高二数学 复数测试题
一．选择题（共18小题）
1．（2015•陕西模拟）定义运算复数z的共轭复数 对应的点在（ ） A． 第 一象限 B． 第二象限
2．（2015•钦州模拟）若复数为（ ） A． ﹣ 3
，则符合条件
=0的
C． 第三象限 D． 第四象限
（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值
B． 3 C． ﹣6 D． 6
3．（2015•河南一模）如果复数部互为相反数，那么b等于（ ） A． B．
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚
C．
﹣
D． 2
4．（2015•福建模拟）复数i+i2等于（ ） A． 1 +i
B． 1﹣i
C． ﹣1+i
D． ﹣1﹣i
5．（2015•兰州二模）已知复数z满足在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第 一象限 B． 第二象限
6．（2015•南充一模）已知复数z= A．
B．
C． C． 第三象限
（i为虚数单位），则zD． 第四象限
，则z的共轭复数为（ ）
D．
7．（2015•马鞍山一模）若复数z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则（ ） A． 1
的值为
B． ﹣1 C． i D． ﹣i
8．（2015•宝鸡一模）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是则复数z1•z2对应的点位于（ ）
，，
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高二数学+复数测试题及答案解析
A． 第 一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
9．（2015•安徽二模）复数z= A． 第 一象限
B． 第二象限
的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） C． 第三象限
D． 第四象限
10．（2015•商丘一模）若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=（ ） A．
B．
C． 2
D．
11．（2015•安徽一模）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（则z的虚部为（ ） A． 2 B． 0
C． ﹣2
cosθ﹣1）是纯虚数，D． ﹣2i
12．（2014春•元氏县校级期中）复数z满足条件：|2z+1|=|z﹣i|，那么z对应的点的轨迹是（ ） A． 圆
B． 椭圆
C． 双曲线
D． 抛物线
13．（2014春•福建校级月考）在复平面上的平行四边形ABCD中，是6+8i， A． 2 +14i
对应的复数是﹣4+6i，则
B． 1+7i
与
对应的复数是（ ）
C． 2﹣14i
对应的复数
D． ﹣1﹣7i
，
14．（2013春•肇庆期末）复数在复平面上所对应的向量分别是
，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（ ） A．
B．
C．
D．
15．（2011春•固镇县校级期中）复数z=5+ai的模为13，则a的值为（ ）
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A． 1 2
B． ﹣12
C． 12或﹣12
D． 4
16．（2014•广东）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（ ） A． 3 ﹣4i
B． 3+4i
C． ﹣3﹣4i
D． ﹣3+4i
17．（2013•北京）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ） A． 第 一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
18．（2012•黑龙江）下面是关于复数z=p1：|z|=2， p2：z2=2i，
p3：z的共轭复数为1+i， p4：z的虚部为﹣1． A． p 2，p3 B． p1，p2
二．填空题（共7小题）
的四个命题：其中的真命题为（ ），
C． p2，p4 D． p3，p4
19．（2015•上海模拟）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|= ．
20．（2015•青浦区一模）若复数z=（i为虚数单位），则|z|= ．
21．（2014•上海模拟）在复平面上，复数为 ．
22．（2015•闸北区一模）复数为 ．
对应的点到原点的距离
（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值
23．（2015•成都模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为 ．
24．（2014•浙江校级一模）已知i是虚数单位，若的值为 ．
，则ab
2
25．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）（i为虚数单位），则z的实部为 ．
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三．解答题（共5小题）
26．（2014•芙蓉区校级模拟）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位） （Ⅰ）把复数z的共轭复数记作，若•z1=4+3i，求复数z1；
（Ⅱ）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
27．（2014•芙蓉区校级模拟）m取何值时，复数z=（1）是实数； （2）是纯虚数．
28．（2014秋•台江区校级期末）复数z1=若
+z2是实数，求实数a的值．
+（10﹣a2）i，z2=
+（2a﹣5）i，
+（m2﹣2m﹣15）i
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29．（2014春•周口校级月考）已知复数z1=2﹣3i，z2=（1）z1•z2； （2）
30．（2014春•新兴县校级月考）已知复数z=﹣i，
（1）求z；
（2）设W=a+bi 求|w|．
．
．求：
，若z2+az+b=1
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高二数学 复数测试题及答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题） 1．（2015•陕西模拟）定义运算
，则符合条件
=0的复数z
的共轭复数 对应的点在（ ） A． 第 一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：复数的基本概念． 专题：计算题；新定义． 分析：首先根据题意设出复数Z，再结合题中的新定义得到一个等式，然后求出复数Z的共
轭复数进而得到答案． 解答：解：设复数Z=a+bi
由题意可得：定义运算
，
所以=Z（1+i）﹣（1+2i）（1﹣i）=0，
代入整理可得：（a﹣b）+（a+b）i=3+i，
解得：a=2，b=﹣1，
所以Z=2﹣i，所以 =2+i，
所以复数z的共轭复数 对应的点在第一象限． 故选A． 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握复数的有关概念与复数的几何意义， 以及正确理解新
定义，并且结合正确的运算．
2．（2015•钦州模拟）若复数
