数学（理）试题
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.设全集A. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别对集合【详解】因此
化简，然后求出
，故本题选A。
。
，
，
，
B.
，
C.
，则
( ) D.
【点睛】本题考查了集合的交集运算。斛决本题的关键是对集合元素的认识，它是求函数在给定区间上的值域。 2.直线A. 【答案】A 【解析】 【分析】
把切点的坐标代入直线解析式中，直接求出的值。 【详解】因为直线所以直线
经过点
与曲线
，
相切于点
，
与曲线
B.
相切于点
，则的值等于( ) C.
D.
，故本题选A。
【点睛】本题考查了已知点的坐标求直线斜率。
3.已知 ，，
，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 利用公式
，进行计算。
【详解】因为
，所以本题选C。
【点睛】本题考查了求向量的模。一股的方法是遇模则平方，然后开算术平方根。
4.对任意非零实数已知
，若
的运算原理如右图所示，那么
( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】 先计算
的值，然后与
进行比较，按程序框图进行运行，输出结果。
【详解】 ， ，
本题选C。
【点睛】本题考查了程序框图。
5.已知命题A. 【答案】D 【解析】 命题是假命题
是真命题对任意
恒成立
，故选D.
B.
．若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
C.
D.
点睛:判断一个语句是否为命题,要看它是否具备是陈述句和可以判断真假这两个条件,只有这两个条件都具备的语句才是命题;判断一个命题的真假,首先要分清命题的条件和结论,对涉及数学概念的命题真假的判断,要以数学定义,定理为依据,从概念的本身入手进行判断.本题的解题关键为正确理解逻辑联结词的含义,不但要看命题中是否含有逻辑联结词,而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义. 6.设
，
则“
”是“B. 必要不充分
”的( )条件 C. 充要
D. 既不充分也不必要
A. 充分不必要 【答案】B 【解析】 【分析】
由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为： 设
，
则“
”是“
” ( )条件，这样可以先判断这个命题题设与结
论成立的条件，然后进行判断。
【详解】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为： 设题设：
，
则“
”是“
” 的( )条件，
（
，
，
结论： （，，
显然由题设不一定能推出结论，但是从结论一定能推出题设，故本题选B。
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断。通过原命题与逆否命题是等价问题，使不等式的问题变得简单。 7.若平面A.
平面，直线
B.
，直线
且
，且
，则( ) C.
D.
和
中至少有
一个成立 【答案】D 【解析】 【分析】
通过四个选项可以知道，本题就是在若平面和 论。
【详解】（1）若垂直两个平面的交线，那么（2）若垂直两个平面的交线，那么（3）若
的关系不确定； 平面，直线
，直线
，且
，这个条件下，
这二个结论是同时成立，还是至少有一个成立，还是只有一个成立的问题，统一分类讨论，得出结
的关系不确定；
都不垂直于两个平面的交线，
都不垂直于两个平面的交线相矛盾，故假设
过上不在交线上一点，做交线的垂线，则
垂直两平面的交线，这与
不成立，因此所以，
和
至少有一个垂直两平面的交线，
至少有一个成立，故本题选D。
【点睛】本题考查了反证法的应用。本题综合考查了线线、线面、面面之间的垂直关系。解决此类问题的关键是要有维与降维思想。
8.已知正数
满足
，则
的最大值为( )
A. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正数就是求出
满足
B. C. D.
，画出可行解域，把目标函数进行化简，得到，求的最大值，
的最大值，结合可行解域，求出。
满足
，如下图所示：
详解】正数
【由
，可得
，解得
，因此
【点睛】本题考查了线性规划问题。
9.已知双曲线A. 【答案】D 【解析】
上一点到B.
，
，由于2>1所以问题转化求的最大值，结合可行解域，可以
得到点的横坐标，纵坐标都是最大的，故点是所求的点，解方程组
，的最大值是
，故本题选C。
的距离为，为坐标原点，且
C. 或
，则D. 或
( )
【分析】
，说明是
定义和中位线定理可以求出
的中点，设双曲线另个焦点为，当点分别在左支和右支时，利用双曲线的。
所以是
的中点，
故本题选D.
【详解】设双曲线另个焦点为，因为当在右支时，由双曲线定义可知：当在右支时，由双曲线定义可知：
【点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义。要注意到点在不同位置时，等式的不同。
10.已知函数A. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数可以得出
可以求出的最小值。 【详解】因为函数所以
（1）—（2）得，又因为
所以的最小值是2，本题选B。
（1），由
的图像关于直线，可知
， 对称，
（2），
的图像关于直线,且
对称，
,两式相减，利用已知
，
B.
的图像关于直线
C.
对称，且
，则的最小值是( ) D.
