2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

2π

例1 （1）点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )

313

A．(－，)

2213C．(－，－)

22B．(－D．(－

31

，－) 2231，) 22

(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则

cos()sin()2的值为________． 119cos()sin()223【答案】（1）A（2）－

4

【解析】(1)设Q点的坐标为(x，y)， 2π12π3

则x＝cos＝－，y＝sin＝.

323213

∴Q点的坐标为(－，)．

22－sin α·sin α

(2)原式＝＝tan α.

－sin α·cos α根据三角函数的定义， y3

得tan α＝＝－，

x43

∴原式＝－.

4

【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练

【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用

例1已知曲线C1：ycosx，C2：ysin 2x2π，则下面结正确的是（ ）. 3

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的线C2 【答案】D

π个单位长度，得到曲6π个单位长度，得到曲121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲2122πC2:ysin2x3，【解析】（1） C1:ycosx，首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:ycosxπππycosxcosxsinx222．横坐标变换需将1变成2，即用诱导公式处理．

πC1上各点横坐标缩短它原来2ysinxysin2x21πsin2x2xπ2ππysin2xsin2x433． 注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时

πππx3”需加上12，即再向左平移12．故选D. 到“

【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:

①沿x轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:

πππxx4平移至3，根据“左加右减”原则，“4”

①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y不变); ②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0例2函数yysin2x的部分图像大致为（ ）.

1cosxyyy1-πO1πx1-πO1πx-π1O1πx-π1O1πxA.B.C.D.

【答案】C

y【解析】由题意知，函数

sin2x1cosx为奇函数，故排除B；当x时，y0，排除D；当x1时，

ysin201cos2，排除A.故选C.

【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】

ππ

ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) 例3函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)22π

A．2，－

3π

C．4，－

6【答案】A

T11π5π2π2π

【解析】 (1)因为＝－，所以T＝π.又T＝(ω>0)，所以＝π，所以ω＝2.

21212ωω5πππππ

又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－.

122223【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】

π

B．2，－ 6π

D．4， 3

题型三 三角函数性质

π

例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相

2π

邻对称轴之间的距离为.

2π

(1)求f()的值；

6

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．

6πππ5π

【答案】（1）f()＝2sin＝3（2）[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

631212【解析】（1）f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ) 13＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]

22π＝2sin(ωx＋φ＋)．

3

π

因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，

3π

又0<|φ|<，

2π

可得φ＝－，

3

2ππ

所以f(x)＝2sin ωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.

ω2故f(x)＝2sin 2x. ππ

因此f()＝2sin＝3.

63

ππ

(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，

66πππ

所以g(x)＝f(x－)＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．

663πππ

当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，

1212g(x)单调递增，

π5π

因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

1212【易错点】 【思维点拨】

题型四三角函数范围问题

例1函数fxsin2x3cosx【答案】1

【解析】fxsin2x3cosx33π1cos2x3cosxx0，， 44223x0,的最大值是 ． 42311，yt23tt令cosxt且t0，， 124则当t3时，fx取最大值1． 2【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数fx=2cosxsinx的最大值为 .

【答案】5 【解析】f(x)【易错点】

【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数fx2215.

1ππsinxcosx的最大值为（ ）. 536

A．

6 5 B．1

3 C．

5

1 D．

5【答案】A 【解析】f(x)11sinxsinxsinxsinx 53625336sinx.故选A. 53【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！

【思维点拨】

题型五三角函数求值问题 例1已知0,ππcos，，则tan2 .

24 【答案】310 10【解析】由tan2得sin2cos 又sin2cos21， 所以cos25251 .因为0,，所以cos，sin.

