2004年高考天津卷文科数学试题及答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合P{1，2，3，4，5，6}，QxR2x6，那么下列结论正确的

是

A.PQP B.PQQ C.PQQ D.PQP

2.不等式

x12的解集为 x(0，)

A.[1，0] B.[1，) C.(，1] D.(，1]3.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是

A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件

4.若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且

b35，则b

A.(3，6) B.(3，6) C.(6，3) D.(6，3)

x2y21上一点，5.设P是双曲线2双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F29a分别是双曲线的左、右焦点.若PF13，则PF2

A.1或5 B.6 C.7 D.9

6.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a

2211 B. C. D. 4242227.若过定点M(1，0)且斜率为k的直线与圆x4xy50在第一象限内的部

分有交点，则k的取值范围是

A.0k5 B.5k0 C.0k13 D.0k5 8.如图，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的

动点，且PCAC.那么，动点C在平面内的轨迹是

A.

PACB

A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点

(1x0)的反函数是

A.y1log3x(x0) B.y1log3x(x0)

C.y1log3x(1x3) D.y1log3x(1x3)

10.函数y2sin(A.[0，

9.函数y3x162x)(x[0，])为增函数的区间是

755，] C.[，] D.[，]

3121236611.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13.分别过BC、

] B.[A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，

V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C.若V1:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积为

D1A1DEE1FBF1B1CC1

A.410 B.83 C.413 D.16

12.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是，且当

A5x[0，]时，f(x)sinx，则f()的值为

233311A. B. C. D.

2222第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容

量n_________. 14.已知向量a(1，1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k等于_______. 15.如果过两点A(a，0)和B(0，a)的直线与抛物线yx2x3没有交点，那么

实数a的取值范围是____________.

16.从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整

除的三位数共有____________个.（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知tan(24⑴求tan的值；

)1. 2学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

sin2cos2⑵求的值.

1cos218.（本小题满分12分）

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.

⑴求所选3人都是男生的概率； ⑵求所选3人中恰有1名女生的概率； ⑶求所选3人中至少有1名女生的概率.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，

PDDC，E是PC的中点. ⑴证明PA//平面EDB；

⑵求EB与底面ABCD所成的角的正切值.

PECDAB

20.（本小题满分12分）

设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列. ⑴证明：a1d；

⑵求公差d的值和数列an的通项公式.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)axcxd(a0)是R上的奇函数，当x1时f(x)取得极值2.

⑴求f(x)的单调区间和极大值；

⑵证明对任意x1，x2(1，1)，不等式f(x1)f(x2)4恒成立.

22.（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴

相交于点A，OF2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

⑴求椭圆的方程及离心率；

⑵若OPOQ0，求直线PQ的方程.

2004年普通高等学校招生天津卷文史类数学参考解答

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. A

8. B 9. D 10. C 11. C 12. D

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

3阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13. 80 14. 1 15. (,13) 16. 36 4

三. 解答题

17. 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算

能力。满分12分。

（1）

解：tan(4tan)4tan411tan1由tan()，有

421tan21解得tan

3sin2cos22sincoscos22sincos（2）解法一：

1cos22cos12cos211115tan

232611at，得sincos 解法二：由（1），n33112222∴ sincos 1coscos

999422∴ cos 于是cos22cos1

10523sin22sincoscos2

35392sin2cos5510 代入得

41cos261518. 本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分12分。

3C41（1）解：所选3人都是男生的概率为 3

C6512C2C43（2）解：所选3人中恰有1名女生的概率为  35C61tantan1tan

1tan学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

1221C2C4C2C44（3）解：所选3人中至少有1名女生的概率为 35C619. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力

和推理论证能力，满分12分。

方法一：

（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO

∵ 底面ABCD是正方形 ∴ 点O是AC的中点。

在PAC中，EO是中位线 ∴ PA//EO

而EO平面EDB且PA/平面EDB，所以，PA//平面EDB。

（2）解：作EFDC交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为a。 ∵ PD底面ABCD ∴ PDDC ∴ EF//PD F为DC的中点

∴ EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB

与底面ABCD所成的角。

a5BC2CF2a2()2a

22aEF51a2∵ EFPD ∴ 在RtEFB中 tanEBF BF5225a25所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

5在RtBCF中，BFPECDFOAB

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DCa

（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得A(a,0,0)，P(0,0,a)，

E(0,aa,) ∵ 底面ABCD是正方形 22aa,,0) 22aa∴ PA(a,0,) EG(,0,)

22∴ PA2EG 这表明PA//EG

而EG平面EDB且PA/平面EDB ∴ PA//平面EDB

（2）解：依题意得B(a,a,0)，C(0,a,0)

∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为(学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

a,0) 连结EF，BF 2aa∵ FE(0,0,)，FB(a,,0)，DC(0,a,0)

22∴ FEFB0，FEDC0 ∴ FEFB，FEDC ∴ EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB

取DC的中点F(0,与底面ABCD所成的角。

在RtEFB中，FEa25a2a ，FBa()222aFE52∴ tanEBF

55FBa25所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。

5zPECFDGAxyB

20. 本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等

基础知识，考查运算能力和推理论证能力，满分12分。

（1）证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a2a1a4

于是 (a1d)a1(a13d) 即a12a1dda13a1d

化简得 a1d

（2）解：由条件S10110和S1010a122222而an是等差数列，有a2a1d，a4a13d

109d，得到10a145d110 2 由（1），a1d，代入上式得55d110

故 d2，ana1(n1)d2n

因此，数列an的通项公式为an2n，n1,2,3,。

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等

基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分。 （1）解：由奇函数的定义，应有f(x)f(x)，xR

即axcxdaxcxd ∴ d0

32因此，f(x)axcx f(x)3axc

33ac2由条件f(1)2为f(x)的极值，必有f(1)0，故

3ac0解得a1，c3 32因此，f(x)x3x，f(x)3x33(x1)(x1)

f(1)f(1)0

当x(,1)时，f(x)0，故f(x)在单调区间(,1)上是增函数 当x(1,1)时，f(x)0，故f(x)在单调区间(1,1)上是减函数 当x(1,)时，f(x)0，故f(x)在单调区间(1,)上是增函数

所以，f(x)在x1处取得极大值，极大值为f(1)2

3（2）解：由（1）知，f(x)x3x(x[1,1])是减函数，且

f(x)在[1,1]上的最大值Mf(1)2 f(x)在[1,1]上的最小值mf(1)2 所以，对任意的x1，x2(1,1)，恒有

f(x1)f(x2)Mm2(2)4

22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线

和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力，满分14分。

x2y21(a2) 解：⑴由题意，可设椭圆的方程为2a2a2c22由已知得 解得a6，c2 a2c2(c)c6x2y21，离心率e所以椭圆的方程为

362⑵由⑴可得A(3，0)，设直线PQ的方程为yk(x3)，由方程组

x2y212222 得(3k1)x18kx27k60 26yk(x3)662k依题意12(23k)0，得 3318k227k26设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2① x1x2② 23k13k21学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 由直线PQ的方程得y1k(x13)，y2k(x23) 于是y1y2k(x13)(x23)k[x1x23(x1x2)9] ③

∵OPOQ0 ∴x1x2y1y20 ④

22566) (，353所以直线PQ的方程为x5y30或x5y30

2由①②③④得5k1，从而k学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