2009年河南专升本高数真题+答案解析

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

题号 分值

一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（ ）

一 60 二 30 三 40 四 14 五 6 总分 150 x2A．y,yx

x B．yx2,yx D．yx,yx2

C．yx,y(x)2

【答案】D

【解析】由函数相等的定义知D正确．

2．下列函数中为奇函数的是（ ）

exexA．f(x)

2 B．f(x)xtanx D．f(x)C．f(x)ln(xx21)

x 1x【答案】C

【解析】对于C，f(x)ln(xx1)ln2(x21x)(x21x)x1x2ln1x1x2

ln(x21x)f(x)，故C为奇函数．

3．limx1x1的值是（ ） x1 A．1 B．1 C．0 D．不存在

【答案】D 【解析】limx1x1x1x1x1x1x1，，由于，因lim1limlim1limlimx1x1x1x1x1x1x1x11xx1x1此极限不存在．

4．当x0时，下列无穷小中与x等价的是（ ）

A．2x2x

B．3x C．ln(1x)

D．sin2x

【答案】C

【解析】由题意可知lim

ln(1x)xlim1，故选C．

x0x0x xex15．设f(x)，则x0是f(x)的（ ）

x

A．连续点

B．可去间断点

C．跳跃间断点

D．无穷间断点

【答案】B

ex1【解析】由于limf(x)lim1，但f(x)在x0处无定义，因此x0是f(x)的可去

x0x0x间断点．

6．设函数f(x)可导，且limx0f(1)f(1x)1，则f(1)（ ）

2xC．1

D．2

A．2 B．1

【答案】D 【解析】f(1)limx0f(1x)f(1)f(1)f(1x)2lim2．x0 x2x

7．设函数f(x)具有四阶导数，且f(x)x，则f(4)(x)（ ）

12x13D．x2

4 A． B．x C．1

【答案】D

【解析】f(x)x，f(x)

xsin2t8．曲线在t对应点处的法线方程为（ ）

4ycost12x，f(4)13(x)x2．

4 A．x2 2B．y1 C．yx1 D．yx1

【答案】A

【解析】切线的斜率为k

xx9．已知def(x)edx，且f(0)0，则f(x)（ ）

y(t)x(t)t42cos2tsintt40，因此法线方程为xcostt42．2

A．e2xex B．e2xex C．e2xex D．e2xex

【答案】B

xx【解析】对等式两边积分d得exf(x)exC，所以f(x)e2xCex．因ef(x)edx，

为f(0)0，所以C1，因此f(x)e2xex，故选B．

10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）

A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件 D．无关条件

【答案】A

【解析】根据可导与连续的关系知选A．

11．曲线yx424x26x的凸区间为（ ）

A．(2,2)

B．(,0)

C．(0,)

D．(,)

【答案】A

【解析】y4x348x6，y12x248，由y0，得2x2，因此曲线的凸区间为(2,2)．

ex12．曲线y（ ）

x

A．仅有水平渐进线 C．仅有垂直渐近线

B．既有水平渐进线，又有垂直渐近线 D．既无水平渐进线，又无垂直渐近线

【答案】B

exexex【解析】lim0，lim，故曲线y既有水平渐进线，又有垂直渐近线．

x0xxx x

13．下列说法正确的是（ ）

A．函数的极值点一定是函数的驻点 C．二阶导数非零的驻点一定是极值点

B．函数的驻点一定是函数的极值点 D．以上说法都不对

【答案】C

【解析】由极值的第二判定定理，知C正确．

14．设f(x)在a,b上连续，且不是常数函数，若f(a)f(b)，则在(a,b)内（ ）

A．必有最大值或最小值 C．既有极大值又有极小值

B．既有最大值又有最小值 D．至少存在一点，使得f()0

【答案】A

【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A选项正确．

15．若f(x)的一个原函数是lnx，则f(x)（ ）

A．

1 xB．1 2xC．lnx D．xlnx

【答案】B

【解析】因为f(x)(lnx)

16．若f(x)dxx2C，则xf(1x2)dx（ ）

A．2(1x2)2C

B．2(1x2)2C

11，所以f(x)2．

xx1C．(1x2)2C

21D．(1x2)2C

2【答案】C

【解析】由题意知，因为f(x)dxx2C，则

2xf(1x)dx112222f(1x)d(1x)(1x)C．

22

17．下列不等式中不成立的是（ ）

A．lnxdxlnxdx

11222200B．sinxdx2xdx

C．ln(1x)dxxdx

0022D．exdx(1x)dx

0022【答案】D

xx【解析】对于D，edxe0220222122x，应有(1x)dxxx4e21，edx0000(1x)dx，2故D选项错误．

18．1lnxdx（ ）

ee

A．1lnxdxlnxdx

e11eB．1lnxdxlnxdx

e11eC．1lnxdxlnxdx

e11eD．1lnxdxlnxdx

e11e【答案】C

【解析】1lnxdx1(lnx)dxlnxdx1lnxdxlnxdx．

ee1e1e1e1e

19．下列广义积分中收敛的是（ ）

A．elnxdx xB．e1dx xlnxC．e1dx xln2xD．1x3lnxedx

【答案】C

【解析】对于C选项，

20．方程x2y2z0在空间直角坐标系中表示的是（ ）

A．球面

B．圆锥面

C．旋转抛物面

D．圆柱面

e111dxdlnxeln2xxln2xlnxe1，故收敛．

【答案】C

【解析】由旋转抛物面的定义知选C．

21．设a1,1,,2，b2,0,1，则a与b的夹角为（ ）

A．0

B．

 6C．

 4D．

 2【答案】D

【解析】ab1210210，所以a与b的夹角为

22．直线L:

