2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一。选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（5分）(2015•天津）已知全集U={1,2，3，4，5，6,7，8}，集合A=｛2，3，5,6}，集合B={1，3,4,6,7｝，则集合A∩∁UB=（ ） A． {2，5｝ B． {3,6} C． {2，5，6｝ D． {2，3，5，6，8｝
考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合． 分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可； 解答：解：∵全集U=｛1，2,3，4，5，6，7，8},集合A=｛2，3,5，6},集合B={1，3，4，
6,7｝，
∴∁UB={2，5,8}， 则A∩∁UB={2，5}． 故选:A． 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．(5分）（2015•天津)设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大
值为（ ) A． 3 B． 4 C． 18 D． 40
考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义， 利用数形结合确定z的最大
值． 解答：解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分） ．
由z=x+6y得y=﹣x+z, 平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大， 此时z最大． 由
，解得
，即A（0,3)
将A(0,3)的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
1
故选：C．
点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想
是解决此类问题的基本方法． 3．（5分）（2015•天津）阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ）
A． ﹣10 B． 6 C． 14 D． 18
考点：程序框图． 专题：图表型;算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i＞5，退出
循环，输出S的值为6． 解答：解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1 i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4,S=14 不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6． 故选：B．
点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的
2
关键,属于基础题．
4．(5分）（2015•天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解答：解:由“|x﹣2|＜1\"得1＜x＜3,
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“｜x﹣2｜＜1”是“x2+x﹣2＞0\"的充分不必要条件, 故选：A． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 5．（5分）(2015•天津）如图,在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ )
A．
B． 3
C．
D．
考点: 与圆有关的比例线段． 专题：选作题；推理和证明．
分析: 由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可． 解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM， ∴AM=2， ∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB， ∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A． 点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
6．(5分)（2015•天津）已知双曲线且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
﹣=1 (a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），
x的准线上,则双曲线的方程为( ）
3
A．
﹣
C．
﹣
=1 =1
B．
﹣
D．
﹣
=1 =1
考点：双曲线的标准方程．
专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由抛物线标准方程易得其准线方程， 从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的
双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程． 解答：
解：由题意,=，
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣线上,
∴c=，
∴a2+b2=c2=7， ∴a=2，b=, ∴双曲线的方程为
．
,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
x的准
故选：D． 点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基
础题．
7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f(x)=2xm﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0。53）,b=f（log25）,c=f（2m），则a,b，c的大小关系为（ ） A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． c＜a＜b D． c＜b＜a
考点：函数单调性的性质．
专题: 函数的性质及应用．
｜｜
分析： 据f(x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2x﹣1，这样便知道f（x）在［0，根
+∞）上单调递增，根据f（x)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上:a=f
｜﹣
｜
（|log0。53|)，b=f（log25），c=f（0）,然后再比较自变量的值,根据f（x）在［0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小． 解答：解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2xm|﹣1=2xm|﹣1； ∴｜﹣x﹣m|=｜x﹣m｜； (﹣x﹣m）2=(x﹣m）2； ∴mx=0； ∴m=0;
｜﹣﹣
｜﹣
∴f（x）=2
｜x｜
﹣1;
4
∴f（x)在[0,+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25）,c=f（0)； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C．
点评: 考查偶函数的定义，指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变
量的值变到区间［0,+∞）上,根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用．
8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=
，函数g（x）=b﹣f(2﹣x），
其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x)恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D．
（，+∞） （﹣∞,） （0，） （，2）
考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：创新题型；函数的性质及应用． 分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式,构造函数h（x）=f(x）+f（2﹣x） ，作出函数h
（x）的图象，利用数形结合进行求解即可． 解答：解:∵g(x）=b﹣f（2﹣x),
∴y=f（x）﹣g(x）=f（x）﹣b+f（2﹣x)，
由f(x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x)=b, 设h(x)=f（x）+f(2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x)+f（2﹣x）=2+x+x2, 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣｜2﹣x｜=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣｜2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x)=,
作出函数h(x)的图象如图：
当x≤0时，h(x）=2+x+x2=（x+）2+≥， 当x＞2时，h（x)=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥， 故当b=时,h（x）=b,有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g(x）恰有4个零点, 即h（x）=b恰有4个根，
5
则满足＜b＜2, 故选：D．
点评：本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式， 利用数形结合是解决
本题的关键．
二.填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，若复数(1﹣2i）(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 ﹣2 ．
考点: 复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数． 分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值． 解答：解：由（1﹣2i） （a+i)=(a+2）+(1﹣2a)i为纯虚数,