5525coscossinsin， 44因为cos所以cos【易错点】

52252310. 4525210【思维点拨】

3，则cos22sin2（ ） 4644816 (A) (B) (C) 1 (D)

252525例2（1）若tan（2）sin20cos10cos160sin10（ ） A．3311 B． C． D． 2222【答案】（1）A（2）

1 2sin3343，cos2sin21，得sin，cos或sin， cos4555424164864，则cos22sin2，故选A cos，所以sin22sincos5252525251（2）原式=sin20cos10cos20sin10sin(2010)sin30

2【解析】（1）由tan【易错点】 【思维点拨】

π

－xsin x－3cos2x. 例3已知函数f(x)＝sin2(1)求f(x)的最小正周期和最大值； π2π

(2)讨论f(x)在6，3上的单调性．

2－3π5π5π2π

，上单调递增；在，上单调递【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为,（2）f(x)在6121232减

π2

【解析】 (1)f(x)＝sin2－xsin x－3cosx ＝cos xsin x－

π31333

2x－－， (1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin322222

2－3

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

2

π2πππππ5π

，时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时， (2)当x∈63332612f(x)单调递增，

ππ5π2π

当≤2x－≤π，即≤x≤时， 23123f(x)单调递减．

π5π5π2π

，上单调递增；在，上单调递减． 综上可知，f(x)在612123【易错点】

【思维点拨】解答技巧，方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)【答案】2

cos 10°1＋3tan 10°cos 10°＋3sin 10°2sin10°＋30°2sin 40°

【解析】依题意得＝＝＝＝2.

cos 50°cos 50°cos 50°sin 40°【易错点】

【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例2已知tan α＝2. π

α＋的值； (1)求tan4(2)求

的值． sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1

sin 2α

cos10(13tan30)的值是________．

cos50

【答案】（1）-3（2）1

π

tan α＋tan

4π2＋1

α＋＝【解析】(1)tan＝＝－3. 4π1－2×1

1－tan αtan

4sin 2α

(2)2 sinα＋sin αcos α－cos 2α－1＝＝

2sin αcos α

sin2α＋sin αcos α－2cos2α2tan α2×2

＝＝1.

tan2α＋tan α－24＋2－2

【易错点】 【思维点拨】

解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3若sin 2α＝

π3π510，π，β∈π，，则α＋β的值是( ) ，sin(β－α)＝，且α∈245109πB. 45π9πD.或 44

7π

A. 45π7πC.或 44【答案】A

πππ5，π，∴2α∈，2π，∵sin 2α＝，∴2α∈，π. 【解析】选A ∵α∈4225

ππ2510π，3π，∴β－α∈π，5π，cos(β－α)＝－310， ，且cos 2α＝－∴α∈，又∵sin(β－α)＝，β∈2422451010105231025

∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝－×－－×＝，

10510525π7π，2π，所以α＋β＝. 又α＋β∈44【易错点】 【思维点拨】

对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数．

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．

π－π，π，0，，若角的范围是选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为222选正弦函数较好．

【巩固训练】

题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P4,y是角终边上一点，且sin则y . 【答案】-8.

1

3

25，5π1－tanθ11sinθcosθtanθ33－θ＝【解析】由tan＝，得tanθ＝，∴sinθcosθ＝＝＝＝.故填. 22241＋tanθ231010sinθ＋cosθtanθ＋11

＋192. (1)已知tan α＝2，求值： ①

2sin α－3cos α

；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.

4sin α－9cos α

1

(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．

3【答案】(1)①-1②1(2)

17 3

2sin α－3cos α2tan α－32×2－3

【解析】(1)①＝＝＝－1.

4sin α－9cos α4tan α－94×2－9②4sin2α－3sin αcos α－5cos 2α

4sin2α－3sin αcos α－5cos 2α4tan2α－3tan α－5＝＝

sin2α＋cos2αtan2α＋1＝

4×4－3×2－5

＝1.

4＋1

11

(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

39π4

∴sin θcos θ＝－.∵θ∈(0，π)，θ∈2，θ， 9∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.

81717由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，得sin θ－cos θ＝.