，故选D．

2x3y4z与平面:4x2y2z3的位置关系是（ ） 273B．直线在平面上 D．相交但不垂直

A．平行但直线不在平面上 C．垂直

【答案】A

【解析】因为直线L的方向向量s(2,7,3)，平面的法向量为n(4,2,2)，则 sn24(7)(2)3(2)0．又点(3,4,0)不在平面上，所以直线与平面平行．

23．设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数，则limh0f(ah,b)f(ah,b)（ ）

hC．fx(a,b)

D．fy(a,b)

A．0

B．2fx(a,b)

【答案】B

【解析】由题意知，limh0f(ah,b)f(ah,b)f(ah,b)f(ah,b)2lim2fx(a,b)．h0 h2h

24．函数z

A．

xy的全微分为（ ） xy2(xdxydy)

(xy)2B．

2(ydyxdx)

(xy)2C．

2(ydxxdy)

(xy)2D．

2(xdyydx)

(xy)2【答案】D 【解析】

z2yz2x2(xdyydx)，，故．dz x(xy)2y(xy)2(xy)2

25．dy0aa2y20f(x,y)dx化为极坐标形式为（ ）

a

A．df(rcos,rsin)rdr

002B．d02cos0f(rcos,rsin)rdr

C．d20asin0f(rcos,rsin)rdr

D．2df(rcos,rsin)rdr

00a【答案】D

【解析】令xrcos，yrsin，可知02，0ra，故化为极坐标形式为



20df(rcos,rsin)rdr．

0

a26．设L是以A(1,0)、B(3,2)、C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA，则



L(3xy)dx(x2y)dy（ ） A．8

B．0

C．8

D．20

【答案】A

1【解析】由格林公式，知(3xy)dx(x2y)dy2dxdy2428．

L 2D

27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ）

dyyy tan

dxxx22xC．dxexydy0

yA．

B．(x2y2)dx2xydy0 D．

dy2yex dx【答案】C

【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C正确．

28．若级数un收敛，则下列级数中收敛的是（ ）

n1

uA．n

n110B．(un10)

n110C．

n1unD．(un10)

n1【答案】A

【解析】由无穷级数的基本性质知，un收敛必有n1un收敛．

n110

29． 函数f(x)ln(1x)的幂级数展开式为（ ）

x2x3A．x...,1x1

23x2x3C．x...,1x1

23x2x3B．x...,1x1

23x2x3D．x...,1x1

23【答案】C

x2x3【解析】由幂级数展开公式，得f(x)ln(1x)x...,1x1．

23

30．级数an(x1)n在点x1处收敛，则此级数x2处（ ）

n0

A．条件收敛 C．发散

B．绝对收敛 D．无法确定

【答案】B

【解析】由阿贝尔定理知级数在x2处绝对收敛，故选B．

二、填空题 （每小题 2分，共 30分） 31．已知f(x)【答案】

x，则ff(x)________． 1xx 12xxf(x)x1x【解析】ff(x)．

1f(x)1x12x

1x

32．当x0时，f(x)与1cosx等价，则lim【答案】

1 2f(x)________．

x0xsinx【解析】由题意可知，f(x)与1cosx等价，则lim

x2a33．若lim8，则a________． xxaxf(x)1cosx1lim．

x0xsinxx0xsinx2

【答案】ln2

3a3ax2a【解析】limlim1lim1xxaxxaxax

xxxa3ax3axae3a8，故aln2．

sinx,x034．设函数f(x)x在(,)内处处连续，则a________．

x0a,【答案】1

【解析】因为f(x)在(,)内处处连续，所以alim

35．函数y3x在(2,2)点处的切线方程为________． 1xsinx1．

x0 x14【答案】yx

333114【解析】y，所以切线斜率，又因为过点，所以切线方程为．(2,2)kyx(1x)2333

36．函数f(x)x2x2在区间0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的________． 【答案】1