（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． ﹣ 3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：利用两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，把复数化简到最简形式，
根据实部等于0，
虚部不等于0，求出，实数a的值． 解答：
解：∵== 是纯虚数，
∴a﹣3=0，a+3≠0，∴a=3， 故选 B．
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点评：本题考查纯虚数的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两
个复数相除，
分子和分母同时除以分母的共轭复数．
3．（2015•河南一模）如果复数反数，那么b等于（ ） A． B．
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相
C．
﹣
D． 2
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚
部互为相反数，求出b． 解答：
解：=
=由
+=﹣
i
得b=﹣．
故选C． 点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题． 4．（2015•福建模拟）复数i+i2等于（ ） A． 1 +i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
考点：虚数单位i及其性质． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接由虚数单位i的运算性质求得答案． 解答： 解：i+i2=i﹣1=﹣1+i．
故选：C． 点评：本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的会考题型．
5．（2015•兰州二模）已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A． 第 一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数． 分析：由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案． 解答： 解：由，得
=
．
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∴z在复平面内对应的点的坐标为
，是第一象限的点．
故选：A． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6．（2015•南充一模）已知复数z= A．
B．
，则z的共轭复数为（ ） C．
D．
考点：复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据共轭复数的定义即可求得答案． 解答：
解：∵，
∴z的共轭复数为
，
故选：C． 点评：本题考查了复数的基本概念，是基础的会考题型．
7．（2015•马鞍山一模）若复数z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则 A． 1 B． ﹣1 C． i
考点：复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据复数的概念确定a的值，即可得到结论． 解答： 解：∵z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，
∴
解得a=2， 则
=
=﹣i，
，即
，
D． ﹣i
的值为（ ）
故选：D 点评：本题考查复数的概念及运算，容易题．
8．（2015•宝鸡一模）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是z1•z2对应的点位于（ ）
，
，则复数
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A． 第 一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析： 根据复数的几何意义先求出z1，z2即可． 解答： 解：由复数的几何意义知z1=﹣2﹣i，z2=i，
则z1z2=（﹣2﹣i）i=﹣2i﹣i2=1﹣2i，
对应的点的坐标为（1，﹣2）位于第四象限， 故选：D． 点评：本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．
9．（2015•安徽二模）复数z=
的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A． 第 一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：计算题． 分析：利用两个复数复数代数形式的乘除法求得z，可得它的共轭复数，可得共轭复数在复
平面上对应的点的坐标，可得结论． 解答：
解：∵复数z====﹣+i，∴=﹣﹣i，
它在复平面上对应的点为（﹣，﹣），在第三象限，
故选C． 点评：本题主要考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数与复平面内对应点之
间的关系，属于基础题． 10．（2015•商丘一模）若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=（ ） A． B． C． 2 D．
考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则可得z，再利用复数模的计算公式即可得出． 解答：解：∵复数z满足（1+i）z=2﹣i，
∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（2﹣i），
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化为2z=1﹣3i， ∴z=∴z+i=∴|z+i|=
， ．
=
．
故选：B． 点评：本题考查了复数的运算法则、复数模的计算公式，属于基础题． 11．（2015•安徽一模）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z的虚部为（ ） A． 2 B． 0 C． ﹣2 D． ﹣2i
考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的实部为0，虚部不为 0，求出表达式，解得z的虚部的值． 解答： 解：θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，
∴
⇒
⇒
，（k∈Z），
∴cosθ﹣1=﹣2，
故选：C． 点评：本题考查了复数运算法则和几何意义，属于基础题． 12．（2014春•元氏县校级期中）复数z满足条件：|2z+1|=|z﹣i|，那么z对应的点的轨迹是（ ） A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线 D． 抛物线
考点：复数求模；轨迹方程． 专题：数系的扩充和复数． 分析：设复数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得． 解答：解：设复数z=x+yi，x，y∈R，
∵|2z+1|=|z﹣i|， ∴|2z+1|2=|z﹣i|2，
∴（2x+1）2+4y2=x2+（y﹣1）2， 化简可得3x2+3y2+4x+2y=0，
