大学生数学建模_房价预测

西安邮电学院第九届 大学生数学建模竞赛

参赛作品

参赛队编号： 016 赛题类型代码： A题

房价问题

摘 要

随着我国房地产市场的不断升温，居民买房难愈来愈严重。定一个合适的房价既照顾到居民的需求也满足方差开发商的盈利需要是十分必要的，要达到这些目的都要用到数学模型来进行量化。在本文中，我们经研究解决了城市房价模型，找出了影响房价的主要因素，建立预测下一阶段的房产均价的一个模型，同时也对政策对调控房价所起的作用作了详细的分析说明。在解决房价模型问题时，我们用了多元线性回规模型和蛛网模型同时对相关变量进行分析和处理，最终找出了影响房价的主要因素为生产成本和供需关系。并对房价的形成、演化机理和房地产投机进行了深入细致的分析。

模型一，我们通过比较西安房价近11年来的变化及城镇居民收入变化情况，找到买房难的根结。

模型二，在房价预测方面，我们选用多元线性回归，蛛网模型同时对相关变量进行分析和处理，最终找出影响房价的主要因素为生产成本和供需关系，求出房价预测的计算表达式。

模型三，我们取定一个时间段内某几个房价新政，结合新政出台时间前后某地房价的变化情况分析了房价新政对房价的调控作用。我们选取房价新政的标准是根据政策内容对相关经济指标有直接作用效果。最终我们发现，新政出台后，虽然房价依然是居高不下，但房价上涨速率得2 到了一定的控制，变化渐缓。

关键字：楼市 预测 蛛网模型 线性回归

一、问题重述

住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。2008年受国际金融危机的影响，部分购房需求受到抑制，2009年在国家税收、土地等调控政策作用下，一度受到抑制的需求得到释放，适度宽松的货币政策使信贷规模加大，为房地产开发和商品房购买提供了比较充裕的资金，房地产市场供求大增，带动了整体回升。但有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，另一方面，部分投机者也通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，也是导致房价居高不下的原因之一。因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。现在就以下几个方面的问题进行讨论：

一：通过调查及分析相关数据，建立一个关于房价增长与居民收入之间关系的一个模型，用Matlab建模，以图的形式直观明了的分析出其相关性，从而找出其解决方案。

二：通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。

三：选择某一地区（如重庆、西安、深圳），调查近些年房价变化情况，并根据所调查的数据，预测下一阶段该地区房价的走势。并且根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用，根据所得到结果，给出你关于购房的一些建议。

二、问题分析

2-1：模型一分析

针对当前房地产市场火爆局面和房价迅猛的增长势头，以及国民买不起房的抱怨声。分析产生这些现象，我们可以从很多方面找到原因，有房价恶性增长，有国民的平均收入增长过慢，有收入分配的不均很，有失业率的逐年增长，有近些年人们的消费观念的转变，有国际社会环境的影响等。我们不可对每一个产生这种现象因素都进行一一分析，但是，对于其主要的或者说具有代表性的因素（房价增长率于和国民的收入的增长率）进行分析，也能够反映一些大的方面规律，以便于更好处理解决这些问题。

因此，我们搜集从2000年到2011年西安市的房价和市民的平均收入数据并进行整合，计算每年的房价和居民收入的增长率，利用matlab软件进行趋势图的模拟，并进行matlab进行一个拟合处理。最终，得出两者之间的关系，提出一些解决这类问题的办法及可行的方案。

1

2-2：模型二分析

本问是要求我们通过分析相关数据，找出影响房价的主要原因，然后根据这些因素建立一个城市房价的数学模型。同时，根据得出的结论深入细致的分析房价形成、演化机理和房地产投机。我们利用了网络等相关资源，查找各主导因素间的变化关系，确立变量，从而建立模型，一便求解。