,可以求出
【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性、零点。
11.动点在正方体
两点，设
，
的对角线
上，过点作垂直于平面
的图像大致为( )
的直线，与正方体表面交于
的面积是，则函数
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意和正方体特征，分析点在对角线出正确的图象。 【详解】由题可知，
平面
,其轨迹经过
和侧棱
的中点
，如下图所示：
上运动过程中，随的变化情况及变化的速度，对照选项选
设对角线的中点为。
上时，如下图所示：
（1）当点在线段
当增大时，；
随着线性增加，则函数的图像应为开口向上的二次函数递增的一部分，可排除
（2）当点在线段上时，如下图所示：
当增大时，随着线性增加，则函数的图像应为开口向下数递减的一部分，可排除，
故本题选。
【点睛】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力。 12.已知①A. ①④ 【答案】B 【解析】 试题分析：
，
。因为
在
处取得最大值，则
②
，③B. ②④
在
④
处取得最大值，以下各式中正确的序号为（ ）
⑤
C. ②⑤
D. ③⑤
，
令
，则
，
知，函数
，化为，所以，②正确。另外，
，即有
的零点为，故
，所以函数的零点落在，由
，④正确。故选Ｂ。
考点：函数的零点；函数的最大值
点评：函数在某处取得最值，则函数在此处的导数为０.
第二卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.）
13.
__________.
【答案】【解析】 分析】
。
利用定积分的性质可以把原式化为：
=
+
，
【可以分别求出
和
【详解】
=
先求
的值：
是
上的奇函数，所以
的值，最后把它们相加求出结果。
+，
，
=0；
表示的是如下图所示的阴影部分的面积：
，，
,
。
【点睛】本题考查了定积分的计算。解决此类问题的关键是掌握定积分的性质及它的几何意义。 14.已知【答案】【解析】 【分析】
的三个内角
成等差数列，能求出角的大小，运用正弦定理可以求出
，所以
为锐角，利用同角的三角函数关系可以求出
的值。
的三个内角
成等差数列，且
，
，则
的值是__________.
，由大边对大角可知，【详解】已知
，
的三个内角
成等差数列,，而由三角形内角和定理可知：
,由正弦定理可知：
,
由大边对大角可知，，所以为锐角,
【点睛】本题考查了正弦定理，同角三角函数的关系、等差中项。
15.在矩形
中，
，
，沿对角线
把矩形折成二面角
的平面角为
时，则
__________. 【答案】【解析】 【分析】 画出图形，分别过
两点作
，
，垂足为
,利用勾股定理求出相应线段的长，再利用空间
向量的线性关系表示求出【详解】分别过
两点作
，求出它的模。
，
，垂足为
,如下图所示：
根据勾股定理可求出：沿对角线则
把矩形折成二面角
，
，的平面角为
时，
【点睛】本题考查了利用空间向量求两点之间的距离。
16.已知数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
，若数列
递增，则的
取值范围是__________. 【答案】【解析】 【分析】 要想数列
递增，只需对于
递增，所以
，
在
恒成立即可，分类讨论求出的取值范围。
条件下恒成立，
，
当为奇数时，
当为偶数时，
综上所述的取值范围是
。
， ，
【详解】因为数列
【点睛】本题考查了已知数列的单调性求参数的取值范围问题。
三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.已知：函数（1）当（2）当
时，求函数时， 函数
.
的单调递增区间； 的值域是
，求； （2）
的值.
.
【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用二倍角降幂公式、两角和的正弦公式，化简函数，再求出函数的单调递增区间；
（2）分类讨论，根据函数的值域，求出【详解】（1）当当函数
的单调递增区间为时,函数
时,
的值，再计算的值。
是增函数,
（2）当时, 由题意得：
当时, 由题意得：
综上知: .
【点睛】本题考查了正弦型函数的增区间，也考查了已知正弦型函数的值域，求参数问题。
18.已知：（1）求（2）若
的值； 在区间
，
上不单调，求的取值范围 。
.
在
与
时都取得极值.
【答案】（1）【解析】 【分析】
； （2）
（1）对函数求导，由题意可知，在与时都取得极值，也就是的值。
与时，它们的导函数
值为零，得到方程组，求解这个方程组，可求出（2）若
在区间
，
上不单调，也就是说明至少有一个极值点在内，列出不等式，
求解不等式，求的取值范围。 【详解】（1）
在
与
时都取得极值
（2）由（1）得 故
在在区间
或，
处分别取得极大值与极小值
上不单调，两个极值点至少有一个在区间
，
解得：
.
内，
【点睛】本题考查了已知函数极值，求函数解析式，也考查了已知函数单调性的特征，求参数的取值范围。
19.某名校从编号为，年份 人数
（1）将这
年的数据分为人数不少于
人和少于
人两组，按分层抽样抽取年，问考入清华、北大的人
年到
年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。（为了方便计算，将
年
年编为，以此类推……）
数不少于5的应抽多少年？在抽取的这年里，若随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于的概率是多少？；
（2）根据最近年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测北大的人数。（结果要求四舍五入至个位）
年该校考入清华、
参考公式：
【答案】（1）年，
，预测
年该校考入清华，北大的人数为
人。
（2）与之间的线性回归方程【解析】 【分析】
（1）先统计出人数少于20人有几年，人数不少于20人的有几年，这样按分层抽样抽取5年，这样就可以求出考入清华、北大的人数不少于5的应抽多少年，然后求出随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于
的概率。
，最后求出与之间的线性回归方程，当
，代入线性回归方程中，就可预测
（2）按照公式求出
年该校考入清华、北大的人数。（格外要注意结果要求四舍五入至个位） 【详解】（1）在这10年里，人数不少于人数不少于事件，则
人有4年，少于20人的有6年，分层抽样抽取5年，所以抽取
为
人有2年，少于20人的有3年；随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于
。
（2）计算出得
，与之间线性回归方程
，预测
，代入所给的公式中， ，当
时，
，
人。
所以与之间的线性回归方程年该校考入清华，北大的人数为
【点睛】本题考查了分层抽样、概率、线性回归方程。
20.如图：正三棱柱小为
；
（1）求点到平面（2）若是线段
的距离；
的的底面边长为，是
延长线上一点，且
，在线段
上是否存在一点，使直线
，二面角的大
上的一点 ，且平面？ 若存
在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）取
； （2）存在,当时，知平面.
