石林彝族自治县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ） A．13
B．
C．
D．21
C．②③
2． 有下列四个命题：
②“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ） A．①②
B．①③
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题； ③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
D．③④
3． 如图甲所示， 三棱锥PABC 的高PO8,ACBC3,ACB30 ，M,N分别在BC 和PO上，且CMx,PN2xx（0，3，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积y与 的变化关系，其中正确的是（ ）
A． B． C. D．1111] 有（ ）
4． 过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
5． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
6． 若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（ ） A．0 7． 若
B．1
C．﹣1
D．2
，则下列不等式一定成立的是（ ）
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A．C．
B．D．
8． 函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（ ） A．向左平移C．向左平移
B．向右平移个单位得到
个单位得到 D．向左右平移
个单位得到 个单位得到
9． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） ∪（0，2）
11．已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ） A．3﹣4i A．﹣1﹣i
B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
=2（+i），则z=（ ）
B．1+i C．﹣1+i
D．1﹣i
12．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z
D．0）（﹣2，
二、填空题
13．已知θ是第四象限角，且sin（θ+14．已知实数x，y满足约束条
15．设全集
16．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 ．
）=，则tan（θ﹣，则z=
）= ．
的最小值为 ．
______.
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17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且则△ABC的面积是 ．
•=24，
18．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ．
三、解答题
19．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； ②GH⊥PD．
20．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，
sin2
]上的最小值．
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21．已知条件p:的取值范围．
22．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）+（y﹣1）=4和圆C2：（x﹣4）+（y﹣5）=4 （1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
23．（本小题满分12分）
已知函数fx3sinxcosxcos2x2
2
2
2
41，条件q:x2xa2a，且p是的一个必要不充分条件，求实数 x13. 2（1）当x，时，求函数yfx的值域；
36x2，若函数gx在区间，上是增函数，求的最大值． （2）已知0，函数gxf62123
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24．（本小题满分12分）求下列函数的定义域： （1）fx2x3x1； （2）fxx23x4x25x6.
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石林彝族自治县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°， ∴由余弦定理可得：c=故选：B．
2． 【答案】B
=
=
．
22
【解析】解：①由于“若a+b=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确； 题；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． 综上可得：真命题为：①③． 故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
3． 【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
4． 【答案】C 设直线l的方程为：
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
，
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则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立
，
，
解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C
即这样的直线有且只有一条，
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
．
．
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线， 所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2． 又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．
，所以e=
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
6． 【答案】A
【解析】解：由题意=故选A
，∴1+x=
，解得x=0
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
7． 【答案】D
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【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数故选D
答案：D
8． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=y=sin2x﹣cos2x=
sin（2x﹣
sin（2x+）=
），
）+
）]，
sin（2x+
），
为减函数且
，所以
，排除B，
sin[2（x﹣
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移故选：C．
个单位得到y=
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
9． 【答案】C
10．【答案】A 【解析】解：设g（x）=g′（x）=
，
，则g（x）的导数为：
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立， 即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数， 又∵g（﹣x）=
=
=
=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是增函数， 又∵g（﹣2）=
=0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A．
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11．【答案】B
解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．
12．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi， 由z
=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
22
整理得a+b=2a+2（b﹣1）i．
==3﹣4i．
则
所以z=1+i． 故选B．
，解得．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：∵θ是第四象限角， ∴又sin（θ+∴cos（θ+∴cos（则tan（θ﹣
）=， ）=
）=sin（θ+）=﹣tan（
）=，sin（
）=﹣
． ）=cos（θ+
=
）=． ．
，则
，
故答案为：﹣．
14．【答案】
．
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【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=
=32x+y，
设t=2x+y， 则y=﹣2x+t， 平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小， 此时t最小． 由
，解得
，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3． ∴t最小为﹣3，z有最小值为z=故答案为：
．
=3﹣3=
．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}， ∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}。 16．【答案】 ③ ．
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【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误； ②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误； ③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误， 故正确命题的序号是③，
故答案为：③
17．【答案】 4 ．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
22
∴sinB=sinAsinC，由正弦定理可得：b=ac，
∵c=2a，可得：b=∴cosB=∵
•
a， =
=，可得：sinB=
=
，
=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
=4
．
∴S△ABC=acsinB=
故答案为：4．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵PF1⊥PF2，
222
∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|． 22
∵双曲线方程为x﹣y=1，
22222
∴a=b=1，c=a+b=2，可得F1F2=2
222
∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=8
22
又∵P为双曲线x﹣y=1上一点，
2
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）=4
2222
因此（|PF1|+|PF2|）=2（|PF1|+|PF2|）﹣（|PF1|﹣|PF2|）=12
∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
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三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点， 取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线， ∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG， ∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF， ∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG， ∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB， 又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG． （2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB， PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD， 分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， ∴P（0，0，
），D（﹣1，4，0），
），∵P（0，0，=（﹣1，4，﹣
），
）， ），
=（﹣1，4，﹣D（﹣1，4，0），∵
=
=（﹣，，﹣
），
∴G（﹣，，
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4， 依题意得：
2
∴x＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
，
又=（x+，y﹣，﹣
，
），
∵GH⊥PD，∴∴﹣x﹣+4y﹣
，即y=
2
，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x﹣12x﹣44＞0， 解得x＞2+
或x＜2﹣
，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
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∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+
×cosx﹣）﹣
=2π；
sin2
）﹣．
∈[﹣
，2﹣
]，
=2sin（x+
∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+
∈[
]，
，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+
]上的最小值为：﹣
∴可解得f（x）在区间[0，
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
21．【答案】1,2．
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【解析】
试题分析：先化简条件p得3x1，分三种情况化简条件，由p是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.
14xa10a，当时，q:；1得p:3x1，由x2xa2a得xa2x111当a时，q:a1,a；当a时，q:a,a1
22由题意得，p是的一个必要不充分条件，
111当a时，满足条件；当a时，a1,a3,1得a1,，
22211当a时，a,a13,1得a,2 综上，a1,2．
22试题解析：由
考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.
【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 22．【答案】 【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2 ∴d==1（2分） d=
从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分） （2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
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∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即
=
（8分）
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5 因k的取值有无穷多个，所以
或
（10分）
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，323．【答案】（1），3；（2）．
2）（12分）
【解析】
13试题分析：（1）化简fxsin2x2，结合取值范围可得sin2x1值域为，3；（2）
62622x2sinx2和x，，，上是增函易得gxf由gx在333363621232，2k，2k，kZ 数363223252k1533k32k，kZk01的最大值为. 412122k112k326第 15 页，共 17 页
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考
点：三角函数的图象与性质.
24．【答案】（1）,11,；（2）1,23,4． 【解析】
考
点：函数的定义域. 1
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【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.
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