房地产业强势发展是由社会经济的各项指标共同综合决定的。因此，对相关数据的仔细分析能得出几条对房地产业影响较大的经济指标，为进一步研究做好准备。但是，要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析。所以我们经互联网搜索及查阅相关资料，大致得出以下几条对房价的影响产生主导作用的因素：建安成本，市场供求变化，土地成本、各种税费以及当地居民人均收入等。然而，针对本问，虽然我们从相关网络资料中获取了大量数据，但从实际出发来看这些数据只能作为理论支撑的基础。通过上面得分析，我们把经济学中著名的蛛网模型作为本模型的基本骨架，及理论支撑。蛛网模型：生产具有长周期的动态模型，其特点是本期产量决定本期价格；而本期价格决定下期产量（它具有三种形式：封闭式，即需求曲线和供给曲线斜率一样；收敛式，即需求曲线比供给曲线斜率大；发散式，即需求曲线比供给曲线斜率小），分析房产的供求特点，借鉴这个网络加以分析。 2-3：模型三分析

根据假设，我们要先搜集到房价调控政策出台的时间与该时间段里某地区房价的变化情况。由这个地区在这个时间段里的房价的变化情况来分析房价调控政策在对价格的调控中所起到的作用。因为在前面我们分析知道，房价是由诸多社会经济因素制约着的，虽然政策对房价的调控起到什么作用比较片面。但是，直接研究房产价格与新政策出台的时间关系又是最为直接的。

所以，我们将搜集到的数据与时间建立一个坐标关系，便可以很直观的从波动上看出房价的变化，从而了解到新政策的调控力度，看出调控前后房价的变化力度。 简单的给出购房的一些建议，我们到底是买房呢还是观望，何时再买，或者说购置房产从大趋势上需要关注哪些动态，以科学的分析给购房者购置房产方面给出一些相关的建议。

三、模型假设与符号说明

3-1-1模型一假设

假设一、数据的不完整性是绝对的，允许数据存在一定的误差。 假设二、只考虑房价和收入的增长关系。

2

3-1-2符号说明

0：房价增长率

0：N年的房价与N-1年房价得差值

a0：N年的房价

b0：N-1年的房价

1：居民收入

1：N年的居民收入与N-1年的居民差值 a1：N年的居民平均收入 b2：N-1年的居民收入

3-1-3模型建立

根据搜集的一些房价和居民收入的数据，我们可以简单的建立如下的数学模型： 房价增长率：

0=0100% a0其中0=（a0-b0），相邻年份的的房价的增长额度

居民收入增长率：

1=1100% a1其中0=（a0-b0），相邻年份的居民收入的增长额度

3-1-4模型的求解

下面是我们搜集的西安市2000~2011年城市商品房售价数据资料，如下表：

3

年份 年人均收入 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 西安市城镇居民人均年收入 2904.99 3319.58 4075.62 5443.21 8406 9627 10074 12662 15207 18963 22244

年份 2房价（m） 房价 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2350 3009 2300 2000 2346 2950 3000 3599 4400 4695 6485 6947 首先，利用matlab仿真软件化出西安市城市居民的收入与时间的关系图，如下：

图二（2000~2012）

4

再用matlab绘出2000~2011年城市商品房售价和时间的关系图，如下所示：

图一（2000~2011）

利用公式 =100%，其中=本年的房价-前一年的房价，a为前一年的房价。

a代入数据，其实可以利用excel计算出房价和居民输入的增长率，但这是理论依据， 我们可绘制如下表格：

表格一（房价）

年段 2000- 2001 2001 -2002 2002- 2003 2003- 2004- 2004 2005 2005- 2006 2006- 2007- 2007 2008 2008- 2009 2009- 2010- 2010 2011

5

增长 率 28.04% -30.83%

-13.04%

17.3%

25.75% 1.69% 19.97% 22.26% 6.7% 38.13% 7.12%

表格二（居民收入）

2003- 2004 2005- 2006 2006- 2007 2007- 2008 2008- 2009 2009- 2010 17.3% 年段 增长率 2000- 2001 2001 -2002 2002- 2003 2003- 2004 14.27% 42.90% 7.24%

