(n1)nn1111111111n Tn()()()...( )1122334nn1n1n1 bn二．能力拔高

1．(2012年高三教学测试（二）理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1a53a3，

a1014，则S12 ．

2．(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知等差数列{an}的前n项和为

Sn，a4a7a109，S14S377，则使Sn取得最小值时n的值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】B

【解析】∵a4+a7+a10=9，S14-S3=77，解得a1=-9，d=2．

Sn9nn(n1)2n210n(n5)2252

∴当n=5时，Sn取得最小值．故选B．

3．(浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an }的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是 ．

4． (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )设等差数列{an}的前n项和

222Sn若S90，S100，则，，

a1a229，中最大的是（ ） a9▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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2526292A． B． C． D．

a5a6a9a1

5．(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）在数列an中，a14,a210，若

loga3n1为等差数列，则Tn11a2a1a3a21等于（ ）

an1anA．

1n1131 B．1n12431n111 C． D．31 1n112436．(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)若等差数列{an}的通项公式

an152n，则a1a2…a14等于（ ）

A.49 B.98 C. 196 D.199 【答案】B

【解析】本题考查等差数列的性质和前n项和公式以及分类讨论的思想。由通项公式知该数列正数项到第7项为止，第八项开始为负数，结合函数图像的对称性，只需计算前7项和，为49，故所求和为98，选B。

7．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理) 在等差数列{an}中，若

a3a5a7a9a11100，

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则3a9a13的值为（ ）

A．20 B．30 C．40 D．50

8．(2012黄冈市模拟及答题适应性试理)已知等差数列{ an }的前n项的和为Sn，如果a412,a84

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 求Sn的最小值及其相应的n的值；

从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,...a2n1,...构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和。

三．提升自我

1．(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)数列{an）满足a11,a21,并且2an(an1an1)2an1an1(n2),则数列的第2012项为（ ）

A．

1 2100B．

122012 C．

1 2012 D．

1 100▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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2．(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)在等差数列an中，a25，

1ma621，记数列的前n项和为Sn，若S2n1Sn对nN恒成立，则正

15an整数m的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

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3．(七校联考 数学试卷文)设等差数列an的公差d为2，前n项和为Sn，则

2ann2lim . nSn【答案】： -3

a12(n1)2]1[a12(n1)]nannnlim3 【解析】: limlimnnn(a11)n2(a11)nSn1n2n222[4．(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题文)已知f(x)sin2x，若等差数列{an}的第5项的值为f'()，则a1a2a2a9a9a8a8a1 。

6

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5．

(湖北省武汉市2012届高三下学期4月调研测试理)

在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和． （Ⅰ）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；

Sn－an（Ⅱ）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值．

n【解析】：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则

2

由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1．

23∴Sn＝na1＋

n(n－1)

221241144×(－a1)＝－a1n2＋a1n＝－a1(n－12)2＋a1．

2323232323

∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4，

23

∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，

n(n－1)2

Sn＝－46n＋×4＝2n－48n．

2

Sn－an2n2－52n＋5050∴bn＝＝＝2n＋－52≥2

nnn50

当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．

50

2n×－52＝－32，

nn故bn的最小值为－32．

【原创预测】

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OBa1OBa2012OC，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S2012

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，又知(xlnx)'=lnx+1，且

S10lnxdx,S2017,则

1eS30为（ ）

A 33 B 46 C 48 D 50

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3．已知等差数列{an}（公差不为零）和等差数列{bn}，如果关于x的方程

9x2(a1a2a9)xb1b2b90有解，那么以下九个方程

x2a1xb10，x2a2xb20，x2a3xb30，……，x2a9xb90中，无解的方程最多有 个．

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