【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)，使得

f()f(b)f(a)f(2)f(0)1，

ba2f(x)2x1，当x1时，有f(1)1，故1．

37．函数f(x)xx的单调减少区间为________． 1【答案】0,

4【解析】f(x)1

12x，令f(x)0，解得0x1．4

38．已知f(0)2，f(2)3，f(2)4，则xf(x)dx________．

02【答案】7

2f(x)dx2f(2)f(x)【解析】xf(x)dxxf(x)00022208f(2)f(0)7．

39.设向量b与a1,2,3共线，且ab56，则b________．

【答案】4,8,12

【解析】由a与b共线，知ba，由abaa1456，知4，故b4,8,12．

40．设zex2y22z，则2________．

x2【答案】(4x22)exy2

2222222zzx2y2【解析】2xe，22exy2x2xexy(4x22)exy．

xx

41．函数f(x,y)2x2xy2y2的驻点为________． 【答案】(0,0)

【解析】fx4xy，fyx4y，令fx0，fy0，得驻点为(0,0)．

42．设区域D为x2y29，则x2yd________．

D

【答案】0

【解析】令xrcos，yrsin，知

23334xyddrcossinrdrcossindrdr0．D00002323

43．交换积分次序后，dx01xxf(x,y)dy________．

【答案】

0y10x1【解析】由题意知积分区域为，交换积分次序后，积分区域为2，故

yxyxyx

10dxxxf(x,y)dydy2f(x,y)dx．

0y1y

144．已知yxex是微分方程y2y3yex的一个特解，则该方程的通解为________．

41【答案】yC1exC2e3xxex（C1,C2为任意常数）

4【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为r22r30，解得r11，r23，故对1应的齐次方程的通解为yC1exC2e3x，又知特解为yxex，故通解为

41． yC1exC2e3xxex（C1,C2为任意常数）

4

45．已知级数un的部分和Snn3，则当n2时，un________．

n1【答案】3n23n1

【解析】当n2时，unSnSn1n3(n1)33n23n1．

三、计算题（每小题5 分，共40 分） 1146．求limx． x0xe1【答案】

1ex1xex1xex1x11【解析】limxlimlimlimlim．x0xx02xx02xe1x0x(ex1)x0x22 

47．设 yf(x)是由方程exyylnxsin2x确定的隐函数，求

dy． dx2xcos2xxyexyy【答案】 2xyxexlnx【解析】方法一 方程两边同时对x求导得exy(yxy)yylny2cos2x，故 xdy2xcos2xxyexyy．y dxx2exyxlnx方法二 令F(x,y)exyylnxsin2x，则

Fx2xcos2xxyexyydy． dxFyx2exyxlnx

48．已知xf(x)dxe2xC，求11【答案】xe2xC

421dx． f(x)【解析】等式两边对x求导，得xf(x)2e2x，则

11xe2x，故 f(x)2

411111dxxde2xxe2xe2xdxxe2xC．

f(x)444249．求x(x1)dx．

4【答案】

129 304401411【解析】x(x1)dx(x2x)dx(x2x)dx(x2x)dxx3x24401231113124129

．x3x21xx10 22333

50．已知zex【答案】ex22xyy2，求全微分dz．

xyy2(2xy)dx(x2y)dy

222222zz【解析】(2xy)exxyy，(x2y)exxyy，则dzexxyy(2xy)dx(x2y)dy．

yx

51． 求 【答案】

(2xy)dxdy，其中D由yx，y2x，y2围成．

D10 3yxy，

2【解析】由题意可知，积分区域D为0y2，

(2xy)dxdydyy(2xy)dxD022y52210． ydy403

52．求微分方程y2xyxex的通解．

212【答案】yexCex

422【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)2x，Q(x)xex，则方程的通解

P(x)dxP(x)dxdxCe(2x)dxxex2e(2x)dxdxCex21e2x2C 为yeQ(x)e4212exCex．

4

53．求幂级数n2n． x的收敛区间（考虑端点）n2n1【答案】(2,2)

an1n12n1nnlimn1， 【解析】令tx，则级数为nt，因为limnan2n22n1n2nnn所以nt的收敛半径为2，则nx2n的收敛半径为2，

n12n12又当x2时，n发散，故所求幂级数的收敛域为(2,2)．

n1

四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）

54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为64m2的条件下，

问增加的三面墙各长多少时，其总长最小． 【答案】三面墙的长度分别为82m，42m和42m

【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m，则另两面墙的长为为lx令l1128(x0)． x1282560，解得唯一驻点x82，又l30，故当x82m时，l取值最小， 2xx64 m，故三面墙的总长x此时，三面墙的长度分别为82m，42m和42m．

x2,x255．设D是由曲线yf(x)与直线y0，y3围成的区域，其中f(x)，

6x,x2求D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】

117

 2

【解析】由题意得

331Vy(6y)2dy(y)2dy(6y)3003301y2230117． 2

五、证明题 （6 分） 56．设F(x)f(t)dtaxxb1dt，其中函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(x)0．证明f(t)在开区间(a,b)内，方程满F(x)0有唯一的实根． 【解析】因为F(x)在a,b上连续，f(x)0，且F(a)所以方程F(x)0在(a,b)内有根，又因为F(x)f(x)所以F(x)在(a,b)内单调，故至多有一个实根．

综上，在开区间(a,b)内，方程满F(x)0有唯一的实根．

abb1dt0，F(b)f(t)dt0，

af(t)10， f(x)