54.43% 14.53% 4.64% 25.69% 20.10% 24.70%

利用matlab软件画房价增长率与时间段出如下关系，如下图：

图三（2000~2011）

6

居民收入增长率与时间的关系，如下图四：

图四（2000~2010）

通过借助数学软件工具，分别从房价随时间变化趋势图，居民收入的变化趋势图，以及房价的增长率和居民收入的增长率等方面对两者的关系进行了，图形化描述。观察图形我们不难看出两者之间的变化规律。

在数据采样的11年中，我们可以观察到前5年居民的收入有一个相对平缓的增长，在后面的几年中居民的收入增长速度明显加快了，但相对于后面五年楼市的增长曲线的斜率人显得有些小，而楼市则是在前面的5年中出现一定程度的波动，2003年的非典可能是产生这一现象的主要原因。从05年开始房价便开始一个势头迅猛的上涨，在2009年房价出现了一个较大的增幅，可见房市中还存在大量泡沫，随后又减缓增速。

比较两者的增长速率，我们可以看出都有一定的波动性，但楼市是为稳中有涨，节节攀升的趋势，而城镇居民的受如增长率虽然出现一定的波动性，但是波动性较大，并且有些年份增长速率远不及前一年。

7

结论：城镇居民的收入增长的速度跟不上房价的上涨速度，以上的图表也反映了楼市中存在一定的泡沫，需要采取一些相对应的措施进行调控。

3-2-1模型二假设

假设一、房价的计算只考虑生产成本和市场供求

假设二、理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求 假设三、成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收；且每

一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变

假设四、需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与

理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多

假设五、供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预

测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少

假设六、理想房价=(地价+建安造价) ×(1+税费率) 假设七、供需平衡指：供应量=需求量

符号说明：

p0：房价(元/平方米)

pf：理想房价（元/平方米）

pm：第m个周期的房价 （m=1,2,3） pm：第m个周期的预测房价 （m=1,2,3）

pe： 需求曲线和供应曲线的交点处的房价（供需平衡） a： 地价（元/平方米）

b： 建安造价（元/平方米）

1： 税率（%）

2： 容积率（%）

dQm： 第m个周期，居民对房子的需求量 （m=1,2,3） sQm： 第m个周期，地产商的供应量 （m=1,2,3）

3-2-2模型建立

通过分析我们得到一下几个关系，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定了供应量；需求量和供应量又共同决定了

8

房价。首先我们来求理想房价pf ，根据理想房价的求法得出其表达式为：

pf(11)(ab)

进一步化简

pfb(11)a(11)

从以上公式中可以看出，地价与理想房价之间为线性正相关关系，同时地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税率和容积率的不同而不同，我们可以理想化得认为理想房价就是成本费用一种体现形势，根据假设，成本不变，所以理想房价也不变。 供需关系分析：

1、建立一个需求函数。根据假设，需求量会受本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，需求量越多。我们用取极限法来验证假设的合理性，取实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大；反之，比值为0，需求量自然就大。由此说明我们的假设正确。

需求方程如下：

dQmpm pf其中和为正常数，pf为理想价格，需求函数斜率为pf 。

2、建立一个供应函数。同样根据假设，供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，供应量越少。因为房屋的供应量是由地产商所决定的，而地产商是以盈利为目的的，所以地产商们总会前阶段的价格数据来估计下一阶段的价格，再将预测的价格与成本比较，最终确定供应数量。由此可知假设合理。下面我们来给出预测房价的模型。 模型为：

pmpm1(pm1pm2)

可以看出，本期的价格是上一期的实际价格加上一个差值的修正结果，为修正系数。预测价格与成本的比值越大，利润越高，供应量越大。

s那么本期的供应量为： Qmpm1(pm1pm2)

pf其中和是正常数，pf为理想价格，供应函数斜率为近似为

pf 。

3、结合上面所得结论我们便可以建立一个供需平衡方程如下：

dsQmQm

9

即得： pmp(pm1pm2)m1 pfpf3-2-3模型求解

设方程的一个特解为，将其带入方程后得到等式

(1)pf 

得到： pf 求通解过程： pm(1)pm1pm20··········齐次方程 (1)m1m20··········特征方程  m [2(1)]m20 易得0是方程的解。 整理得： 2(1)0 (1)2]4  [则解得1和2： 1(1)2