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2． 点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题． 10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示(单位：m），则该几何体的体积为
m3．
6
考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题;空间位置关系与距离． 分析：根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体， 结合图中数据求出它
的体积．
解答: 解：根据几何体的三视图，得;
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2,圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为
V几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π．
故答案为：π．
点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．(5分）(2015•天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为
．
考点: 定积分在求面积中的应用． 专题: 计算题；导数的概念及应用．
分析: 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定
积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1,积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2）dx 而∫01（x﹣x2）dx=（∴曲边梯形的面积是． 故答案为：．
）|01=﹣=
点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力， 以及考查了数形结合的思想,同时会利用定
积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数．
7
12．（5分）（2015•天津）在(x﹣
）6的展开式中,x2的系数为
．
考点：二项式定理的应用． 专题：计算题；二项式定理． 分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数． 解答： ﹣﹣
解：（x﹣)6的展开式的通项公式为Tr+1=•（x）6r•(﹣)r=（﹣）r••x62r,
令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为故答案为:
．
×
=
，
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，
属于中档题．
13．(5分）（2015•天津）在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a,b，c．已知△ABC的面积为3
，b﹣c=2,cosA=﹣，则a的值为 8 ．
考点：余弦定理． 专题：解三角形． 分析：
由cosA=﹣,A∈（0，π）,可得sinA=
．利用S△ABC==，
化为bc=24,又b﹣c=2，解得b,c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出． 解答：
解：∵A∈（0,π)，∴sinA==．
∵S△ABC=
=
bc=
，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×
=64．
解得a=8． 故答案为：8． 点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题． 14．（5分）(2015•天津）在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且
考平面向量数量积的运算． 点：
专创新题型；平面向量及应用．
8
=λ，=，则•的最小值为 ．
题：
分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的析：形式求最值． 解
解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）答：
•（=1×cos120° =1+
+
﹣． ≥
+=
（当且仅当
时等号成立）；
）
=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+
×2×1+×1×
故答案为：
点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
三。解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分)(2015•天津）已知函数f(x）=sin2x﹣sin2(x﹣（Ⅰ）求f(x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间［﹣
，
]内的最大值和最小值．
），x∈R．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题: 三角函数的求值． 分析:
（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x)=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣
,
]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
）
解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣
=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+=（﹣cos2x+=sin（2x﹣
）
=π；
∈［﹣
，
sin2x)
）］
sin2x）
∴f(x）的最小正周期T=(Ⅱ）∵x∈[﹣
,
］，∴2x﹣］，
9
∴sin（2x﹣)∈[﹣1,
，
]，∴sin（2x﹣）∈[﹣,］, ,﹣
∴f（x)在区间［﹣]内的最大值和最小值分别为
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题． 16．（13分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名,其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：(Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率
计算公式得答案；
(Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望． 解答:
解：(Ⅰ）由已知，有P（A）=，
∴事件A发生的概率为
；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4． P（X=k）=
(k=1,2,3，4）．
∴随机变量X的分布列为: X 1 2 3 4 P
随机变量X的数学期望E（X）=
．
点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数
学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．
17．（13分)（2015•天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长．
10
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角． 专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析: （Ⅰ）以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平
面ABCD的一个法向量与
的数量积为0，即得结论；
(Ⅱ)通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； （Ⅲ）通过设计算即可．
解答: (Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴
建系，
则A(0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0）， A1（0，0，2）,B1（0,1,2），C1(2，0，2），D1(1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M(1,，1），N（1，﹣2，1）． 由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∵
•
=0，MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面ABCD；
=（1，﹣2，2），
=(2，0，0），
=（0，1，2），
=（0，﹣，0)，
=λ
,利用平面ABCD的一个法向量与
的夹角的余弦值为，
（Ⅱ）解：由（I）可知：
设=(x，y，z）是平面ACD1的法向量， 由
，得
，
取z=1,得=（0,1，1)，
设=(x，y,z)是平面ACB1的法向量, 由
，得
，
11
取z=1，得=（0,﹣2，1）, ∵cos＜，＞=
=﹣
，∴sin＜，＞=
=
,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为（Ⅲ）解:由题意可设∴E=(0,λ,2），又∵
=λ
;
，其中λ∈［0，1］，
=（﹣1，λ+2,1)，
=（0,0，1)是平面ABCD的一个法向量,
，＞=
=
﹣2或﹣2﹣
（舍），
=，
∴cos＜
整理,得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=∴线段A1E的长为﹣2．
点评: 本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用
空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 18．（13分）（2015•天津）已知数列｛an｝满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4,a4+a5成等差数列（1)求q的值和｛an｝的通项公式； （2）设bn=
，n∈N*，求数列｛bn｝的前n项和．
考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，