满足42+22﹣4×3×0=20＞0，表示圆， 故选：A 点评：本题考查复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．
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13．（2014春•福建校级月考）在复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数是﹣4+6i，则
对应的复数是（ ）
对应的复数是6+8i，
A． 2 +14i B． 1+7i C． 2﹣14i D． ﹣1﹣7i
考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：平面向量及应用． 分析：利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 解答：
解：由平行四边形法则可得：，解得
∴
．
，
故选D． 点评：熟练掌握复数的几何意义、向量的平行四边形法则是解题的关键．
14．（2013春•肇庆期末）复数
与
在复平面上所对应的向量分别是
，
，O
为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（ ） A． B． C．
D．
考点：复数的代数表示法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题． 分析：
由条件求得||、||、 的值，再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值． 解答：
解：∵
对应的复数为 ，
∴|
|=1，|
|=2，
=
=0+（﹣1）（﹣=
，∴θ=
）=，
，设这两个向量的夹角∠AOB=θ，
=
=
=﹣i，
对应的复数为
则cosθ=
故选A． 点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两个向量的夹角公式的应用，属于基础
题． 15．（2011春•固镇县校级期中）复数z=5+ai的模为13，则a的值为（ ） A． 1 2 B． ﹣12 C． 12或﹣12 D． 4
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考点：复数求模． 专题：计算题． 分析：根据题意求得复数的模，得到关于a的方程式，解之可求得结果． 解答：
解：复数z=5+ai的模为，
所以
=13．
∴a=12或﹣12 故选C． 点评：本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题． 16．（2014•广东）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（ ） A． 3 ﹣4i B． 3+4i C． ﹣3﹣4i D． ﹣3+4i
考点：复数相等的充要条件． 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的
值． 解答：
解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i， 故选：A． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 17．（2013•北京）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ） A． 第 一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：数系的扩充和复数． 分析：首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部
写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解答： 解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i
∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选A． 点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看
出实部和虚部的值．
18．（2012•黑龙江）下面是关于复数z=p1：|z|=2， p2：z2=2i，
p3：z的共轭复数为1+i，
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的四个命题：其中的真命题为（ ），
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p4：z的虚部为﹣1． A． p 2，p3 B． C． p1，p2 p2，p4
考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用． 专题：计算题． 分析：
由z===﹣1﹣i，知
D． p3，p4
，，
p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果． 解答：
解：∵z===﹣1﹣i，
∴
，
p3：z的共轭复数为﹣1+i， p4：z的虚部为﹣1， 故选C． 点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二．填空题（共7小题）
19．（2015•上海模拟）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|= ．
考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：
由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|． 解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z） （i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，
∴z=
=
=1+i，
，
故|z|=，
故答案为 ． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属
于基础题．
20．（2015•青浦区一模）若复数z=
（i为虚数单位），则|z|=
．
考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则模的计算公式即可得出． 解答：
解：∵复数z===
=﹣1+2i．
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∴|z|=
．
故答案为：． 点评：本题考查了复数的运算法则模的计算公式，属于基础题．
21．（2014•上海模拟）在复平面上，复数
考点：复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数． 分析：
利用复数的除法运算化简距离公式求解． 解答：
解：=
对应的点到原点的距离为
．
，得到该复数对应点的坐标，然后由两点间的
=∴复数
对应的点为（
． ），
∴复数对应的点到原点的距离为．
故答案为：．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了两点间的距离
公式，是基础的计算题．
22．（2015•闸北区一模）复数
（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 4 ．
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：化简复数为a+bi（a，b∈R） ，然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的
