数学建模论文住房投资分析

摘 要

房地产业发展涉及到国计民生的众多行业，其受各种因素的多元化影响，对于房产业发展相关问题的有效研究可以对国民经济的健康可持续发展产生积极的影响。

虽然国家多次进行宏观调控，多次调整利率、存款准备金率等，试图对房地产市场进行调控，但自1998年实行房改以来，我国大部分城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使得新进入城市或需要购房者的生存成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难，其它消费也无法提升；另一方面，部分投资或投机者通过各种融资渠道买入房屋进行出租或空置，期望因房价上涨而获得超高回报，导致房价居高不下。因此，如何分析影响房地产市场的因素，从而进行有效的抑制房地产价格的过快上涨，同时能够抑制房地产市场的投机行为，是一个需要进行全面而深入研究的问题，也是普罗大众非常关心的社会问题。国家为此出台了多种政策或宏观调控措施。 关键字：SPSS GM 投资风险 出租 贷款 组合投资 （1，1）问题重述

在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。请根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。

问题分析

在当前的房地产红火以及政府宏观调控的大形势下，房屋价格很难有相当明显的下跌。研究房价未来的发展趋势，是住房投资的前提。购房后对于房屋的租赁问题，有必须研究出一套利润最大化方案，确定房租价格。考虑到市场的潜在风险，需要研究出一套基于租—售的最佳时机的模型，也就是在一定时期内可以“以租养贷”，在另一时期内即有特殊情况出现时，可以将其售出，以达到尽可能规避风险和实现利润最优化。

对于低收入家庭而言，如何负担第一套住房都存在一定困难，基本上可以不考虑其投资第二套住房的情况。而对于高收入家庭而言，其拥有的资产数额庞大，投资领域多样，对于风险的承受力很大，研究价值不是很明显。因此，焦点应集中于占相当比例的中等收入家庭，其资金有限，抗风险能力差，使得建立一套模型来寻求利润的最大化以及风险的最小化就显得尤为必要。同时，其购置房产往往需要借贷，而其家庭收入决定了贷款额度以及年限，更进一步决定了其买入房屋的质量、居住面积。所以，研究贷款的决策，是很必要的。

在当前的房地产红火以及政府宏观调控的大形势下，房屋价格很难有相当明显的下跌，由于房屋价格等相关因素有着十分明显的地域性差异，为了使讨论更为形象和直观，本文主要以重庆市为例进行展开分析。基本可以在国内二线城市进行推广应用。

模型假设

（1）假设在一段时间内，房地产业在相关政策、市场供求等方面不会出现幅度十分巨大的变化。

（2）假设在一段时间内，模型中所购房屋的物业费、贷款利率不会产生很大的波动。 （3）假设在一段时期内，通货膨胀率对住房投资不产生影响

符号说明

符号 说明 单位 A T C 每月还贷数额 贷款年限 购房资金 贷款利率 平均年租金盈利 平均年缴纳物业费 房屋折旧率 元/年 年 元 元/年 元/年 房屋同比价格变化指数 截止第t年盈利的累计值 交纳住房贷款利息 投资所购房屋的面积 房屋价格 x 房屋租金 元 元 元/平米 元/平米 P（x） 出租率 模型的建立与求解

模型一：商品房销售价格与全市生产总值关系模型

我们选取了房地产开发投资，商品房销售价格与全市生产总值有着密切关系的指标进行研究。我们采用多元线性回归模型利用SPSS统计软件分别对两个指标与全市生产总值进行线性回归，得到线性回归方程和相关系数。 即

y1=0.5819*x1+0.4181*x2-0.07 R^2=0.843 模型二：基于 GM

（1，1）对房价的预测模型

GM（1，1）模型是灰色系统理论的一种预测模型，它以不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，从而预测事物未来的发展状况。该模型是一种时间序列预测模型，它能根据少量信息建模和预测，因而得到广泛的应用。

灰色系统理论预测方法主要是GM模型的建立和求解。GM模型一般对应一个微分方程，微分方程的求解形成一个预测模型的函数方程。

GM（1，1）建模过程和机理如下：

（0）（0）（0）① 设原始数据序列＝(X（1），X（2），…，X（n）)

（0）其中，X（k）≥0，k＝1，2，…，n

（0）（1）② 对X做一次累加，生成数列X:

