高中生函数概念学习困难的原因分析

０　教育　诊断　≮　ｆ………一…一一　高中生函数概念学习困难白Ｉｌ原因　析　◇青海格尔木市四中　郭志刚　函数概念是近现代数学的基石，是中学数学中最　重要的核心概念。教学实践表明，尽管在实际教学中　采取了适当渗透、螺旋上升的方法．分段而循环地安　（三）函数的表征形式特别丰富　函数主要的七种表征类型：①解析式：这是中　学教材中最常见的，例如二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ　２—２ｘ一３；②　排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。造成　困难的原因主要有五个方面。　（一）函数知识是个复杂的体系　函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）　及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还　有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学　的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数　和函数列（离散型函数）等多种类型。有了函数概　念，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函　数知识已经构成了一个复杂的知识体系，成了中学数　学的核心内容。因此，学生对函数概念的理解程度也　将影响他们对函数有关知识的掌握程度。　（二）“变量”概念的复杂性和辩证性　函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量　（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原　象、对应、对应法则等。其中，“变量”被当成不定　义的原名而引人，是函数概念的本质属性。　“变量”　的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相　关，但数学中对时、空是没有定义的。　另外，数学中的“变量”与日常生活经验是有差　异的。函数定义在初中和高中分别采用“变量说”和　“对应说”。　“变量”、　“对应”并没有给出比较明　确的定义。在日常生活中“变量”是变化的，是不确　定的。而数学中的变量包括常量。ｊＥ是由于日常的变　量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Ｙ＝２中Ｙ的　值不随ｘ的变化而变化，所以它不是函数”。函数概　念中变量的意义更具一般性，既可以作为数，也可以　作为点、有形之物，甚至为无形的东西。在教学实践　中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂　上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于　学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学　生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概　念的理解。有的学生能认识到函数是一种单值对应，　但还弄不清是谁对谁的单值对应（函数是函数值对自　变量的单值对应），或是在变化了的不熟悉的函数表　征形式中难以区分自变量和函数值。　图象式；③表格式；④集合箭图式（如左图）；⑤函数　机器式（如右图）；⑥序偶式：例如，ｆ＝｛（１，２），（　２，４），（３，６），（４，８））；⑦通俗语言式：例如，甲是乙的两　倍再加上３。　这七种类型各自又有很多的变式，要都能正确识　别的确是困难的。有时要求学生在符号语言、图形语　言和文字语言之问进行灵活地转换，使抽象思维和形　象思维结合起来，这对学生而言，更是一种思维上的　挑战。另外，函数概念学习之前，学生对数与形的学　习基本上是分开进行的。而函数要求在符号语言与图　形语言间进行适当地转换。　中学阶段的数学教学，传统上只是关注函数解析　式表征形式的教学，同时它们的图象都是直线或光滑　的曲线，只能用列表法表示的函数例子屈指可数。学　生从未接触过“不光滑”的曲线，这样势必影响学生　对函数概念的建构，导致学生在心理上建立起不恰当　的概念表象。学生很容易把按某种对应法则理解为一　种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。　Ｖｉｎｎｅｒ￣出，在学校教学的函数概念，经常只是用它　的一种表征形式，要么是代数符号形式要么只是图形　形式，前者会导致学生把函数当作公式。　（四）函数符号的抽象性　函数概念的符号化表示是学习的难点，ｙ＝ｆ（ｘ）表　示了一种广义的又是特殊的对应关系，其中每一个字　母往往既是广义的，又是特定的。