值． 解答：
解：=．
∵复数
是纯虚数
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∴，解得：a=4．
故答案为：4． 点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
23．（2015•成都模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解． 解答：
解：∵|4+3i|=．
由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5， 即z=
∴z的虚部为． 故答案为：．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
24．（2014•浙江校级一模）已知i是虚数单位，若
，则ab的值为
．
．
﹣3 ．
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b
的值，则答案可求． 解答：
解：由，得． 所以b=3，a=﹣1． 则ab=（﹣1）×3=﹣3． 故答案为﹣3． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当
实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题． 25．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 ．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
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专题：数系的扩充和复数． 分析：根据复数的有关概念，即可得到结论． 解答： 解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21， 故答案为：21 点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．
三．解答题（共5小题） 26．（2014•芙蓉区校级模拟）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位） （Ⅰ）把复数z的共轭复数记作，若•z1=4+3i，求复数z1；
（Ⅱ）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
考点：虚数单位i及其性质． 专题：数系的扩充和复数． 分析：（I）利用复数的运算法则即可得出；
（II）利用实系数一元二次方程虚根成对原理、根与系数的关系即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得=1+2i，
∴z1=
=
=
=2﹣i．
（Ⅱ）∵z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，
则也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根， ∴
=2=
，
=，
解得p=﹣4，q=10． 点评：本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理、根与系数的关系、
共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
27．（2014•芙蓉区校级模拟）m取何值时，复数z=
+（m2﹣2m﹣15）i
（1）是实数； （2）是纯虚数．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：（1）题目给出的复数的实部含有分式，要使给出的复数时实数，需要其虚部等于0，
实部的分母不等于0；
（2）要使给出的复数是纯虚数，需要虚部不等于0，实部的分子等于0，分母不等于0． 解答：
解（1）要使复数z=
+（m2﹣2m﹣15）i是实数，
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则⇒．
∴当m=5时，z是实数； （2）要使复数z=
+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，
则⇒m=3或m=﹣2．
∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数． 点评：本题考查复数的基本概念，关键是读懂题意，把问题转化为方程组求解，解答此题的
关键是保证实部部分的分母有意义，此题虽是基础题但易出错．
28．（2014秋•台江区校级期末）复数z1=是实数，求实数a的值．
考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：
可求得+z2=的值． 解答：
解：∵z1=
∴=（=∵
+z2是实数， +z2是=[+
+（10﹣a2）i，z2=
+（2a﹣5）i，若
+z2
+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a
+（10﹣a2）i，z2=+（a2﹣10）i]+[）+（a2﹣10+2a﹣5）i
+（2a﹣5）i， +（2a﹣5）i]
+（a2+2a﹣15）i，
∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3． 又分母a+5≠0， ∴a≠﹣5， 故a=3． 点评：本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题．
29．（2014春•周口校级月考）已知复数z1=2﹣3i，z2=（1）z1•z2；
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．求：
高二数学+复数测试题及答案解析
（2）．
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简复数z2．
（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值； （2）利用复数代数形式的除法运算化简求值． 解答：
解：z2==
又z1=2﹣3i．
（1）z1•z2=（2﹣3i）（1﹣3i）=﹣7﹣9i； （2）
=
=
=
+
i．
=1﹣3i，
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
30．（2014春•新兴县校级月考）已知复数z=
，若z2+az+b=1﹣i，
（1）求z；
（2）设W=a+bi 求|w|．
考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简求z；
（2）把z代入z2+az+b=1﹣i，整理后由复数相等的条件列式求得a，b的值，代入W=a+bi后由模的公式求模． 解答：
解：（1）z=
==；
（2）由z2+az+b=1﹣i，
得：（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i， 整理得：（a+b）+（a+2）i=1﹣i， ∴
，解得：
．
∴W=﹣3+4i． 则|w|=
．
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高二数学+复数测试题及答案解析
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算， 考查了复数相等的条件，训练了复数模的求法，
是基础题．
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