广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题含答案解析

学1,2B．D．{2,1,0,1,2}

5(2i)z1i2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有()A．12B．18C．24D．364．某防疫站对学生进行健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生()人．A．1030人B．97人C．950人D．970人5．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90。榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为()A．41D．44B．42C．436．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数，I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：It

K1e

0.23(t53),其中K为最大确诊病例数．当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为()(In193)A．60B．63C．66D．692f(x)2cosx2sinxa在7．若函数[

1,][,]63上的最小值为2，则f(x)在63

3

32C．5

32D．上的最大值为()A．4B．518．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),则E的离心率为()3A．23B．25C．235D．5二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）x2y21

9．椭圆16m的焦距为27，则m的值为()A．9

B．23

C．167D．16710．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是()（注：结余=收入－支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：lB．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元11．设随机变量的分布列为A．15a1

P

k5ak(k1,2,3,4,5)

，则()B．P(0.50.8)0.2D．P(1)0.3

2C．P(0.10.5)0.2

x12．已知函数f(x)2,g(x)xax（其中aR).对于不相等的实数x1，x2，设m

f(x1)f(x2)x1x2，n

g(x1)g(x2)

x1x2下列说法正确的是（）A．对于任意不相等的实数x1,x2都有m0;2B．对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n0；C．对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn；D．对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn.三、填空题（本大题共4小题，20分）13．在数列an中，a11,an1an2，则a6的值为＿＿＿.22323aa2a1a3=＿＿＿＿＿(5x1)aaxaxax012314．已知二项式，则015．正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为l，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PEAC0，则动点P的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿16．己知数列{bn}

的前n项和为Tn，且2bnTn2

,数列{bn}

的通项公式为＿＿＿；数列4n,(n奇数)S2man

{an}Sbn,(n为偶数)，若使S2m1恰为{an}中的奇数项，的前n项和为n，且则所有正整数m组成的集合为＿＿＿＿.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．(10分)在△ABC中，(1)求B；bsinAacos(B

)64这两个条件中任选一个，补充在上(2)若c=5，＿＿＿＿.求a，从①b7，②面问题中并作答.C

18．(12分)已知等差数列an满足a54,2a6a918，等比数列{bn}的各项均为正数，且.的通项公式；b22,b3b4a4a5(I)求{an}Tn和{bn}

(Ⅱ)设为数列anbn的前n项和，求满足Tn2020的最大正整数n．319．(12分)我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：总分KN90KN95[75,80)64[80,85)146[85,90)4247[90,95)3135[95,100]78(1)试分别估计两种口罩的合格率；(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．20．(12分)ABC90,AD//BC,侧面△SCD如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，为钝角三角形，CDSD,平面SCD⊥平面ABCD，点M是棱SA上的动点，ABAD

1

BC.2

(1)求证：平面MBD⊥平面SCD;(2)若直线SD与底面ABCD所成的角为60，是否存在点M,使得二面角A-BDM余27?7弦值为若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．421．(12分)xf(x)eax(aR).已知函数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的图象与直线ya交于A，B两点，记A，B两点的横坐标分别为x1,x2,

2xxxxlna.1212且，证明：22．(12分)22F(2,0)F:(x2)y36上的任意一点，12已知点，点P是圆线段PF1的垂直平分线与直线PF2交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．(I)求曲线C的方程；(Ⅱ)设l1,l2是分别过点F1,F2的两条平行直线，l1交曲线C于A,B两个不同的点，l2交曲线C于M,N两个不同的点，求四边形ABNM面积的最大值．.5数学参考答案

1．C依题意得AB{0,1,2}，故选C．1i51i(1i)(2i)31zi,52i2i2i2i55所以2．A复数z满足(2i)z1i,则z

3131

i,(,)

55复数z在复平面内对应的点55位于为第一象限.23C4A336

3．D先从4名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有种．1

4．D中学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，抽取比例为10，样本中男生103人，样本中女生97人，中学共有女生970人．1413641

2，该球形容器的表面5．A由题意，该球形容器的半径的最小值为：24

41

41.4K

6．C由题可知1e

0.23(t53)积的最小值为0.95K,

所以1e0.23(t53)

200.23(t53)1,e19190.23(t53)ln193,解得t66

13sinx,,x[,]2263所以7．D由于，则函数125

2(sinx)a,

f(x)2cos2x2sinxa2sin2x22sinxa22当sinx

151

a

2时，函数取得最小值为22，解得a3.所以1511

f(x)2(sinx)232(sinx)2

222213

3sinx,,sinx

22所以当2时，函数取得最大值为由于2(

31215

)3.22226x2y221(a0,b0)2b8．B设双曲线的标准方程为a，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有：y1y2b2(x1x2)x1x2y1y2xyxy221,212xxa(y1y2)，abba22ab，两式作差得：，即12122122222222215012b24b2N(12,15),,22F(3,0)，AB的中点为12315a5a4b25a2，即4(ca)5a,4c9a,得22222e

c3

.

