28章 图形的相似与位似

第28章图形的相似与位似

一、选择题

1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A.600m B.500m C.400m D.300m

环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北

【答案】B

2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，

3

点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为 ，则点P的个数为（ ）

2

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

13. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）

2

【答案】Ａ

4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样

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折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21

【答案】B

5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（ ）

A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16 【答案】A

6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ） （A）23

A （B）33 （C）43 （D）63

DEBC（第7题）

【答案】B

7. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m

环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北 C.400m D.300m

【答案】B

8. （2011台湾台北，26）图(十)为一ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32。若A＝50，则图中1、2、3、

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4的大小关系，下列何者正确？

A．1＞3 B．2＝4 C．1＞4 D．2＝3

【答案】D

9. （2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。

其中真命题的个数是 A．1 【答案】A

B．2

C．3

D．4

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，

边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的

14，那么点B′的坐标是（ ）

A．（3，2）

B．（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）

1C．（2，3）或（－2，－3） 【答案】D

11. （2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）

2

【答案】Ａ

12. （2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（ ） A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条

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B．对角线相等的四边形是矩形

C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D

13. （ 2011重庆江津， 8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )

A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

A

4 3 D

【答案】A·

14. (2011重庆綦江，4，4分)若相似△ABC与△DEF的相似比为1 ：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

A．1 ：3 B．1 ：9 C．3 ：1 D． 1 ：3

【答案】：B

15. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是 ．．

35° (1)

第8题图

75° O 70° 75° C

8 (2)

6 B

A.

EDDFDEEFBCBFBFBC= B.= C. = D.= EAABBCFBDEBEBEAE

【答案】C

16. （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结

论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）

A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个

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【答案】D

17. （2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3， 则CE的值为

A.9 B.6 C.3 D.4

【答案】B

18. （2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下 列结论中一定正确的是 ( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似

A B ① ②

O ④⊙D

③

（第7题）

C

【答案】B

19. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝

m A C E A． 7

n

B

a

D b F c B． 7.5

C． 8

D． 8.5

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【答案】B

20．（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（ ） A．等腰梯形的对角线互相平分．

B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似． 【答案】C

21. （2011山东东营，11，3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）

A．a

2111

B．(a1)

2C．(a1)

2 D．(a3)

21

A B y 1 C -1 O -1 1 B′ x A′ 第11题 【答案】D

22. （2011重庆市潼南,5,4分）若△ABC～△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为

A．2：1 【答案】A

23. （2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）

21B．1 ：2 C．4：1 D．1：4

【答案】Ａ

24. （2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A

＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

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DCGAEFPB

第7题图 【答案】C 25. 26.

二、填空题

1. （2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．

A′ E′

A B O C D C′

1【答案】

2

2. （2011四川重庆，12，4分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两

点，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积比为 ．

E B′ D′

图3

【答案】1：9

3. （2011江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

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【答案】

343

4. 5. 6.

三、解答题

1. （2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”） （2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①= 度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1= ，2= ，3= ；（用含的式子表示） （4）若只能摆放4根小棒，求的范围. ．．

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【答案】

【答案】解：（1）能 （2）①22.5° ②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+2,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=2a2, ∴a3=A5A6=AA5=a2+2a2=(2+1)2. 方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴a2=A3A4=AA3=1+2,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6， ∴

1a2a2a3，∴a3=

a212=(2+1).

2

n-1an=(2+1).

(3)12，23，34

(4)由题意得690，∴15°＜≤18°.

2. （2011江苏宿迁,28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝

12590，以点C

为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

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FGAEDBC（第28题）

【答案】

解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝ ∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝

51212得 AC＝12()2＝

2152

．

（2）∠EAG＝36°，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

∴

AEFA512

＝

512

∴△FAE是黄金三角形 ∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

∵AE＝AG，FA＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA

∴∠EAG＝∠F＝36°．

3. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

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【解】（1）△HGA及△HAB；

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB

∴

CGABACBH81x，即

x9



9y

，

所以，y

BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

（3）当CG＜

12∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形； 当CG=

12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=当CG＞

12922，即x=922 BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 综上，当x=9或922时，△AGH是等腰三角形．

4. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.

(1) 求证：

AMADHGBC;

(2) 求这个矩形EFGH的周长.

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【答案】

(1) 解：∵四边形EFGH为矩形 ∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ （2）由（1）得可得

30x30AMADHGBC;设

AMADHGBC;

HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x

2x40，解得，x=12 ， 2x=24

所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.

5. （2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=

1213．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

2222【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=ABBC=5030=40．

∵S=

12ABCP=ACBCAB12ACBC,

∴CP==

403050=24．

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在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=∴

CPCM12131213，

．

131224=26．

PEBC1213APAC∴CM=

1312CP=

（2）由△APE∽△ACB，得，即

PEMEPE30x40，∴PE=x．

43在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=∴EM=

1312PE=

13122，∴

1213．

34x=

1316x．

22∴PM=PN=MEPE=∵AP+PN+NB=50，∴x+∴y =（3）

211651625133x． xx=16416x+y =50．

x50(0 < x < 32)．

第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列

比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E在线段AC上时，

△AME∽△ENB，EM=

1316AMENMENB516．∵EM=EN，∴EM2AMNB．设AP=x，由（2）知

1116x，NB=2116x50．

x，AM=xPM=x2x112113x(x50) ∴x161616解得x1=22，x2=0（舍去）．

即AP=22．

② 当点E在线段BC上时，

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根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴

55ACCEEPMP53125．∴CE=

503512AC=

503．设AP=x，

易得BE=(50x)，∴CE=30(50x)．∴30(50x)=

33．解得x=42．即AP=42．

∴AP的长为22或42．

6. （2011四川绵阳25，14）

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1. (1)若BD是AC的中线，如图2，求BD

的值； CE

BD

(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；

CE(3)结合（1)、（2)，请你推断

BDBD

的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值CECE

4

能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.

3

ADDEAEBCBC

AEDBC

BDCEABCD【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD∽△CDE, 可得CE=

2

BD5x,所以=

CE25,

（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x，AB=2x+x,由

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勾股定理可知BD=（4+22）x² △ABD∽△CDE，BD=2, CE

(3)由前面两步的结论可以看出，

BDCEABADECDE112,∴EC=x222, ≥1,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和

点A之间

7. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：

DPBQPEQC．

（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN．

【答案】（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴DP/BQ＝AP/AQ．

同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ． ∴DP/BQ＝EP/CQ． （2）

29．

（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC， ∴△BGD∽△EFC． ∴DG/CF＝BG/EF，

∴DG·EF＝CF·BG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN2＝DM·EN

8. （2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.

（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）

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AB【答案】（1）如下图.

AA'C

BB'C'C

（2）四边形AA′C′C的周长=4+62

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