专题12-4 复数讲-2018年高考数学文一轮复习讲练测 含

2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】 第十三章 算法初步、推理与证明、复数

第04节 复数

【考纲解读】

考 点 考纲内容 1.理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法复数 及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 2015课标1,2 以及复数的四则运算，2016课标1,2,3 备考时注意方程思想2017课标1,2,3 和数形结合思想的运用 五年统计 2013课标1,2 分析预测 复数是每年必考的内2014课标1,2、 容，重点在复数的模，【知识清单】

知识点1 复数的概念

（1）复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． （2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R)．

（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R)． （4）复数的模

→

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝

a2＋b2.

对点练习

12i1i，则z的共轭复数是（ ） z31311313A. i B. i C. i D. i

22222222【2018湖北咸宁联考】若复数z满足

【答案】D 【解析】

12i12i13i131i,z,zi. z1i222本题选择D选项.

知识点2 复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． →

（2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应 平面向量OZ.

对点练习

【2018河北衡水中学联考】已知复数z的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D

5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应2i1

知识点3 复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则

①加法：z1z2(abi)(cdi)acbdi； ②减法：z1z2(abi)(cdi)acbdi； ③乘法：z1z2(abi)(cdi)acbdadbci； ④除法：

z1abiacbdbcad22i(z20) 22z2cdicdcd（2）复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1,z2,z3C，有z1z2z2z1，

z1z2z3z1z2z3.

对点练习

【2018河南中原名校联考】i是虚数单位,复数

42i21i4i（ ） 12iA. 0 B. 2 C. 4i D. 4i 【答案】A 【解析】A。

42i12i12i14i2i2i4i0，所以选42i21i4i12i12i12i【考点深度剖析】

1．复数是高考的热点，每年必考，常以选择、填空形式出现.

【重点难点突破】 考点1 复数的概念

【1-1】【2018云南昆明一中一模】已知A. 1 B. 0 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】

1z，则1z（ ） i（其中i是虚数单位）

1z1z1ii,zi,1z1i112，故选C. 1z1iB．i2(1-i)

C．(1+i)2

D．i(1+i)

【1-2】【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是

A．i(1+i)2

【答案】C 【解析】

试题分析：由(1i)2i为纯虚数知选C．

【1-3】【2018浙江省部分市学校联考】设i为虚数单位， z表示复数z的共轭复数，若

2z1i，则

zz（ ） iA. 2i B. 2i C. 2 D. 2 【答案】B

【解析】∵z1i ∴z1i ∴

zz1i1i22i iii故选B

【领悟技法】

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

【触类旁通】

2【变式一】【2017浙江，12】已知a，b∈R，（abi）34i（i是虚数单位）则

a2b2 ，ab= ．

【答案】5，2 【解析】

a2b23a24试题分析：由题意可得ab2abi34i，则，解得2，则

ab2b122a2b25,ab2

【变式二】【2017天津，文9】已知aR，i为虚数单位，若【答案】2 【解析】 试题分析：

ai为实数，则a的值为 . 2iai(ai)(2i)(2a1)(a2)i2a1a2i为实数， 2i(2i)(2i)555考点2复数相等，复数的几何意义

【2-1】【2017课标3，文2】复平面内表示复数zi(2i)的点位于（ ） A．第一象限 【答案】C

【解析】由题意：z12i，在第三象限. 所以选C.

【2-2】【2017北京，文2】若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

（A）(,1) （B）(,1) （C）(1,) （D）(1,) 【答案】B

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【2-3】（2016全国乙理2）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则（ ）.

xyi=A. 1 B. 2 C.3 D.2 【答案】B

【解析】由1ix1yi，得xy1，所以xyi1i2.故选B.

【领悟技法】

复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，能够更加灵活地解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.

【触类旁通】

【变式一】【2018广西钦州市钦州港经济技术开发区中学模拟】复数z在复平面上对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B

i20161i5的共轭复数

【变式二】i是虚数单位，复数z是（ ）

ki在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围i

A．k0 B．k0 C．k0 D．k0

【答案】B 【解析】因为z故选B.

ki又在复平面内对应的点(1,k)在第三象限，所以k0，1ki，

i考点3复数的运算

【3-1】【2018广西柳州摸底联考】已知复数z在复平面内对应点是1,2， i为虚数单位，则

z2（ ） z133i D. 1i 22A. 1i B. 1i C. 1【答案】D 【解析】

z232i3 1i ，选D. z12i2【3-2】【2018河南林州一中调研】已知复数满足13iz3i，则z（ ）

A.

33333333i B. i C. i D. i 44222244【答案】A

3i13i3i33i33【解析】zi ，选A.

44413i13i13i【3-3】【2018广西贵港市联考】若复数z满足z2i43i，则z（ ） A. 52i B. 52i C. 52i D. 52i 【答案】D

【解析】由复数模的定义有： 43i345， 则： z2i5,z52i. 本题选择D选项.学科！网

22【领悟技法】

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． (2)记住以下结论，可提高运算速度： ①(1±i)＝±2i；②

2

1＋i1－ia＋bi4n4n＋14n＋2

＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i＝1，i＝i，i1－i1＋ii

＝－1，i

4n＋3

＝－i(n∈N).

【触类旁通】

【变式一】【2017课标II，文2】(1i)(2i) A.1i B.13i C.3i D.33i 【答案】B

【解析】由题意(1i)(2i)23ii213i，故选B.

【变式二】【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数z满足zi1i,则z= A.-2i B.2i C.- 2 D.2 【答案】A 【解析】

试题分析：由zi1i得(zi)(1i),即z2i,所以z2i,故选A.

22222三、易错试题常警惕

易错典例：如果复数m21imii2为纯虚数，则实数m的值为（ ） （A）０ （B）１ （C）－１ （D）０或１ 易错分析：忽视虚部为零出错. 正确解析：选A.

为纯虚数，m2(1i)(mi)i2(m2m)(m21)ii为纯虚数.2mm0,2m0. m10.温馨提醒：(1)复数的有关概念是高考的一个重点内容．解答此类问题一般要将复数转化为一般形式zabiaR,bR，明确复数的实部与虚部，利用相关的知识求解复数的相关问题. (2)解复数问题的易错点：判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

利用复数相等abicdi列方程时，注意a,b,c,dRa，b，c，d∈R的前提条件．