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>课程教材教法基于数学核心素养的高中数学教学设计研究———以《三角函数》为例
邵广明
广东省茂名市电白区第一中学
525000
［摘要］新课标指出袁在高中阶段的数学教学活动中袁在教授文化课知识的同时袁需要以学生为基础进行数
学核心素养的培养袁这是推进素质教育的不可忽视的一环袁因此袁对数学核心素养进行深入探讨具有十分重要的实践价值.文章从高中数学中的重点内容野三角函数冶中抽取具体教学实例袁从培养学生数学核心素养的角度入手袁在不同层面尧多个角度进行深入剖析袁旨在促进高中阶段数学教学水平的进步袁以向学生提供更具价值的教学思路.
［关键词］数学核心素养曰高中数学教学曰素质教育
一直以来袁素质教育都是我国教育学方法完成题目的求解过程.除此之目的陷阱中去.首先袁通过例1进行案例事业的核心内容袁在教育行业高速发展外袁在完成一道题目之后还需要再进行呈现.
的今日袁对学生的培养不仅仅是在知识题目的反思袁是否让一道题目发挥了它的掌握上袁更是在思维模式上袁因此袁如最大的价值在于对它的类比思考例1：
已知方程x2袁只有原3
何进行核心素养的培养引起了教育界将其真正纳入自己的知识体系中袁这道的广泛关注袁也引起了教育工作者的高题目才是真正的完成了.文章将按照解sin琢和度重视.众所周知袁数学核心素养包含决问题的思路袁从具体的教学案例入Asin.
茁2x+a=0的两根为a袁则臆a1
的取值范B.围是a臆
渊
冤
六项基本内容袁数学抽象尧逻辑推理尧数学建模尧数学运算尧直观想象尧数据分C169手袁进行数学素养的解读袁给出笔者的思考.
解析.a逸院这道12
习题出现D.在以上一次都不对
月考的析袁那么袁在高中阶段袁教学占据了学生试卷中袁在阅卷的过程中发现袁大多数大半时间的情况下袁如何在教学实践中的学生选择了错误答案月袁选错的学生的成功地培养学生应有的素养成为教师思路也很是相似袁具体过程如下所示院
思考的重点袁也为日常的教学任务提出的必要襛分析问题时培养数学素养
性
因为方程存在着两个根袁那么运用了更高的标准和要求.
为什么需要培养数学素养呢钥因为高中数学教学离不开问题的讲解袁在很多情境中袁学生形成了固定的思维根的判别式条件可以得出驻=
9
4原4a逸0袁在进行数学题目的求解时袁一般需要进模式袁只知道在一个题目中就必须按照然后求解不等式可以得到a的取值范围行如下几步院首先是分析问题袁建立已该题目所给出的条件一步一步地寻找应该如答案B所示.
知条件与所求问题之间的逻辑关系曰其问题的答案袁但是袁很多的问题并不是分析学生的错误原因袁事实上袁存在次是思考问题袁应该使用什么样的方法这样的袁它需要联系所学过的知识袁将其着一个隐含条件袁f渊x冤=sinx这个正弦函进行问题的求解袁是否存在更加高效的作为隐含条件带入这道题目中袁才能找数是有界函数袁当定义域为全体实数时数学方法得出同样的答案曰最后是解决到正确结果.如果只是一味地按照传统它的值域限定在了咱-1袁1暂之间.因此袁问题袁整理好逻辑思路并运用恰当的数
的思维模式进行解题袁就必然会陷入题
出错的学生会被题目条件所迷惑袁仅从
作者简介院邵广明渊1968-冤袁本科学历袁中学数学高级教师袁从事高三数学教学工作20年袁曾获广东省特级教师尧南粤优秀教师尧茂名市名教师等荣誉.