计算即可;
12
（2）通过(1)知bn=
，n∈N*，写出数列{bn｝的前n项和Tn、2Tn的表达式，利
用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
解答: 解：(1)∵an+2=qan(q为实数，且q≠1）,n∈N*，a1=1,a2=2,
∴a3=q，a5=q2，a4=2q，
又∵a2+a3,a3+a4，a4+a5成等差数列， ∴2×3q=2+3q+q2， 即q2﹣3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍)，
∴an=
；
（2)由(1)知bn===，n∈N,
＊
记数列{bn｝的前n项和为Tn， 则Tn=1+2•+3•∴2Tn=2+2+3•+4•
+4•+5•
+
+…+（n﹣1）•+…+（n﹣1)•+…+
﹣n•
+n•+n•
， ，
两式相减，得Tn=3++
=3+﹣n•
=3+1﹣=4﹣
﹣n•．
点评：本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本题
的关键，注意解题方法的积累,属于中档题．
19．（14分)（2015•天津）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0)的左焦点为F(﹣c，0)，离心率为
,
点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=
截得的线段的长为c,｜FM｜=．
（Ⅰ)求直线FM的斜率; (Ⅱ）求椭圆的方程;
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点)的斜率的取值范围．
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
13
专题：创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析:
（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2,设直线FM的方程为y=k(x+c），
利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论； （Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程,可得M（c，
c），利用|FM｜=
计算即
可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为(x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可结论．
解答：
解:（Ⅰ）∵离心率为
，∴==，
∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2， 设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c）， ∵直线FM被圆x2+y2=
截得的线段的长为c，
，
∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=
∴d2+
=，即（
）2+
=，
解得k=，即直线FM的斜率为；
（Ⅱ)由(I)得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=(x+c），
联立两个方程，消去y,整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c， ∵点M在第一象限，∴M（c,∵|FM｜=
，∴
c），
=
，
解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2， 即椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅲ)设动点P的坐标为（x,y），直线FP的斜率为t, ∵F（﹣1,0）,∴t=
，即y=t(x+1)(x≠﹣1），
14
联立方程组
，消去y并整理，得2x2+3t2(x+1）2=6，
又∵直线FP的斜率大于∴
＞
,
，解得﹣＜x＜﹣1,或﹣1＜x＜0，
设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x≠0）,
联立方程组
，消去y并整理，得m2=
﹣．
①当x∈(﹣，﹣1）时,有y=t（x+1）＜0,因此m＞0, ∴m=
，∴m∈(
，
）；
②当x∈（﹣1,0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0， ∴m=﹣
，∴m∈（﹣∞，﹣
）；
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：(﹣∞，﹣)∪（,)．
点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、
一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．
20．(14分）（2015•天津）已知函数f（x)=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•,且n≥2． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x,都有f（x）≤g（x）； （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数)有两个正实数根x1，x2,求证：｜x2﹣x1|＜
+2．
考点：利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：压轴题；创新题型;导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析： (Ⅰ)由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数
的单调性．
(Ⅱ）设点P的坐标为(x0，0），则可求x0=n
，f′(x0）=n﹣n2，可求g(x）=f′（x0）
﹣
(x﹣x0）,F′（x）=f′（x)﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn1+n在(0，+∞）上单调递减,可求F(x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0,+∞）上单调递减，即可得证．
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（Ⅲ)设x1≤x2，设方程g(x）=a的根为，由(Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）
，可得
﹣
在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h(x）=a的根为
＜x1,从而可得：x2﹣x1＜
﹣
=
,由n≥2,即2n1=（1+1)n
﹣
1
≥1+=1+n﹣1=n,推得：2=x0，即可得证．
解答: （本题满分为14分）
解：（Ⅰ)由f(x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn1=n（1﹣xn1），其中n∈N•，且n≥2． 下面分两种情况讨论：
（1）当n为奇数时，令f′(x）=0,解得x=1,或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f(x）的变化情况如下表： x （﹣∞，﹣1） （﹣1，1） （1，+∞） f′（x） ﹣ + ﹣ f(x）
﹣
﹣
所以，f（x）在 (﹣∞，﹣1),（1，+∞）上单调递减,在(﹣1,1）单调递增． (2）当n为偶数时,
当 f′(x）＞0,即x＜1时,函数 f（x）单调递增； 当 f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x)单调递减;
所以,f（x）在（﹣∞，1）单调递增,在（1，+∞）上单调递减； (Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n
,f′（x0）=n﹣n2，
曲线y=f（x)在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0）， 令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f(x）﹣f′(x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0)．
﹣
由于f′（x）=﹣nxn1+n在（0，+∞)上单调递减，故F′(x）在(0，+∞）上单调递减， 又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0)时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时,F′（x）＜0,
所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在(x0，+∞）上单调递减， 所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0， 即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）． （Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2， 由（Ⅱ）知g(x）=(n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f(x2）=a=g(）,可得x2≤． 类似地，设曲线y=f(x）在原点处的切线方程为y=h（x)，可得h（x）=nx，当x∈（0,+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x）， 设方程h（x）=a的根为,可得=,因为h(x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增， 且h（）=a=f（x1）＜h（x1)，因此＜x1， 由此可得：x2﹣x1＜﹣=，
﹣﹣
因为n≥2,所以2n1=（1+1)n1≥1+=1+n﹣1=n， 故：2=x0．
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所以：|x2﹣x1|＜+2． 点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等
式等基础知识和方法,考查分类讨论思想、函数思想和化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力．
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