（1）（1）（1）（1）=(X（1），X（2），…，X（n）) Xk其中，X（1）（k）＝x(0)(i)，1，2…，n

i1③ 构造数据系列B和数据向量Y：

x(0)(2)(0)x(3)B＝ ，Y＝

(0)x(n)④ 确定参数a和b。采用最小二乘法对待定系数求解则有：

a＝a,bTBBT1BTY

dx(1)⑤ 白化方程+ax(1)＝b的解为：

dtx(1)(t)＝（x(1)(1)－

ab）eat+ ba⑥ GM（1，1）模型x(0)(k)az(1)(k)b的时间相应列为： ⑦ 还原值为：

⑧ 模型精度检验： 1）计算均方差比C：

s2C＝

s1 其中

S11(0)(x(k)x)2nk1n

2）计算小误差概率p：

r。n对于建立的模型是否优良，一般要进行均方差检验和小概率误差检验。一般地，相对误差越小越好（因为C值小，说明残差方差小，样本方差大）。而小误差概率p越大越好（因为越大，说明残差与残差平均值之差平均值之差小于给定值0.6745S1的点越多）。对于已建立的GM（1，1）模型是否有效，一般参考精度检验表1.

表1 灰色系统预测精度检验等级参照表 精度等级 均方差比值 小误差概率 一级 0.35 0.95 二级 0.50 0.80 三级 0.65 0.70 1(1)(1)(x(1)x(2))1四级 0.80 0.60 22 计算过程 以2000－2010年商品价格作为依据（有重庆市统计信息网提供），对重庆市商品放价格1(x(1)(2)x(1)(3))121统计满足式子|(k)|0.6745S（其中k=1,2,…n）的e（k）的个数,若此数为r，则p1进行预测。

① 建立2000－2010年重庆市商品房均价序列值：

X(0)＝（1740，1831，2162，2283，2738，2539，2691，3157，3906，4126，5548） ② 对X(0)做一次累加，生成数列X(1)：

X(1)＝（1740，3571，5733，8016，10754，13293，15894，19051，22957，27083,32631）③ 构造数据系列B和数据向量Y：

2655.546526874.5938512023.5B14593.517472.52100425020298571183121621228311273825391，Y= 1269131571139064126115548④ 确定参数a和b：

⑤ 确定模型

dx(1)0.1232x(1)1801.9 dt其时间相应序列为：

⑥ 模型精度检验： 1）计算均方差比C：

Cs20.21940.35，精度为一级。 s12） 计算小概率误差：

所以，p=1>0.95,精度为一级。参照灰色系统预测精度检验等级（表1），灰色预测模型综合精度等级为一级，模型预测结果有效。因此，模型：

x(k1)7644.778e0.1232k6928.7778，可用于预测重庆市商品房价格。

^(1)根据上述预测模型，计算得到2011－2015年重庆市商品房价格的预测值表（表2）。 年份 2011 2012 2013 2014 2015 商品房价格6770 8480 10600 13200 16400 （元/平方米） 3）根据数据，用MATLAB进行拟合，图形如下所示，对比计算出来的数据，基本吻合。 3 预测结果分析

从预测的结果可以看出，今后五年重庆市商品房价格将呈现上涨趋势。

推动重庆市商品房价格持续上涨的原因主要包括需求和供给两个方面。从供给的角度看，在供应和需求一定的情况下，成本的上涨将推动房地产价格的上涨。房地产开发成本主要由地

价和建筑材料价格组成，土地资源的不可再生性，决定了土地价格的总体上行趋势。受钢材、水泥等主要建筑材料价格和人工成本上涨的影响，建筑安装工程的价格也逐年上涨，直接推高了商品房价格。因此，不断提高的房地产开发成本将成为客观事实。

从需求的角度看，随着城镇化水平的提高、城镇人口和城镇投资的增加、城镇居民可支配收入和流动性指标的高速增长，需求量将会持续增长。

4 决策：

通过对以上模型的分析，投资者如果想在重庆投资住房，那就得尽快买。重庆的房价存在较大的上升空间。

投资收益的利润函数：

假设投资所购住房面积为S，第t年该房价格xt元/m2，需缴纳住房贷款利息yt,S，每年盈利为z0t,S，累计盈利为zt,S，房屋同比价格变化指数为t，折旧率为，每年租金盈利为a元/m2，物业费为b元/m2，则有如下关系：

该房实际价格：xttxt1xt1

年盈利满足：z0t,Szt,Szt1,Sxtxt1abSyt,S

所以，此次投资的最终利润为：

模型三：租金收益模型

由需求价格弹性可知，商品价格下跌，往往导致需求量增加；相反价格上涨，则会抑制需求量甚至导致其下降。因此租金的定位，将直接关系到其成功租出的可能性（即租出率），而与出租率相对应的，是住房的空置率。