例如，ｆ表示任意　一个函数，但又是　一个确定的函数，但这种含义学生　仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号“ｆ”来　想象对应法则的具体内容，即使晰表示的对应法则　是确定的，学生也缺乏足够的为符号“ｆ’建立起具　体内容的经验基础；也不能通过Ｘ或Ｙ来想象定义域，　值域到底是什么。总之，要付出比，，等符号更多的思　６５　谭雅　ＥＷ　ＣＵＲＲＩ（　Ｉ臻【｛Ｍ　ＲＥＳＥＡｉ｛（：Ｈ　甘肃省民办　小学“呐凡　一补”　面临的问题与对策琦琵　◇西北师范大学教育学院　胡　勇　陆雁飞　【摘要】甘肃省实行《甘肃省农村义务教育阶段贫困家庭学生“两免一补”工作实施暂行办法》使全省义务　教育阶段受益学生达到１５０多万，基本解决了家庭经济困难学生上学难的问题。但是，仍存在流动儿童享受“两　免一补”政策难的情况。本文从两方面探讨了这一问题。　【关键词】民办中小学农村学校两免一补　民办教育作为一种新型的教育模式，是在公办学　校教育投入不足，校舍、师资紧张的情况下应运而生　的。它有力的补充ｒ公办教育之不足，对国民教育事　业贡献了一定的力量，并对促进全社会教育的发展起　到了相当重要的作用。但是，随着２００３年国务院在　这些孩子也是国家义务教育的对象。解决好这些儿童　的人学及享受“两免一补”政策，关系到义务教育的　真正落实，符合“让每个孩子都能接受义务教育”的　规定。针对这个问题，我们对甘肃省的民办中小学校　进行了深入的调查研究。　（一）面临的问题　《关于进一步加强农村教育工作的决定》中提出“两　免一补”（免除学杂费、免费提供教科书和补助家庭　经济困难寄宿生生活费）的政策，在民办中小学中占　学生比例较多的流动儿童和留守儿童却因享受不到　“两免一补”政策，使得他们由于家庭的贫困和家长　认识不够而不能或者不能完全接受义务教育。民办教　育由于缺乏相关政策和资金支持而陷入了困境。由于　民办学校接收的生源主要是打工人员子弟和留守儿　甘肃省在认真贯彻“积极鼓励、大力支持、正确　引导、依法管理”的方针的基础上，根据《教育　法》、《民办教育促进法》等法律法规，起草了《甘　肃省关于（民办教育促进法实施条例）的实施细　则》，对民办教育的发展做出了具体规定。民办中小　学的存在，弥补了甘肃省公办中小学不能完全解决儿　童入学的缺口，为甘肃省基础教育事业做出了积极的　童，还有的是由于某种原闪公立学校不接纳的孩子，　贡献。从２００５年３月１日起，什肃省实行《甘肃省农村　维操作。“ｆ’’的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数　的学习难度。　的事物；另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是　发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中的。　另外，在ｆ（ｘ）的定义中，　“对于任意给定的Ｘ，都　有唯一确定的Ｙ”，其中同时强调“任意”和“给　定，这对学生的早期理解是有障碍的。　（五）学生的思维发展　形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进　入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习　的认识障碍。　朱文芳博士指出不同的学生存在不同的数学气质　初中生以形式逻辑思维水平为主；刚进入高中的　学生，思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对　一类型，如分析型、几何型和调和型。几何型的学生善　于使用形象表示，理解形象化方式的函数关系，且当　函数关系或解析式能给予几何图形上的解释时，才感　到它是清楚可信的。在进行纯粹解析表示运算时，感　些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证思　维阶段。这种认知发展的阶段性特点，往往限制了他　们对于抽象函数概念的理解和把握，从而导致了在学　习函数时对函数对应变化的相依关系深感困难。在函　数概念学习之前，基本上足常量数学，所学的数学概　念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质　是辩证法在教学中的应用．即函数是一个辩证概念。　这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟　觉困难。分析型的学生常把图象置于函数本身之外，　不把它看作函数的一部分。在函数问题解答中，只靠　解析法处理信息，解释与理解图象的能力差。调和型　的学生也在实现数与形的有机结合，　符号语言与图形　语言的灵活转换过程中存在障碍，所以不同的数学气　质类型影响个体对函数概念形成不同的认识水平。　■　的时期，思维水平基本上还停留在形式逻辑思维的范　畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学