2019年7月（下旬）<
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所给出的条件出发袁进行计算袁势必会造成错误.究其根源袁是由于学生在回答题目的过程中没有进行严密的思考袁以至于造成求解思路的错误.正确的求解过程应如下步骤所示院
已知方程的两根为sin琢和sin茁袁可以将方程写为渊x原sin琢冤渊x-sin茁冤=0.由此可得x2原渊sin琢+sin茁冤x+sin琢窑路袁是否是需要将sin兹和cos兹的值分别求出之后再进行所求式子的计算钥如果按照这个思路进行下去袁由于没有对兹的范围进行详细的规定袁因此只能通过平方布列袁联立式子求解袁这种解题思路容易思考袁但是计算较为复杂袁很容易就在求解过程中出现一些小问题导致错误的结果.考虑一下出题人的意图袁是在教学环节中袁习题通常作为一种有效的手段用于学生数学素养的提升袁它的重要性不言而喻.但是司空见惯的题海战术是否有效还有待商榷袁真正需要的是更加高效的练习方式.教材中的习题作为经典题目袁需要在襛在相似题目中拓展数学素养sin茁=0.
联合已知条件易知有sin琢+sin茁=
3
2袁sin琢sin茁=a成立.同时袁sin琢和sin茁的取值有隐含范围为咱-1袁1暂袁易得出sin琢和sin茁必为两个正根援
令f渊x冤=x2原
3
2x+a袁则方程在渊0袁1暂扇设设驻逸0袁内有两个正根的条件是缮设设设f渊1冤逸0袁
墒
设设设f渊0冤>0援
解得
1
2臆a臆169.故选阅援
问题评析院出错的学生在开始思考
问题的过程中没有将问题需要的所有条件考虑全面袁因此袁没有对sin琢和sin茁的取值进行条件限制袁因此在得到sin琢与sin茁的和为
3
2这一条件时没有思考条件存在的可能性袁只有联系到函数的有界性质袁才能得出正确的结果.当忽略掉题目当中的隐含条件即野方程仅可能在渊0袁1暂之内存在2个正根冶的时候袁就必然会导致错误的计算结果.
数学素养正是在一次次的习题解答中建立起来的袁但是解决问题并不是盲目地进行机械化的训练袁而是通过相关技巧进行高效的练习.在进行阅读题目的过程中袁需要学会对已知条件进行有效的分析袁找到已知条件和最后结果之间存在的逻辑关系袁通过适当的数学思维来体验数学的乐趣袁在解决问题的过程中落实数学素养.
下襛在解决问题时建立数学素养面通过例2和例3进行分析.
例2：
已知sin兹原cos兹=1
cos2袁求sin3兹原3兹的值援
解析院在这个问题之中袁条件只有
sin的结果兹原cos联兹的系差起来值袁.但那是么无就法出现了一个直接与要求
思
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否是通过三角函数的形式简单地考查数学计算能力呢钥如果不是以耗费时间进行冗长的计算为目的袁那么应该存在更为巧妙的计算方式.将所求式子进行变形可以得到sin3渊sin兹原cos3兹=渊sin兹原cos兹冤窑2sin兹cos兹+兹sin冤袁兹那cos么兹只需+cos2求兹冤得=渊sinsin兹兹cos原cos兹的兹冤值渊1即+
可.将已知两边平方得sin兹cos兹=
38袁再将整体代入所求式子的变形中去即可求得结果为
1116援这个例子就是典型的野知二求一冶的问题sin兹依cos袁兹通袁sin过兹归纳cos兹（或求解sin方法可知袁对于2兹）
这3个式子袁利用渊sin兹依cos兹冤2
=1依2sin兹cos兹即可获得
简便的求解方法援
例3：（人教粤版数学必修4第146页复习参考题粤组第7题）
已知cos渊琢+茁冤=1
5袁cos渊琢原茁冤=35袁求tan琢tan茁的值援
解析院此题需要从结果入手进行式子的变形袁通过逆向思维找到需要的求解条件援将求解式子变形可得tan琢tan茁=sin琢sin茁袁因此所需求的式子变为sincos接使琢琢sincos用茁茁了
C和渊琢+cos茁冤与琢Ccos渊琢-茁茁冤公袁联式系袁得已到知条件以sin琢可直sin茁
和cos琢cos茁为整体未知数的二元一次方程组袁求解后整体代入即可求得最后的
结果.