2(1)2

|2|1时，线性差分方程稳定的条件：方程的特征根均在单位圆内。当 |1|1，则pe为稳定点，p1，p2，p3……趋于pe；否则远离pe。

方程的解的一般形式为： pmk11mk22m

10

其中k1和k2是两个任意常数因情况而定。 把pf，pf(11)(ab) 带入得 pmk11mk22m[(11)(ab)] 于是得到了房价的表达式：

pmk11mk22m[(11)(ab)] 

3-3：模型三建立及求解

近些年我国房产市场，发展非常看好，加之居民对购置房产的热情也是空前高涨，导致了很多地方房源不足，很多地产商便趁此机会哄抬房价，致使商品房价格成倍的增长。为此，国家连续出台了多项商品房房价调控政策，以此来干预地产商对商品房价格的制定。为了方便突显国家房价调控政策对房价调控的能力和起到的作用，特意选取了三个不同时间点出台的调控政策来加以说明。

2008年1月至2011年月4，国家和有关地方出台的房价的主要调控政策。经分析我们需要选取对相关经济指标有直接影响的调控政策，这样能更为直观的看出政策调控作用。与此同时，受2008年经融风暴等相关因素的影响，我国的房贷利率在这一年经过了多次调整，并在2009年开始呈现平稳上升的趋势。随着时间的推移，引发了愈演愈烈的房价风暴，在 2010年初，国家出台了一系列强势的调控政策，来减缓房价过快的上涨速率，方便给于中低收入家庭以更多的购房空间。理据以上分析，通过这三条政策的发布时间与发布前后房价的波动情况来分析，观察国家调控房价政策对各地房价过快上涨的控制作用。

2008年一月份至2011年四月份西安市商品住房平均价格（元）

2008 2009 2010 2011 一月份 4000 4390 5300 6385 二月份 4221 4392 5471 7010 三月份 4340 4395 5582 7200 四月份 4400 4500 6179 8000 五月份 4410 4500 6633 六月份 4398 4510 5506 七月份 4398 4523 6249 八月份 4395 4525 6411 九月份 4397 4620 6500 十月份 4398 4890 6450 十一月份 4380 5000 6750 十二月份 4370 5100 6838 据以统计数据，利用matlab软件画出了“时间—房价”关系曲线：

11

2008年9月16日： “两率”下调政策， 2009年12月17日： 收紧土地受让政策， 2010年1月10日： 二套房贷款管理政策。

四、结果分析

4-1模型一结果分析

在上面的模型建立过程中，我们2000年至2005年，居民收入相对比较稳

定时期，虽然偶尔有些反弹，但整体上是看作是是一个平缓的增长，房价在这一时期发展的速度一般，增长比较缓慢，且在2003年发生一个较大落水。而2006至2010年随着经济迅速发展居民收入也在一定的程度上增长比较快，但是在此期间房价的日益增长已经引起广大市民的关注，房价增长非常迅速，居民的收入已经跟不上房价过快增长，分析房地产近些年红火局面，一个是与人们的消费观念的转变有关，开发商的炒作和国内房地产的大气候也有一定关系，另外，一些房产的投机者也乘机倒房，有的高收入者甚至会有两套或者三套房，是房源持续紧张，这就直接导致了房价的不断提升。

随着经济环境的不断好转和国家的一系列利民惠民政策出台，居民的收入

虽然在近些年也得到较快的提升，但也就这样，城镇居民的收入增长仍没有房价增长的快，在统计使我们发现一套商品房的增长基数远大于居民的年收入，一套100m2的一般商品房，轻者50多万，重者100万。因此，一方面我们要增加城镇

