2010山东

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县

区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：

锥体的体积公式：V1Sh。其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3如果事伯A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）； 如果事件A、B独立，那么P(AB)P(A)P(B)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 （1）已知全集U=R，集合M{x||x1|2}，则CUM

（A）{x|1x3} （C）{x|x1或x3}

（B）{x|1x3} （D）{x|x1或x3}

（2）已知

a2ibi(a,bR)，其中i为虚数单位，则ab i（C）2

（D）3

（A）-1 （B）1 （3）在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 （C）垂直于同一平面的两个平面平行

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

x（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)22xb(b为常数），则

f(1)

（A）3

（B）1

（C）-1

（D）-3

（5）已知随机变量服从正态分布N(1,2)，若P(2)0.023，则P(22)

（A）0.477

（B）0.628

（C）0.954

（D）0.977

（6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为

（A）

6 5（B）

6 5（C）2

（D）2

（7）由曲线yx2,yx3围成的封闭图形面积为

（A）

1 12（B）

1 4（C）

1 3（D）

7 12（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目

乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A）36种 （B）42种 （C）48种 （D）54种 （9）设{an}是等比数列，则“a1a2a3”是“数列{an}是递增数列”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

xy20,（10）设变量x,y满足约束条件x5y1010,则目标函数z3x4y的最大值和最小

xy80,

值分别为 （A）3，-11

x2（B）-3，-11 （C）11，-3 （D）11，3

（11）函数y2x的图象大致是

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a(m,v),b(pq)。令a⊙

bmqnp.下面说法错误的是

（A）若a与b共线，则a⊙b0 （B）a⊙bb⊙a

（C）对任意的R,有(a)⊙b(a⊙b) （D）(a⊙b)(ab)|a||b|

222

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）执行右图所示的程序框图，若输入x10，

则输出y的值为 。 （14）若对任意x0,xa恒成立，

x23x1则a的取值范围是 。

（15）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，

若a2,b2,sinBcosB2，则角A的大小

为 。

（16）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直

线l:yx1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 （17）（本小题满分12分）

已知函数f(x)点(11sin2xsincos2xcossin()(0)，其图象过2221,). 62 （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1，纵坐标不变，得到函数2yg(x)的图象，求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值。

4（18）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足：a37,a5a726.{an}的前n项和为Sn.

 （Ⅰ）求a4及Sn； （Ⅱ）令bn项和Tn.

（19）（本小题满分12分） 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA平面

ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，

1(nN*)，求数列{bn}的前n2an1

ABC45,AB22,BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

（20）（本小题满分12分）

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用表示甲内当家本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望E.

（21）（本小题满分12分）

3111,,,，且各题回答正确4234x2y2如图，已知椭圆221(ab0)的离心率

ab为

2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2 2为顶点的三角形的周长为4(21)，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点 的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、 B和C、D.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21；

（Ⅲ）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；

若不存在，请说明理由.

（22）（本小题满分14分）

已知函数f(x)1nxax1a1(aR). x1时，讨论f(x)的单调性； 212 （Ⅱ）设g(x)x2bx4.当a时，若对任意x1(0,2)，存在x2[1,2]，使

4 （Ⅰ）当af(x1)g(x2)，求实数b的取值范围.

参考答案

评分说明： 1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）C （10）A （11）A （12）B

二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 （13）15 （14）[,) （15） （16）xy30

546三、解答题

（17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和

求解的能力，满分12分。

11sin2xsincos2xcossin()(0) 22211cos2x1coscos 所以f(x)sin2xsin222211sin2xsincos2xcos 221(sin2xsincos2xcos) 21cos(2x). 21又函数图象过点(,)

6211所以cos(2)

226解：（Ⅰ）因为f(x)即cos(3)1,

又0 所以. 31cos(2x)，将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)

1，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，可知 21g(x)f(2x)cos(4x),

23到原来的因为x[0,4]

所以4x[0,] 因此4x故3[23,3]

1cos(4x)1 23所以yg(x)在[0,4]上的最大值和最小值分别为

11和. 24（18）本小题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由于a37,a5a726， 所以a12d7,2a110d26， 解得a13,d2.

由于ana1(n1)d,Sn

n(a1an) 2

所以an2n1,Snn(n2).

（Ⅱ）因为an2n1

2所以an14n(n1)

因此bn1111().

4n(n1)4nn1

故Tnb1b2bn

111111(1) 4223nn111(1) 4n1

n

4(n1)

所以数列{bn}的前n项和Tnn.