按照传统的逻辑思路来说袁正是需
要从条件出发寻求问题的结果袁但是从结果入手简化所求条件可以使得问题变得更为简单明了袁这种解法源于逆向思维需要以所求条件为切入角度袁通过反向追溯的方式得到更为简便的解题思路.因此袁如何建立条件与结果之间的内在联系袁这需要扎实的数学理论知识和灵活的思维方式袁逐渐培养起这样的内在感知联系袁也逐渐培养起学生的数学素养.
深入透彻学习的同时发挥其独特的辐射作用袁将相似度高的题目进行类比总结袁找出相似性和相异性袁一题多变袁反复练习袁只有做到举一反三才是真正做到了对题型的掌握.通过对题目的相似性练习袁能够让学生在培养熟练度的同时找到更多的灵活思维方法袁熟能生巧袁在教师的积极引导下形成专业的数学素养.下面通过例4及其变形来进行讲解.
例4：（人教粤版数学必修4第140页例3）
求函数f渊x冤=sinx+姨
3cos蓸x的仔最值援解析院变形为f渊x冤=2sinx+得f渊x冤min=原2袁f渊x冤max=2援3蔀袁易蓘变式1院求f渊x冤=sinx+原仔姨
3cosx袁x沂
6袁仔6解析蓡的最值援蓘院因为f渊x冤=2sin蓸x+
为x沂原
仔6袁仔6蓸蓡袁所以x+仔沂仔袁仔蓡袁所以f渊x冤min=f原仔3蓘仔36蔀袁又因26=
f
蓸仔蔀=2伊1
2=1袁f渊x冤max
6变蔀=2伊1=2援式2院求仔f渊x冤=sin2x+2姨
3袁x沂蓘原
袁仔姨3cos2x原
的最值解析因为66援院f渊x冤蓡
=sin2x+2姨
3=sin2x+2姨
3伊
1+cos姨
3cos2x原
22x
原 sin2x+姨
3cos2x=2sin2x+
仔姨3=x沂蓘原仔36袁仔6袁2x+仔3蓸沂0袁23蔀仔.又因为袁所以f渊x冤min=f蓸原仔蓡6蔀=2伊0=0袁f渊x蓘冤max
=f蓸蓡12仔1=2援
蔀=2伊
变式3院求函数f渊x冤=2sin2
蓸仔4+x蔀+投稿邮箱院sxjk@vip.163.com
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>课程教材教法姨3cos 2x袁x沂原
解析院因为f渊x冤=1原cos2
蓘仔仔的最小值援袁
62蓡合袁通过给出的信息来进行反向的推理和计算袁最终解决问题.若相符合袁则结果得到论证曰若不符合袁则假设不成立.这类问题袁是让学生通过野找问题冶来进行分析和推理袁从而形成怀疑和批判的态度和意识袁在自主探究的活动当中找出有效的方式袁提升学生的逻辑思维的严密性.函数f渊x冤=2cos2x+2姨3sinx窑例5：
问题评析院这样的问题在高中数学习题中是较为常见的一种类型袁这种问题明显属于野存在性冶问题的讨论袁首先对f渊x冤中的高次幂三角函数进行降次处理袁通过高次幂三角函数和二倍角公式的相互转化关系袁最终将函数等价转化成单个三角函数的形式袁进而求得函数周期尧最大值和最小值等问题袁在这种类型的问题中袁函数的等价转化是解决问题的重点与难点.
姨3cos 2x=sin2x+姨3cos 2x+1=2sin2x+
所以2x+
蓘蓡1仔仔蓸蓸蓸仔仔仔+1.又因为x沂原袁袁3624仔仔沂0袁袁所以f渊x冤min=
33蔀
+x蔀+蓸仔4蓘蓡f2蔀=2伊2+1=0袁f渊x冤max
=f1+1=3.
蓸原蔀12蔀=2伊
在上述的题目中袁可以看到一个规律是袁自变量的定义域在不断地变化袁从最初的全体实数到逐步限定区间袁同时正弦项和余弦项的次数在不断地升高袁导致函数的最值也在不断地发生变化.通过仔细地分析题目和细致地运算袁可以很容易得到正确的结果.因此袁将经典题目加以变化袁可以得到举一反三的效果袁不断地训练学生的思考方式和探索兴趣.在这样的实际训练中袁学生的思维可以得到扩展袁最终提升自身解决问题的能力.