9933.若cos(π－α)＝A．－5 3π5

且α∈2，π，则sin(π＋α)＝( ) 32

B．－ 3

1

C．－

3 【答案】B

【解析】cos (π－α)＝－cos α＝

D．±

2 3

55，∴cos α＝－. 33

1－－

π2

又∵α∈2，π，∴sin α＝1－cos α＝2

∴sin (π＋α)＝－sin α＝－，故选B．

3题型二 三角函数图像



522＝， 33

1.为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝2cos 3x的图象( A ) π

A．向右平移个单位

12C．向左平移 【答案】A

ππ

3x－，所以将y＝2cos 3x的图象向右平移个单位后可得到y【解析】因为y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos412π

3x－的图象. ＝2cos4

πππ

A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，若x1，x2∈－，，且f(x1)＝f(x2)，2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)263则f(x1＋x2)＝( )

π

个单位 12

π

B．向右平移个单位

4π

D．向左平移个单位

4

A．1 C．

2

2

1

B．

2D．

3 2

【答案】D

【解析】 观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ). ππ

－，0代入上式得sin－＋φ＝0. 将63πππ

2x＋. 由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin323

ππ－＋63π

函数图象的对称轴为x＝＝.

212

ππx1＋x2π

－，，且f(x1)＝f(x2)，∴又x1，x2∈＝， 63212πππ3

2×＋＝，故选D． ∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin6326π

2ωx＋(ω>0)的最小正周期为π. 3.已知函数f(x)＝2sin4(1)求ω的值；

π

0，上的单调性. (2)讨论f(x)在区间2

π

0，上单调递增， 【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间8ππ在区间8，2上单调递减.

π2π

2ωx＋的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1． 【解析】 (1)因为f(x)＝2sin42ωπ

2x＋. (2)因为f(x)＝2sin4πππ5π

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

2444

ππππ

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 4428ππ5πππ

当<2x＋≤，即0，上单调递增， 综上可知，f(x)在区间8ππ在区间8，2上单调递减. 题型三 三角函数性质

ππ

ωx＋在，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) 1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin4215A．2，4 1

0， C．2【答案】A

π3ππωππππ

【解析】由0得，＋<ωx＋<ωπ＋.又y＝sin x在2，2上递减，所以22444

13B．2，4 D．[0,2]



π3πωπ＋4≤2，

ωπππ＋≥，242

15

解得≤ω≤，故选A．

24

π

x＋，则下列结论错误的是( ) 2.设函数f(x)＝cos3A．f(x)的一个周期为－2π

8π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

3π

C．f(x＋π)的一个零点为x＝ 6π

D．f(x)在2，π单调递减 【答案】D

8π【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A项正确；当x＝

3ππ4πππ

x＋＝－1，所以B项正确；f(x＋π)＝cos x＋π＋＝cosx＋，当x＝时，x时，x＋＝3π，所以cos33336＋

ππ224π3π

x＋在，π上单调递减，在π，π上单调＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；函数f(x)＝cos323332

递增，故D项不正确，故选D．

3.已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝22sin xcos x，则下列结论正确的是( ) π

－，0中心对称 A．两个函数的图象均关于点4π

B．两个函数的图象均关于直线x＝－对称

4ππ

－，上都是单调递增函数 C．两个函数在区间44π

D．将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象

4【答案】C

π－π，0x＋，【解析】函数①y＝sin x＋cos x＝2sin②y＝22·sin xcos x＝2sin 2x，由于①的图象关于点44π

－，0中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x＝－中心对称，②的图象不关于点4πππ

－，上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图对称，故B项不正确；由于这两个函数在区间444

πx＋π的图象，而y＝2sin2x＋π≠2sinx＋π，故D项不正象向左平移个单位得到函数y＝2sin24444确，故选C．

题型四三角函数范围问题

1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .

【答案】

3√3 2【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.

由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=

12π35ππ5ππ或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f()=33333√35π3√33√3,f()=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-.

2322π7π2.已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈6，6，求y的最大值与最小值之和． 23【答案】

8

π7π1

，，∴sin x∈－，1. 【解析】 ∵x∈662又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x) 17

sin x－2＋， ＝24817∴当sin x＝时，ymin＝；

48

1

当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.