房屋租出率随价格变化表 每平米价位/14 18 22 26 30 元 出租率 100% 92% 75% 32% 0 据重庆房产网数据统计 以重庆市为例，中等质量住宅的平均出租价格x区间为18~26元/m2，不妨假设出租价格x14元/m2时，租出率为1；出租价格x30元/m2时，租出率为0。由此可设出租率随出租价格变化曲线近似可视为抛物线（如下图）。

出租率随出租价格变化图

则有此变化函数为：y0.00026x30.02x20.44x1.9 其中x表示出租价格，px为对应的出租率。 则每月出租收益期望额为：y期望xf(x)

由此得其每月出租收益期望额分布图如下：

每月出租收益期望额随价格变化图

结合x的取值区间x[14,30]以及图像发现，当x20元/m2时，计算得收益期望有最大

值19.75元/m2，因此该房每年的最大出租收益期望值为a19.75元/m212237元/m2。

模型四：购房贷款决策

假设现有购房资金C万元。其选择等本金还贷方式，年限为25年，根据2011年4月6日起执行的贷款利率政策,贷款利率为6.8%，考虑到国务院新政策出台不久，忽略其影响.则有关系式：

总利润=升值利润+租金利润-折旧损失-物业费-还贷利息

方案一：不贷款买房（贷款金额为零）。

在此情况下，其可购得房屋面积S1为： 其中x(0)指其购房时房屋每平米的价格。

应用利润关系式，其第一年的收益为：

方案二：贷款金额为买房总价的40%（最大贷款额）。 在此情况下，可以购得的住宅面积S2为：

5C3S2， x(0)同样应用利润关系式，其第一年的收益为：

结合重庆市现有数据，可以赋值：C600000， 1.9%(折旧率的计算公式为：

=1残值100%，而残值规定为0.05，砖混结构住宅寿命理论为50年)，根据近期重庆

使用寿命市统计信息网资料,内五区商品房销售均价为6165,所以取x(0)6165，

a2012240,b1.21214.4,(1)1.0575

将数据分别代入z1(1)以及z2(1)中，计算得： 显然， z2(1)z1(2)

而在接下来的几年中，本金还贷方案的还贷利息会逐年减少，利润更丰，因此，在现有的政策背景、房地产业界大环境和大趋势下，选择更高的贷款额，购买更大面积的住宅，往往能够获得更高、更可观的收益。 购房面积的确定

根据3.1中得出的结论，要尽可能多的获得收益，就需买较大面积的住宅，因此，做出决策：在能力允许的范围内尽可能投资较大面积的房。

C0.5x0故有：S1r13601x01rCC36010.5x0x0360 1rCC36010.5x0x0360模型五：风险模糊评价模型

本模型力图采用多层次模糊评判模型对个人房产投资风险给予一个定性与定量相结合的

分析。

一、个人房产投资风险的定性分析

一般来讲，个人的房产投资行为而临着如下的投资风险：

1.1金融风险：房贷利率变化风险、通货膨胀、买方的支付风险。 1.2房产自身风险：房产所处的位置、环境，物业管理水平。 1.3政府行为风险：政府的政策风险。

1.4市场风险：开发商的资金风险、投机行为、流动性风险、对未来的预期。

二、个人房地产投资风险模糊综合评判数学模型

2.1建立评判对象的因素集

U= (u1 ,u2 ,u3 ,u4 )

U为各评判因素组成的集合，即U=(金融风险，政府风险，市场风险，房产自身风险)。每个一级指标下设若干指标，见表1 表1 风险因素综合评价体系 风险因素子准层因素Uij 强 较强 一般 较弱 弱 Ui 金融风险房贷利率变化风险U11 0.05 0.2 0.25 0.45 0.05 U1 通货膨胀风险U12 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 买方支付风险U13 0 0.35 0.6 0 0.05 政府风险政府对土地的规划风险U21 0.3 0.55 0.1 0.05 0 U2 政府对开发商的监管U22 0.1 0.6 0.1 0.15 0.05 政府政策风险U22 0.25 0.55 0.1 0.1 0 市场风险开发商的信用风险U31 0.35 0.35 0.2 0.1 0 U3 对市场未来的预期U32 0.15 0.45 0.4 0 0 市场投资行为风险U33 0.15 0.45 0.3 0.1 0 流动性风险U34 0 0.2 0.6 0.15 0.05 房产自身房产所处的位置、环境U41 0.25 0.25 0.3 0.15 0.05 风险U4 物业管理U42 0.15 0.3 0.4 0.15 0 房产结构U43 0.2 0.3 0.45 0.05 0 房产产权U44 0.25 0.15 0.4 0.15 0.05 2. 2建立评判集 本论文对个人房产投资的评判集表达为： V=(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 )

V=(强、较强、一般、较弱、弱)

表明个人对一项房产的投资风险越弱越好。本模型就目前的一项房地产开发项目进行了打分，评分结果如表1。 2.3确定模糊关系矩阵

对于每一个被评判的风险,评价要素和评价之间的关系,即从U到V的模糊关系[1],可用模糊评判矩阵加以描述,用R表示.