a2故选：B.x2y2116m9．AB椭圆的焦距为27，即2c27得c7.依题意得16m7或m167,解得m9或m23，m的值为9或2310．ABC由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确。由图可知，结余最高为7月份，为80-20=60，故B正确。由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同．故C正确。由图可知，前6个月的平1

(406030305060)45

均收入为6万元，故D错误。11.ABC由题意可得a2a3a4a5a1，所以a确;1

30.2，故正确；B15113

0.2，故C正P(0.10.5)p(0.2)p(0.4)12

1515151

1确;P(1)0.3，故D不正确．15P(0.50.8)p(0.6)

1

，故15a1，故A正1512．AD对于A，由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增，即有m0，则A正确；对aa

(,)(,)

2递减，在2于B，由二次函数的单调性可得g(x)在递增，则n0不恒成立，则B错误；对于C，若mn，可得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即为g(x1)f(x1)g(x2)f(x2)，设h(x)x2ax2x，则应有h(x1)h(x2)，而h'(x)2xa2xln2，当a,h'(x)小于0，h(x)单调递减，则C错误；对于D,若mn，可得f(x1)f(x2)[g(x1)g(x2)]，即为f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)设7h(x)x2ax2x，则应有h(x1)h(x2)而h'(x)2xa2xln2，对于任意的a,h'(x)不恒大于0或小于0，即h(x)在定义域上有增有减，则D正确．13．11解：an1an2,

数列{an}

是公差为2的等差数列．a612511,

14．-64(解：(x1

5x1)3a0a1xa2x

2

a3x3令x1，则…①，解令得51)3a0a1a2a3(a0a2)(a1a3),

,(51)3a0a1a2a3，…②33（51）（51）

a0a216

2

,(51)3(51)3a1a385

2

(a0a2)2(a1a3)2162(85)264.

15．23

解：如图所示，取SC,DC的中点M,F，则EF//BD,ME//SB，所以平面SBD//平面MEF，而AC平面SBD所以AC平面MEF，则动点P在四棱锥表面上运动11

lMFElSDB(2233)23.

22的轨迹为MEF，则动点P的轨迹的周长为n2{2}16．2bTn2解：由题意，当n1时，2b1T12b12，解得b12，当n2时，由n，可得2bn1Tn12

两式相减，可得2bn2bn1bn，整理，得bn2bn1{b}

,数列n是4n(n为奇数)anbn22n12n,nN*.bn(n为偶数)，以2为首项，2为公比的等比数列，4n(n为奇数)

ann2(n为偶数）即4(14m)4m14m(m1)2

4mmS2m(a1a3...a2m1)(a2a4...a2m)3m(2)

1432

8S2m1S2ma2mmmS34442m14mm2,S3m(4m)4m42m13．假设S2m34m3kS2m1ak4k,k为正奇数，则3m(4m)4m4，易知只有当m2时，k1

适合题意，故所有正整数m组成的集合为{2}.

ab



17．解：(I)在ABC中，由正弦定理得sinAsinB，得bsinAasinB又bsinAacos(B

).asinBacos(B)sinBcos(B)

6即66...............2分又sinBcos(B

31

)cosBcossinBsincosBsinB

26662tanB3又B(0,),...........4分B

.3...............5分222(Ⅱ)若选①b7则在ABC中，由余弦定理bac2accosB,可得a5a240解得a8，或a3（舍去），可得a8

2.............7分.......10分C

若选②,62,sinAsin(BC)sincoscossin

434344则,..........7分a

5

5352a

2，解得2...............10分ac62

4由正弦定理sinAsinC，可得a5a14d4

2aa93a118d18{an}

18．解：(1)设等差数列的公差为d6，..........2分an1解得a10,d1,所以n，..................3分b3b43412.2(qq2)12q设等比数列的公比为由得，.....................1分解得q2，舍去负值，所以b11，.....................1分所以bn2n1，.....................6分9(2)anbn(n1)2n1当n1

时，T10.