的中点，找到二面角的平面角，求出侧棱长。
，可以求出点到平面
的距离；
的距离
方法一：利用等积法，
方法二：利用向量法，建立空间直角坐标系，可求出面
，求出点到平面
的距离。
的一个法向量，点到平面
（2）根据（1）可以计算出【详解】（1）设为
的中点，则
，所以当
，
时，有线线平行，就可以证明出线面平行。
为二面角的平面角，如下图所示：
法1：（等体积法）
，侧棱
,
；
又
,
的距离
知
点 到平面法2：（向量法） 设
，
的中点分别为，,分别以的一个法向量，如：
，, ，而
为轴，轴，轴，建坐标系
，
，
可求出面
点到平面的距离
（2）由（1）可知平面
，所以
，平面
，，故存在，当
，，当时，有 成立，而
时，符合题意。
【点睛】本题考查了利用等积法或者向量法求点到面的距离问题、线面平行是否存在问题。
21.已知：函数（1）此函数在点
（2）在（1）的条件下，若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）对函数进行求导，求出在点
处切线的斜率，求出直线
的斜
； （2）3.
.
处的切线与直线
，
恒成立，求的最大值.
平行，求实数的值；
率，根据两直线平行，得到等式，求出实数的值。 （2）方法一：在方法二：当
时，
条件下，先取特殊值满足不等式，求出的最大值，再证明当
恒成立，转化为
对
时，不等式恒成立； 恒成立，求
的最小值大于.通过二次求导法，求出【详解】（1）
的最小值的取值范围，最后求出的最大值。
点
处的切线与直线
（2）法一：当令
，有
时，
，
的最大值不大于.
平行
恒成立，
又为正整数，
下面证明当即证当令则当
时，
时，恒成立，
恒成立.
，
，当时，
取得极小值
时，，当
.
； 时，
当法二：当即即
时，
时，
恒成立， 对
的最小值大于.
记
恒成立.
恒成立.
，
在
上连续递增，
，
则又
，，
存在唯一实根，且满足：
由
时，时，
，，
； 知；
的最小值为
的最大值为3,
的最大值为3.
【点睛】本题考查了导数的几何意义、两直线平行满足的条件。重点考查了用二次求导法求不等式恒成立时，参数的取值问题。
22.已知曲线是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是（1）求曲线的方程；
（2）求点到轴距离的最小值；
，线段
是过曲线右焦点的一条弦，是弦
的中点。
（3）若作出直线值范围. 【参考公式：若心率）】 【答案】（1）【解析】 【分析】
，使点在直线上的射影满足.当点在曲线上运动时，求的取
为双曲线右支上的点，为右焦点，则.（为离
； （2）点到轴距离的最小值为；（3）.
（1）根据已知设双曲线的右支方程，离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，可以得到线方程是
，可以得到
的关系，而
，三个等式联立，可以求出
的关系，一条渐近
的值，最后求出双曲线
的右支方程，别忘记写上的取值范围。
（2）根据斜率是否存在进行分类讨论：当存在斜率时，设出直线方程与双曲线右支方程联立，求出满足条件的斜率取值范围，根据一元二次方程根与系数的关系求出点的横坐标的大小，求出点到轴距离的取值范围。当不存在斜率时，求出点到轴距离，综合两种情形得出结论。 （3）由
可以得到
，这样可以求出
与
的关系，由焦半径公式可以求出
，两个式
子联立，可以求出点的横坐标，利用（2）的结论，可以求出的取值范围。 【详解】（1）设一条渐近线方程是的方程是：
所以有
，若弦
的斜率存在，
，离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，所以有②，而
③，三个方程联立，可求出
①，，所以曲线
（2）由（1）知，曲线的右焦点的坐标为则弦
的方程为：
设点
，
，
，代入双曲线方程得：
由，解得：，点到轴距离：
而当弦的斜率不存在时，点到轴距离。
所以点到轴距离的最小值为. （3）点在直线上的射影满足
，
由焦半径公式
将②代入①，得：
，
，
到直线
距离
，
……①
.
【点睛】本题考查了双曲线右支方程、直线与双曲线右支的位置关系、利用给出的焦半径公式进行求解。
的
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容