在襛在探索问题时培养数学素养解决数学题目的时候袁运用的就是一个学生的综合的数学能力袁包括分析问题的逻辑推理能力袁思考问题时的数学思维方式和计算问题时的综合计算能力等.通常情况下袁一个学生的逻辑推理能力是解决题目最为重要的地方袁这种能力的正确建立会使得学生在进行数学学习的时候起到事半功倍的效果袁对于遇到的任何数学题目都能够建立起自己独特的思考模式袁那么在接下来寻找切入点进行问题解答时会更加的得心应手.
数学课程当中虽然逻辑推理比较重要袁但是常识道理也不容忽视.通过分析一些比较典型的例子和学习进行自主性的探究袁能够让学生加深对数学概念的理解程度袁逐步分析出题目隐藏的思想方式.对数学发展的历史进行分析袁将数学的学术知识转换成学生最容易接受的文本知识直观重要.近些年来袁在高考题目当中袁探索性的问题屡见不鲜袁其解决就是先对结论进行肯定袁然后以此为基础袁与当前的知识进行结
cosx+m渊1袁冤x函沂数Rf援
如果存在请指渊出x冤袁是否并计存算函在最数小f渊正x冤周的期最袁
大值曰
渊2值蓘0袁
仔蓡冤如果函数f渊x冤的定义域为
2袁是否存在实数m袁使函数f渊x冤的域恰为蓘12袁7
2蓡钥若存在袁确定未知数
m的值曰若不存在袁则请说明理由援
解析院渊1冤首先对函数f渊x冤进行等价
变形院f渊x冤=1+cos2x+仔姨3sin2x+m=2sin蓸2x+
变形可知袁6函蔀
+m+1.经过函数f渊x冤等价数中的正弦函数部分决定了整个函数的变化规律袁因此袁T=仔是函数f渊x冤中正弦函数的最小正周期袁也是函数f渊x冤的最小正周期.在正弦函数的最大值处函数f渊x冤也达到该函数的最大值为m+3.
渊2冤首先袁假设存在这样的一个符合题意的实数m使得题目条件成立.因
为x沂蓘仔2的范围为蓘0袁
仔6袁76仔则蓡袁可得2x+仔6袁有sin仔1成立袁所以蓡数蓸2x+6f渊x冤=2sin蔀沂蓸2x+蓘原2袁1求得函仔蓡m+1的值域为咱m袁m+3暂援又因为存在6蔀+
已知条件使得f渊x冤沂
蓘12袁72袁通过联立方程可以解得未知数m=
1
.蓡2因此袁可以得出最终结论袁存在这样一个实数m使得题目条件成立袁即当且仅当m=1
2袁函数f渊x冤的值域恰为
蓘12袁7
2蓡援孔夫子野襛在反思问题时提升数学素养学的而至理不思名则言罔袁其袁思目而的不是学教则育殆我冶们是
要通过反省反思的方式从问题中获取价值来达到完善自己的目的.在数学的实践教学环节当中袁学生不但要努力地发现和探索新的问题袁而且也需要对出现的问题进行独立的思考尧回顾和分析袁在反思中找出思维存在的错误的地方进行细细琢磨以进行及时纠正.在推导的过程之中袁逻辑关系可能是引起错误的关键点袁因此袁及时对逻辑思考过程进行严格的审查袁找出问题潜在的地方并给予恰当的时间和精力进行思考和调整袁这样可以锻炼学生精准把控问题的能力袁对解决问题的准确度也有了大幅度的提高袁这是培养学生数学素养最为有效和最具价值的方式.
首先袁需要在得出计算结果的时候对结果是否正确给予恰当的反思袁下面通过例6进行说明.