当n2

时，Tn12222323(n1)2n1，....................7分，....................8分2Tn122223324(n1)2nTn222232n1(n1)2n,......................9分2(12n1)(n1)2n(n2)2n2

12合）.....................11分显然,Tn(n2)2n2,(n1

也适Tn*T8628215382020n1,nN在时单调递增，,T9729235862020

,所以满足Tn2020

的最大正整数n8，...................12分19．解：(1)由题意知生产KN90口罩合格率为P1

423174



1005，.................1分生产KN95口罩合格率为P2

473589



10010，..................2分111

P(X3)

51050(2)①随机变量X的所有可能取值为-3，1，7，11，P(X1)

4936184142199

P(X7)P(X11)5105025,51050,5105025………………6分因此，X的分布列如下：…………………7分E(X)

46

9.2(元)5…………………8分②设“生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元”事件为A事件,A包括“生产4个KN90口罩全合格”和“生产4个KN90口罩只三个合格”，所以10(或写为0.8192）……………………11分512

所以生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率为625………………………12分20．解：(1)证明：取BC中点E，连接DE,设ABADa,BC2a

依题意得，四边形ABCD为正方形，且有BEDECEa,BDCD

222BDCDBC所以2a,

………………………2分所以BDCD，………………………3分又平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD,　BD平面ABCD,所以BD平面SCD

……………………………4分又BD平面MBD,所以平面MBD平面SCD……………………………5分27(2)假设存在点M，使得二面角ABDM余弦值为7，过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH

11因为平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCD,SHCDSH平面SCD所以SH平面ABCD,故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即SDH60由(1)得，SD2a，…………………………6分所以在RtSHD中，SD

2a,DH

26aSHa

2在ADH中，ADH452,ADa,DH

22a.AHa

22由余弦定理得所以AH2DH2AD2，从而AHD90，（也可利用2DACB，求得A点坐标）………………………7分过点D作DF//SH，所以DF平面ABCD．所以DB,DC,DF两两垂直，以点D为坐标原点，DB为x轴正方向，DC为y轴正方向，DF为z轴正方向建立空间直角坐标系，……………………8分/626222a)S(0,a,a),A(a,a,0),SA(a,0,222222则B(2a,0,0),C(0,2a,0),SMSA(

2626a,0,a)(a,0,a),(01)DS(0,2222设26226a,a)DMDSSM(a,a,a(1)),22222设平面MBD的法向量nDB0n(x,y,z)

nDM0得122ax0226axaya(1)z0

222取zi得n(0,3(1),1)，…………………………10分取平面ABD的法向m(0,0,1),所以|cosn,m|

nm|n||m|

13(1)21

277………………………………11分

解得1331

2或2又当2时，点M不在棱SA上，故2所以当点M是棱SA的27.

中点时，二面角ABDM余弦值为7…………………………12分21．解：(1)f'(x)ea，……………………………1分xa0时，f'(x)0,f(x)在R递增，……………………………3分a0时，令f'(x)0，解得：xlna，令f'(x)0，解得：xlna,故f(x)在(,lna)递减，在(lna,)递增；……………………………5分xxf'(x)eaf'(x)ea0，还是单调递增，f(x)a0(2)函数的的导数,若，则则不满足条件，则a0由f'(x)0得xlna,由f'(x)0得xlna，lnaf(lna)ea1naa(11na)f(x)xlna即当时，还是取得极小值同时也是最小值……………………………6分f(x)a有两个根，a(1lna)0，即1lna0，则lna1，即ae……7分要证x1x22lna，则只需要x22lnax1又x2lna，则只需要证明f(x2)f(2lnax1)，即证f(2lnax1)f(x2)0f(x1)，令g(x)f(2lnax)f(x),(xlna)，……………………………9分2lnaxxg(x)ea(2lnax)eax，则13(exa)2g'(x)aeaea0

ex，2xx即g(x)在(,lna]上单调递减，即g(x)g(lna)0则命题成立.……………………………12分22．解：(I)由题意知|QP||QF1|，所以|QF1||QF2||QP||QF2|6|F1F2|4

.………………………2分x2y221(ab0)2QF,Fab12所以的轨迹是以点为焦点，6为长轴长的椭圆，所以a3,c2，则bac5

222x2y215所以点Q的轨迹方程为9.……………………………5分(Ⅱ)直线MN的斜率不为0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，直线MN的方程为xmy2，由xmy2,

2xy21,59可得(5m29)y220my250

则y1y2

2520m,yy125m295m29．…………………………7分2230(1m2)|MN|(1m)[(y1y2)4y1y2].25m9所以．…………………………8分根据椭圆的对称性可知，四边形ABNM为平行四边形，原点O是对角线的交点，所以四边形ABNM的面积等于OMN的面积的4倍.点O到直线MN:xmy2的距离d

2

1m2.……………………………9分1130(m21)230m21

S|MN|d225m29225m9m1OMN所以的面积…………………………10分14S

30t30t30

.m21m2t21(t1),5(t21)95t245t4令t，则t设f(t)5t4t(t1)，则f'(t)545t24

t2t2.1f'(t)5t24因为t，所以t20.所以f(t)5t

4

t在[1,)上单调递增。所以当t1时，f(t)取得最小值，其值为9。1040

所以OMN的面积的最大值为3，四边形ABNM的面积的最大值为315分………12