12

居民的收入，增大城镇居民和待就业人群的就业机会，提高企业的用工薪金。另一方面，国家出台一些调控楼市的政策，挤出楼市中过多的泡沫，使得房地产行业有一

个良性的法展模式。

4-2：模型二结果分析

对假设的实际验证，确定了影响房价的主要因素，即是成本与供需关系的变化。 在整个过程在模型的建立和求解中已经简要的用数学表达式描述了一遍，在模型的建立过程，我们发现地价与理想房价之间为线性正相关关系，而地价是成本的一部分，而成本的其它成分大致还有税费，建安造价等，房价的形成主要由这些因素所决定，房地产商对房价的预测也是成本费用的具体的一种体现形势体现。成本越高，直接导致房价升高，反之也成立。当然，房价与成本的变化比例就是一个不确定量了。当成本升高时，房价固然升高，但升高多少，在国家宏观调控的大环境下，是由房地产商决定的，当房产开发商都恶性升高房价时，就有意识的进入了房地产投机时期，不断恶意炒高房价的同时赚取大笔资金再循环到这一过程中，许多投机者由此开始了这一恶性循环，导致房价居高不下，增加居民的购房压力。

而投机就是存在一个价值与价格不等的投资机会。以较低价格购进房产或土地修建房产，屯积待价格上涨或完工后高标价格直接销售，谋取取暴利。

4-3：模型四结果分析

通过对政府在出台相应房价调控政策前后西安商品房的售价数据的整合，并对对具体数据利用matlab软件处理，我们得到了此模型对应的结果图。观察图中所得到曲线图及直方图，不难发现发现，近些年房价的涨势令人咋舌，对比 “两率”下调政策颁布前后的房价变化曲线，我们可以很直观的发现商品房价有明显的波动。2008年爆发的全球金融风暴，对我国楼市的影响十分严重的情况，楼市售价曲线在短时间内急剧下降，但在短暂的下降之后，房价在短期内迅速上扬。这也反映 “两率”下调政策有效调控了房价波动。2009年以后曲线部分，房价又开始发生较快的上涨。于2009年12月，国家又出台收紧土地受让政策，而后又出台了二套房贷款管理政策。观察曲线上变化的斜率，2010年以后曲线上升有减缓的趋势，但不是很明显。

国家对楼市的宏观调控政策，在短期内可以取得一定的成效，在一定程度上放缓了楼市涨价速度，然而价格是由市场决定的，在长期效果和整体趋势上，政府调控不能够改变价格变动的本质和性质。国家宏观调控政策可以调整或减缓房价异常变化，但改变不了房价变化的发展方向。促使我思考更为有利有效的房价调控政策。 根据以上结果，我们主要对购房提出一些建议供购房者参考。

对于购房者而言，考虑主要问题是地域条件和价格。分析不同的购房动机。前面分析我们已经知道，影响房价的主要因素是房产成本和供需关系了，这是只是大的方面。从购房者的角度考虑，像地理位置，环境经济的发展程度，区域发展前景等等。同样，这些因素也是针对不同人群而定的，因此，我们可以分一下几个方面对不同的购房者加一分析。

1.对于买来就为了自已居住并有一定经济能力的人。这一类的购房者，在排除价格因素之后只是环境及周边设施自已觉得满意，任何时候想买都可以出手，房地

13

产价格长期趋势必然是向上的，而且是螺旋上升的过程。再者，根据前面的数据分析看，房价总体趋势看涨，没有回落的迹象。国家虽然出台了一系列的房价调控政策，却对整个楼市的影响不大。

2.对于中低收入的家庭，购买商品房并不是一个明智之举，选择价格较低的保障性住房比较合适一点。从影响房价的因素来考虑，商品房的各项成本指标都会比普通保障性住房的高很多，并且商品房往往会选择地理位置好的地段，使得这类房成本远远高于保障性住房。

购房需要考虑的因素因人而异，主要的价格因素却是必然。也只有在对某处房产价格的相关制约因素分析清楚后，针对自已的购房目，做出明智的选择。当然，这些建议有一定局限性，针对不同个体购房者还需要具体问题具体对待。

14

参考文献：

1. 《MATLAB语言常用算法锦集》出版社:电子工业出版社

作者：王正林 出版日期：2008年6月 2. 《西方经济学（微观部分）》，主编：高鸿业，中国人民大学出版社 3. 《产业经济学导论》，杨治，中国人民大学出版社，1985

4. 《宏观经济数量分析：方法及应用》，刘金山，经济科学出版社，2005

15