例6：（人教粤版数学必修4第22页月组第2题）
对式子
1原sin琢原
11原+sinsin琢琢进行适当的化简操作袁其中琢为第二象限角援
姨1+sin琢姨姨解析院学生作业出现如下错解院原式=
渊1+sin琢冤2
1原sin2琢原
渊1-1原sinsin琢2琢冤2=1+cossin1原琢琢
原
cossin琢琢=2因为琢cossin为琢琢
=2姨tan琢援第二象限角袁所以可以确定结果的符号袁得到最终答案为2tan琢援问题评析院出现这个问题是由于在
审题时比较粗心和大意袁题目中琢为第二象限角是已知条件袁学生在运算的过程中并没有将这一条件考虑进去袁导致结
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>课程教材教法果为2tan琢袁默认为cos琢>0.如果学生的计算结果是正确的袁那么2tan琢=原2tan琢推导出2=原2袁这是绝对不可能的.通过利用一些有误的资源来对学生的认知产生冲突袁能够让学生及时纠正错误袁提升自身思维的严谨性.
其次袁需要对方法的有效性进行反思袁下面通过例7来进行说明.
例7：（同例6）对式子
1+为姨1原sinsin琢琢原
11+原sinsin琢琢进行适当的化简操姨
作袁其中琢
第二象限角援
解法1院根据题意对式子进行等价变形袁进行如下操作院
原式=
渊1+sin琢冤2原
1原sin2琢1原sinsin琢2琢冤2=
1+cossin琢琢原1原因为琢为cos姨sin第二象限角琢琢
援姨渊1-袁所以cos琢<0袁进
行去绝对值符号操作可得院
原式=原1原sin琢+1原sin琢原2sin琢
原2tan琢援
cos琢=cos琢=
解法2院根据题意对式子进行等价变形袁进行如下操作院
原式=
渊1-1原sinsin2琢琢冤原
渊1-1+sin221cos原sin琢琢原1+cos姨
sin琢琢援
姨sin琢琢冤2=
因为琢为第二象限角袁所以cos琢<0袁进行去绝对值符号操作可得院
原式=1cos原sin琢琢原1+cossin琢琢=1原原cossin琢琢+
1+cossin琢琢=
原cos琢原cos琢sin1原琢sin+cos琢原sin琢cos琢2琢=原2sincos琢cos琢2琢=原2tan琢援
问题评析院通过两种解法解答题目
后我们来进行一下反思袁虽然解答的思路并不相同袁但是得到的最后的答案是相同的袁那么袁两种解答相比而言袁哪种方式更加合理呢钥学生通过自身思考都认为解法1优于解法2袁这是由于在解法1中袁对分母的计算操作不是盲目的袁而是在朝向既定目标而进行努力袁在这里分母有理化是为了能够将分母变形为cos琢
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>2019年7月（下旬）
的单项式袁那么袁在接下来的操作过程中袁就可以省略掉通分的计算过程使计算变得更为简便曰而解法2当中袁相比于解法1更为烦琐.在对习题作业进行讲解和评述的过程当中袁通过分析和比较袁让学生能够对题目进行分析袁从而找出更加合适和优秀的解题思路和方法袁提升学生的解题能力.在对结果是否正确进行检验反思的时候袁可以进行解题思路的重新思考袁寻找是否有更为简便高效的解题思路袁可以对思考过程进行有效的锻炼袁通过对一道题目反复剖析袁多次解答袁可以有效地提升学生的数学核心素养.
最后袁还需要对题目的正确性进行分析和反思.在分析和反思的过程中袁如果发现了问题要勇于质疑和发声袁找出错误的源头.在纠正错误的过程当中引起更多思考袁加强理解和认知.这样在以后的学习当中才不会犯同样类型的错误袁才能够不断地提升自我.下面通过例8来进行说明.
