排列组合例题

分配问题

例1 （1）8名大学生分配给9个工厂，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？

（2）9名大学生分配给8个工作单位，每个单位只接受1名，

例2 （1）将6封信投入个不同的邮箱，有多少种不同的投法？

（2）把3名学生分配给5个不同的班级，有多少种不同的分配方法？

（3）将6本不同的教学参考书借给3位教师，有多少种不同的借法？

（4）8名体操运动员决赛，争夺6个体操单项冠军，有多少种不同的结果?(不设并列冠军)

有多少种分配方法？

类型一：特殊优先法

例一：一名老师和四名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，有多少种排法？

例二：某班有七人可以参加4*100接力赛，其中甲不能跑第一棒和最后一棒，问有多

少种排法？

类型二：合理分类准确分步

例3：用0、1`、2、3、4、5六个数字，

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数

（2）能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数

例4：某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？

组合型的

例五：一个小组有10名同学，其中4女6男，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法有多少种？

分析：分类和间接法均可

例6：有11名外语翻译人员，其中有5名会英语，4名会日语，另外两名英日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问有多少种不同的选派方式？

三、选排问题先选后排

例7：有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数

（1）有女生但人数少于男生

（2）某女生一定担任语文课代表

（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表

（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任课代表，但是不担任数学科代表

例8：在7名运动员中选4名组成接力队参加4*100接力赛，那么甲已两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？

解法一：由于甲已不能跑中间两棒，故先从除甲已外的5人中选2人跑中间两棒，共有 种，然后从剩余的3人及甲已共5人中选2人跑第一和第四棒，有 种

解法二：按甲已在不在接力队可分为几下三类

第一类：甲已都不在接力队，从除甲已之外的5人中选4人安排有 种

第二类：甲已两人仅有1人在对内，从甲已两人选一个有 ，该人从第1、4两棒，选一棒，有 种，其余无限制

第三类：甲已都在队内，先从除甲已外的五人中选2人跑中间两棒有 种，对甲已来说有 种

四、相邻问题捆绑法

例9：从单词“equation”中选5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”项连接且顺序不变）的不同排法有多少种？

五、不相邻问题和相间问题

例10：5个男生3个女生，排成一排，要求女生不相邻且不排两头，共有几种排法？

评注（1）插入时必须分清谁插谁的问题，要先排无限制条件的元素，在插入必须间隔的元素

（2）数清可插的位置数

（3）插入时是以组合形式还是以排列形式插入要把握准

例11：马路上有编号1、2、3、 …10的10盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种

分析：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不可暗，问题等价于

在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔插入3只关掉的灯，所以关灯的方法有

相间问题

相间问题区别于不相邻问题的一个显著特征是问题双方的元素个数只能相等或相差一个，解决方法是具体分类

例12（1）4男3女排成一排，男女生必须相间而排有多少种排法

（2）4男例13：8人排成一排其中甲已丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法种数

4女排成一排，男女生必须相间而排有多少种排法

直接插入法：即先排除甲已丙外的5人，有 种排法，在从甲已丙3个中选2人合并为一元素，和余下的1个插入6个空中，有 种插排法，故总排法种数位

间接法：先将8个全排列，减去三人两两都不相邻的和三人同时相邻的

正难则反间接法

对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数，一般含有至多至少型的问题，采用间接法

例15从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个不相邻的选法共有多少种

例16 4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，先从袋中取出4个球：

（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法

（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？

定序均分问题

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或现在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后崔其他元素进行全排列

例17 5人站成一排，如果甲必须占在已的左边，则不同的排法有解法一：5人不加限制的排法有 种，甲在已的左边和甲在已的右边的排法是相等的，所以甲必须在左边的排法数为 种

多少种

解法二：先从5人中选2个位置给甲已，有 种，然后从其余3个位置排另外3人有 种，所以不同排法种数为

比照上题做下面的题练一练

a a a a b b b排成一排有多少种排法？

两种方法都试验一下

平均分组问题

1）平均分组问题：一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分

法有

（2）部分均分问题；先将不均分的部分直接取出，如下例中第三问…其于部分在平均分组

（3）不均分问题：由于各组均不相等，因此按各组数直接组合即可，如下例中的第一问

例18 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？

（1）分成1本、2本、3本

（2）平均分成三组，每组2本

（3）分成三组，一组4本，另外两组各1本

不同元素分配的先分组后分配法（未完待续） 1 1891 2981 2 16 235