2723

故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.

88

3π

3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间；

3ππ

－，，求f(x)的最大值与最小值， (3)若x∈423π2

3kπ－，3kπ，k∈Z(3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0. 【答案】(1)ω＝.(2) 23

ππ

【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝

22cos ωx.

3因为图象关于点M4π，0对称， 3π24m

所以ω×π＝＋mπ，m∈Z，ω＝＋，

42332

又0<ω<1，所以ω＝.

3

223π

(2)由(1)得f(x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，且 k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，

3323π

3kπ－，3kπ，k∈Z. 所以函数的递增区间是23ππππ2

－，，所以x∈－，， (3)因为x∈423232

当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1， 32π3π

当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0. 324

题型五三角函数求值问题 1.设α，β为钝角，且sin α＝3π

A．

47π

C．

4【答案】 C

【解析】∵α，β为钝角，sin α＝

－25531010

，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝， 510510

2

>0. 25310，cos β＝－，则α＋β的值为( ) 510

5π

B．

4

5π7πD．或 44

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝

3π7π，2π，∴α＋β＝. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈24

π

2.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.

3(1)求函数f(x)的单调递增区间；

2π

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位3π6π

2α＋＝，α∈0，，求sin α的值. 长度得到的，若g3522ππ

2kπ－，2kπ＋(k∈Z)（2） 【答案】（1）f(x)的单调递增区间为33π43－3

2ωx＋，【解析】 (1)f(x)＝cos 2ωx＋3sin 2ωx＝2sin（2） 610

ππ2πππ2πω＋π＝±1，2ωx＋的图象的一条对称轴，由于直线x＝是函数f(x)＝2sin所以sin因此ω＋＝kπ＋6633362(k∈Z)，

311

解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，

222

ππππ2ππ

x＋.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)＝2sin6262332ππ

2kπ－，2kπ＋(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间为332ππ1xx＋＋，即g(x)＝2cos ， (2)由题意可得g(x)＝2sin2362πππ6π31

2α＋＝2cos2α＋3＝2cosα＋＝，得cosα＋＝， 由g365652ππ4ππ2π

0，，故<α＋<，所以sinα＋＝， 又α∈265663

ππππππ433143－3

α＋－＝sinα＋cos －cosα＋sin ＝×－×＝所以sin α＝sin. 666525266610

π5ππ3

－α＝，求cos＋α－sin2α－的值. 3.已知cos63663＋2

35ππ＋α－sin2α－ 【解析】 cos66【答案】－

π－α－sin2π－α ＝cosπ－66

ππ

－α－1－cos2－α ＝－cos66＝－

3＋231－1－3＝－. 33

题型六 简单的三角恒等变换

ππ

－α＝cos＋α，则cos 2α＝( ) 1.已知sin66A．1 1

C. 2

【答案】选D

ππ

－α＝cos＋α， 【解析】 ∵sin66

13311313

∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即－sin α＝－－cos α， 22222222cos2α－sin2α1－tan2αsin α22∴tan α＝＝－1，∴cos 2α＝cosα－sinα＝2＝＝0.

cos αsinα＋cos2αtan2α＋12.计算

cos 10°－3cos－100°

1－sin 10°

＝________(用数字作答)．

B．－1 D．0

【答案】2

cos 10°－3cos－100°cos 10°＋3cos 80°cos 10°＋3sin 10°2sin10°＋30°

【解析】＝＝＝＝2.

2sin 40°2sin 40°1－sin 10°1－cos 80°113π

3.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.

7142π

【答案】

3

1π

【解析】由cos α＝，0<α<，

72得sin α＝1－cos2α＝

1243

1－7＝7，

ππ13

由0<β<α<，得0<α－β<，又∵cos(α－β)＝，

2214∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝

132331－14＝14.

由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331

＝×＋×＝. 7147142π∴β＝.

3