例8：
已知sin琢=57袁cos渊琢+茁冤=11
14袁且琢和茁为锐角袁求cos茁的值援
解析院这道习题一直在众多的教学资料中作为经典例题被广泛使用袁然而沿用多年却是一道错题援事实上袁因为cos琢=姨
1原sin琢=
2姨
26<11
袁所以cos茁<仔渊琢袁所以+茁冤逸琢cos+茁亦琢.为据锐琢袁角茁7为援锐在角14渊0袁袁得仔冤0<内琢余+弦函数为减函数袁所以琢+茁<琢袁茁臆0袁这与琢袁茁为锐角矛盾袁故通过本题所给的条件会推导得出自相矛盾的结果.因此袁原题的逻辑存在问题袁是一道错误的题目援
问题评析院如果题目当中角琢+茁更换为琢原茁袁其余的条件并不改变袁通过替换原有条件可以将一道无逻辑的题目改换为一道经典题目袁解决原有的矛盾问题.学会提出问题尧自主寻找问题要比埋头苦做更能锻炼学生的思考能力袁这需要严密的逻辑思维能力和敢于质疑的勇气袁找到问题产生的源头并予以纠正袁对合理的地方进行分析加以完善袁这样学生再解决问题时思路才能够更加清晰和明确袁对于书本不迷信和盲从袁学生独立思考的意识得到强化才能够进一步升华学生的核心素养.
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襛解答高考习题训练逻辑推理例9：
已知函数f渊t冤=1+tt袁g渊x冤=cosx窑f渊sinx冤+sinx窑f渊cosx冤袁姨
1原x沂仔袁
Asin渊渊棕1x+冤对函渍冤+B数渊g渊Ax>0冤进袁棕行>0化袁简渍沂渊袁蓸1712仔蔀援最0后袁2得仔冤冤到
的形式渊解析2曰
冤求院函首先数g袁渊x我冤的们值来将域援
题目分析一下.第渊1冤问是常见的函数变形问题袁在这类题目中袁对函数进行有预见的处理会大大提高解题效率.函数的变形并不是盲目的袁如果单凭运气去凑相似形式将会耗费许多的时间和精力.下面我们来具体分析例题袁在这道题目中袁尝试发现袁如果将f渊sinx冤袁f渊cosx冤分别化简为1原sinx和1原cosx
袁之后通过已知条件对绝cos对值x符号sin进行x简化操作可以使得后续计算流程变得简易明了袁也为最后把g渊x冤化简成为单角三角函数变式的形式打下基础.这样的思维方式是通过多次练习后反思总结规律得来的袁因此袁要在解题的过程中不断地总结经验教训袁并加以适当的逻辑思考袁最终形成自己的解题思路袁在之后的问题解答中灵活运用袁这样才能成为学生自己的素养和能力.
数学学习中襛开发有效错题培养学生素养袁错题和做题一样常见.因此袁作为数学学习中的重要一环袁错误的有效利用就显得尤为重要了.其实袁在教学中袁教师比起学生拥有天然的优势袁他们可以接触到更多的学生袁因此可以获得到更多的错题资源袁在数量和质量达到一定程度后袁教师可以将这些典型错题向更多的学生进行展示.通过分析袁指出解题过程当中正确的部分袁通过对学生工作进行肯定的方式激发学生的创造力和积极性袁同时袁让学生在错题中获得自我反思的机会.教师应该学会在辩证中看待学生的错误问题袁需要将学生的错误看作在曲折中成长时不可缺少的重要环节.一方面袁学生需要在错误中得到成长袁只有犯过错误才能不断地提升和完善自己曰另一方面袁教师需要对这些教学资源进行有效的利
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>课程教材教法用袁可以让一个学生的错误为更多的学生创造价值.因此袁教师在帮助学生改正错误的同时袁也要建立起自己的错题资源体系袁因为袁教师的提升是更多学生素养提升的强效办法.下面袁通过例10来进行讲解.
例10：（2015年广东卷文科第16题）思路都没有什么问题袁学生出错的地方究竟在哪里呢钥
首先袁值得肯定的是袁学生的整个解题的逻辑思维方式是正确的袁出错的地方在于第渊1冤问中袁在使用差角公式的时候出现了错误却没有注意到院
生的数学素养袁也正是在这样反复训练的过程中逐渐得到培养的.