其中,i为一级指标数目,即Ui (i=1 ,2 ,3 ,4 );n为底i个一级指标下的二级指标数目,m为评语集中的评语数目.

本文用如下算法: Ai = Wi·R

得到模糊评价矩阵Ai (i=1 ,2 ,3 ,4 ),由Ai可以得到在A层的模糊评价

A1A矩阵R2

A3A42.4 计算评价对象——个人房地产投资风险的模型评价矩阵A=WR

则, A = (0.21 ,0.46 ,0.22 ,0.09 ,0.02),计算结果表明,有22%的人认为该项目的风险 “强”,46%的人认为风险“较强”,22%的人认为“一般”,只有9%和2%的人认为风险“较弱”和“弱”,由此可以看出,该项目的投资风险还是较大的. 3结论

(1)房地产市场可以说是一个存在着大量不对称信息的市场,个人房地产投资者大多凭主观的经验、判断来进行投资,往往缺乏客观的综合评价指标,模糊综合评价方法适用性强,应用范围较广,特别适用于主观指标的综合评价,评价效果优于其他方法.减少了个人房产投资中的盲目性.

(2) 在计算模糊矩阵中的时候用的是“加权平均型”的综合评判方法.该方法考虑了各决定因素对风险的影响,而不是只考虑影响最大的因素,这显示了投资者的理性及投资决策的周全性.

模型优缺点

优 点：

（1）住房投资是一个极其复杂的问题，其受多种因素的影响和制约。本模型将这些因素一一析解，使复杂的房地产投资过程高度明了化，便于结合不同地区特点做出调整，进行推广。 （2）针对不同家庭，本文对可能预选的各种方案均做出了详细分析，通过深入的比较，最终得出可供选择的最优方案，使得家庭住房投资方案选择具有较高的完备性。 （3）模型结论通俗易懂，便于普通家庭参考，辅助决策。

（4）有些模型的构建在现实生活中有广泛的应用性和可推广性，能够为不同的决策者提供决策参考。 不 足：

（1）模型考虑的因素较多，导致过程比较复杂，所列方程、公式较多，计算量大。

（2）模型无法对重大政策调整进行预见，故在较长期投资决策方面，会出现准确度下降的问题。

模型改进：

在建模预测的过程中，我们发现保有量的预测与人口的预测有相似之处，然而我们知道随着政府政策,家庭收入,投资倾向等因数对房地产的发展有着至关重要的作用,所以在本数学模型的建立过程中，我们一直是假设发地产市场是健康的向前发展的。

换言之，从结果中我们可以看出我们模型在对一定情况下的预测是准确的,但是，由于

上述原因，就不一定能准确地预测长期的房地产发展问题.进而有利于现有政策的调控了。 所以我们可以把这种冲突看成在一定时期内，该地区的增长趋势是一定的。便可以借用 Logistic模型[4]。为了能得到比较准的影响房地产发展的因素,特别是使长期的预报符合实际情况,我们就必须对上述模型做进一步的改善,上面的基础上引入常数Xn

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[12]罗万成 《大学生数学建模案例精选》2007第二版 [132011-5-1. 金融机构人民币存款基准利率表——存款利率(2011年4月6日起执行) 种 类 一、城乡居民及单位存款 (一) 活期 (二) 定期 1.整存整取 三个月 半年 一年 二年 三年 五年 2.零存整取、整存零取、存本取息 一年 三年 五年 3.定活两便 二、协定存款 2.85 3.05 3.25 按一年以内定期整存整取同档次利率打6折 1.31 年利率(%) 0.50 2.85 3.05 3.25 4.15 4.75 5.25 三、通知存款 一天 七天 0.95 1.49 金融机构人民币存款基准利率表——贷款利率(2011年4月6日起执行) 种 类 一、短期贷款 六个月(含) 一年(含) 二、中长期贷款 一至三年(含) 三至五年(含) 五年以上 三、贴现 四、个人住房公积金贷款 五年以下（含五年） 五年以上

年利率(%) 5.85 6.31 6.40 6.65 6.80 以再贴现利率为下限加点确定 4.20 4.70