4(n1)（19）本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几

何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。 （Ⅰ）证明：在ABC中，因为ABC45°，BC=4，AB22

所以ACABBC2ABBCcos458 因此AC22 故BCACAB 所以BAC90

又PA平面ABCDE，AB//CD， 所以CDPA,CDAC

0222222 又PA，AC平面PAC，且PA∩AC=A， 所以CD平面PAC，又CD平面PCD， 所以平面PCD平面PAC。 （Ⅱ）解法一： 因为APB是等腰三角形，

所以PAAB22 因此PBPA2AB24

又AB//CD，

所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。 由于CD平面PAC，在RtPAC中，

PA22,AC22 所以PC=4

故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离， 所以B到平面PCD的距离为h2. 设直线PB与平面PCD所成的角为， 则sin又[,0所以h21， PB422]

. 6解法二：

由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两相互垂直，

分别以AB，AC，AP为x轴，z轴建立如图

所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，

所以PAAB22 又AC22，

因此A(0,0,0),B(22,0,0),C(0,22,0),P(0,0,22) 因为AC//DE，CDAC， 所以四边形ACDE是直角梯形， 因为AE2,ABC450,AE//BC 所以BAE135 因此CAE45 故CDAEsin452所以D(2,22,0)

000

22 2

因此CP(0,22,22),CD(2,0,0)

设m(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，

则mCP0,mCD0

解得x0,yz 取y1,得m(0,1,1)

又BP(22,0,22)

设表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角，

mBP1则cos

|m||BP|2所以

3

因此直线PB与平面PCD所成的角为

. 6 （Ⅲ）因为AC//ED，CDAC 所以四边形ACDE是直角梯形

因为AE2,ABC450,AE//BC， 所以BAE135 因此CAE45 故CDAEsin452000

22 222 2

EDACAEcos45022222223. 2

所以S四边形ACDE又PA平面ABCDE， 所以VPCDE132222 3（21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，

考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，

由题意知

c2,2a2c4(21) a2

所以a22,c2 又abc，因此b2.

222

x2y21 故椭圆的标准方程为84x2y2由题意设等轴双曲线的标准方程为221(m0)，

mm因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，

所以m2

x2y21 因此双曲线的标准方程为44 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)

则k1y0y0 ,k2x02x02

因为点P在双曲线x2y24上，

22所以x0y04.

因此k1k2即k1k21.

y0yy0201 x02x02x04

（Ⅲ）由于PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得

(2k121)x28k12x8k1280

8k128k128由违达定理得x1x2 ,x1x2222k112k11所以|AB|1k12

(x1x2)24x1x2

1k218k128k128(2)42 2k112k11

k121 4222k112k21同理可得|CD|42. 22k21211112k1212k2则(22) |AB||CD|42k11k21

又k1k21

2122222k1k2k1k2111232所以 (211)(2112)1|AB||CD|42k118k11k1181k12故|AB||CD|

32|AB||CD| 8

因此，存在32， 8使|AB||CD||AB||CD|恒成立。

（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、

数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。

解：（Ⅰ）因为f(x)lnxax1a1 x

1a1ax2x1a所以f(x)a2x(0,)

xxx2令h(x)ax2x1a,x(0,)

（1）当a0时,h(x)x1,x(0,)

所以，当x(0,1)时,h(x)0,此时f(x)0，函数f(x)单调递减； 当x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0,函数f(x)单调递

（2）当a0时,由f(x)=0

2即axx1a0，解得x11,x211 a①当a1时，x1x2,h(x)0恒成立， 2此时f(x)0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； ②当0a11时,110 2ax(0,1)时，h(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减； x(1,11)时，h(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递增； a1x(1,)时,h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；

a1③当a0时，由于10

ax(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减； x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增。

综上所述：

当a0时，函数f(x)在（０，１）上单调递减； 函数f(x)在（１，＋∞）上单调递增； 当a1时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； 2

1时，函数f(x)在（0，1）上单调递减； 21 函数f(x)在(1,1)上单调递增；

a1 函数f(x)在(1,)上单调递减，

a11 （Ⅱ）因为a(0,)，由（Ⅰ）知，

22

当0a

x11,x23(0,2)，当x(0,1)时,f(x)<0，

函数f(x)单调递减；当x(1,2)时，f(x)0

函数f(x)单调递增，所以f(x)在（0，2）上的最小值为f(1)1 2由于“对任意x1(0,2)，存在x2[1,2]，使f(x1)g(x2)”等价于 “g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在（0，2）上的最小值又g(x)(xb)24b2,x[1,2]，所以

①当b1时，因为[g(x)]ming(1)52b0，此时与（*）矛盾； ②当b[1,2]时，因为[g(x)]min4b20,，同样与（*）矛盾； ③当b(2,)时，因为[g(x)]ming(2)84b

1” （*） 2171. ，可得b8217综上，b的取值范围是[,).

8解不等式84b