天津市部分区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含答案

天津市部分区2020～2021学年度第二学期期末练习

高一数学

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量a(2,4),b(1,1)，则2ab（ ）

A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9)

2．已知i为虚数单位，则复数zi(1i)在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A． B．

4 C．2 D．4 34．下列说法中正确的是（ ）

A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱柱的各条棱都相等

C．所有几何体的表面都能展成平面图形 D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

5．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球和3个黄球． 若从中无放回的先后取两个球，则取到2个红球的概率为（ ） A．

1173 B． C． D． 1021056．在ABC中，已知BC1,AC2,C60则AB等于（ ） A．4 B．3 C．3 D．2

7．某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78．由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（ ） A．无法判断 B．甲车床 C．乙车床 D．丙车床

8．若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A．

43 B． C． D．3

2369．设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A．若//,m,n，则m//n B．若m,n,//，则m//n

1

C．若m//n,n,//，则m// D．若mn,m,n，则 10．已知向量a,b满足|a|1,|b|2，且a与b的夹角为120，则|a3b|（ ） A．11 B．37 C．210 D．43 第Ⅱ卷（共80分）

二、填空题∶本大题共5小题，每小题4分，共20分，试题中包含两个空的，每个空2分．

11．已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．

12．已知向量a,b是两个不共线的向量，且ma2b与a(1m)b共线，则实数m的值为______． 13．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n的样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则n______． 14．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，且PAAD则异面直线PB与CD所成角的大小为______；二面角PCDA的大小为______．

3,AB1,

15．在ABC中，已知D是BC延长线上一点，满足BC3CD，若E为线段AD的中点，且

AEmAB2AC，则实数m_______ 3三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已如i为虚数单位，复数Zm(m1)m2m3i． （Ⅰ）当实数m取何值时，Z是纯虚数； （Ⅰ）若m2，求

2Z的值． 1i17．（本小题满分12分）

某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下∶

[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]

得到的频率分布直方图，如图所示．

2

（Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅰ）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数． 18．（本小题满分12分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a7,c8

（Ⅰ）若sinC4，求角A的大小； 7（Ⅰ）若b5，求ABC的面积．

19．某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A,B,C三个行政区中分别有18,27,9个社区． （Ⅰ）求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数； （Ⅰ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查． （i）试列出所有可能的抽取结果；

（ii）设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．

20．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2,BAD60．

（Ⅰ）求证：AB//平面PCD； （Ⅰ）求证：直线BD平面PAC；

（Ш）求直线PB与平面PAD所成角的正切值．

天津市部分区2020~2021学年度第二学期期末考试

3

高一数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．0.9 12．1或2 13．14 14．60 45 15．1 6三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分） 解（I）若复数是纯虚数，则m(m1)0 2分 2m2m30解得m0 或 m1 4分

m3 且 m1所以m0 6分

（Ⅱ）当m2时，z25i 7分 则

z25i73i 10分 1i1i22z7358 12分 i1i22217．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 1分 所以(0.01020.025a0.0150.005)101， 4分 解得a0.035． 6分

（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于120分的频率为

10(0.0350.0150.005)0.55 9分

由于该校高一年级共有学生800名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于120分的人数为8000.55440 12分 18．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由已知条件可知，a7,c8,sinC4， 7根据正弦定理可得

ac， 1分 sinAsinC 4

得sinAasinC741 3分 c872ac,AC

A0,， 4分

2A． 5分 6（Ⅱ）由余弦定理得，b2a2c22accosB， 6分

cosB11， 8分 1453 9分 1453 10分 14sinB1cos2B因为0B，所以sinB所以SABC1153acsinB78103 12分 221419．（本小题满分12分）

解（I）社区总数为2718954， 1分 样本容量与总体中的个体数比为

61 2分 549所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1 4分

（Ⅱ）（i）设A1,A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1,B2,B3为在B行政区中抽得的3个社区，C1为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1,B1,B2B1,B3,B1,C1,B2,B3,B2,C1,B3,C1共有15种． 8分

，

（ii）设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件M，则事件M所包含的所有可能的结果有：

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1，共有9种． 10分

以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为P(M)93 12分 155 5

20．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD， 1分 因为AB平面PCD,CD平面PCD 3分 所以AB//平面PCD 4分

（2）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD 5分 又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD， 所以PABD， 6分

又因为PAACA，所以BD平面PAC． 8分

（3）过B作BEAD，连结PE，

因为PA平面ABCD,BE平面ABCD，所以PABE． 又因为BEAD,PAADA，所以BE平面PAD． 9分 所以BPE是直线PB与平面PAD所成角 10分 在RtBEP中，BAD60,BE3,PEPA2AE25，

所以tanBPEBE315PE55． 所以BPE是直线BP与平面PAD所成角的正切值155． 12分

6