仔琢+的反复锻炼提升数学能力
襛通过数学建模和建模反思
事实上袁一切的学习过程都是以应已知tan琢=2援
渊1冤求tan琢+仔渊2冤求4的值曰解析院此题sin蓸2琢+sin琢sin蔀cos2琢琢原cos2琢原1的值援是某校高三的某周考题袁一位学生进行了如下的解答方式院
渊1冤由tan琢=2得tan2圳
tan琢+
仔=2袁解得tan1原tan蓸蓸琢+
4仔4蔀蓘蓸琢+仔4 原仔蓸蔀4=琢+
仔蓡42蔀=3援蔀渊2冤由二倍角公式可得tan2琢=
12原tantan琢
2琢=
14原4=原4
扇设设3袁联立缮设设sin2琢=原4
设3袁解之得4
墒
设设设sincos2琢2琢+cos2琢=1袁到sin2琢=
5袁cos2琢=原35.
原式=
1原cossin2琢=
22琢+12sin2琢原cos2琢原1sin2琢2+3sincos2琢2琢原1=2伊
3
453
5原9=原.
5原15但是袁在批改试卷的过程中袁曾经有一位老师对这样的解答哭笑不得袁该学生的解题方法复杂不说袁最后还得出了一个错误结果袁这就是费力不讨好的典型写照.
该老师在试卷上留下了这样的解答方式院tan蓸琢+仔4蔀=tan琢+tan仔41原tan琢tan
仔=原3.
4比起学生的解答来说袁该老师的解答方式让此问题变得简单而易懂.
很明显袁两个方法得到的计算结果大相径庭袁那么为什么学生没能得出正确答案呢钥明明单独看起来袁每个解题
tan
蓘蓸琢+仔4蔀 原仔4蓡=2圳tan蓸4蔀原1
1+tan蓸琢+
仔蔀=2.4同学的思路是将三角函数中的式子通过配凑的形式转换为未知数与常角的和或与常角的差的形式袁通过常角三角函数值的计算袁将值代入方程之中最后求得未知数的值.
在第渊2冤问之中袁通常经过适当的分析可知有两种解题思路院一是求单角的值袁将式子等价转化为单角形式代入求值曰二是求二倍角的值袁将式子等价转化为二倍角的形式带入求值.但是通过单角的切值很容易求得二倍角的切值袁即由tan琢=2容易得到tan2琢=原4
3袁那么
可知第二种思路可能更为简单袁最终将式子统一转化为二倍角的形式.但是袁同学的解题思路中忽略了一点袁求解联立方程组的时候袁还可能存在另一组解sin2琢=原4袁cos2琢=3
袁这组解需要通过
tan然袁琢上=2>05述学这生一的解题条件判5过断后程中进还行存取在着其舍.当
他错误袁如代值错误尧符号错误等.事实上袁正确的答案是原式=2sin琢
2伊4sin2琢原3cos2琢原1=
4蓸55原3伊原35蔀原1
=1.
这样同样能够得出最终的正确结果袁在三角变换当中袁角的转换是最为核心的内容袁需要注意角之间存在的结构差异袁而三角公式就能够将这些结构差异理清楚.在错误当中寻求正确的答案袁在正确答案当中寻求最佳的解题思路和方法袁这是探索的体验.利用辩证唯物主义当中的观点来对学生整个解题的过程进行评价袁能够打破僵化的固定思维模式开拓出新的思路袁让学生的逻辑思考能力和综合思维能力在训练中得到提升袁而我们的最终目的要要要学
用为最终目的的袁野纸上得来终觉浅袁绝知此事要躬行冶袁只有真正能解决问题的知识和能力才是有价值的学习.在数学的学习活动中袁数学建模就是联通知识学习与解决问题的一道桥梁袁也是数学的重点与难点.学生在数学建模活动中袁能够运用知识学会如何解决实际问题并锻炼自己的数学思维能力袁不仅如此袁数学建模作为一项联系实际的手段袁它还与其他学科存在着千丝万缕的联系袁在我们的生活中有着广泛的应用前景.除此之外袁数学建模还有着自己独特
的优势袁作为少数能与生活场景产生相关性的学科袁数学建模以深入生活的方式引发了学生的广泛兴趣并激发了学生潜在的创造力袁让同学们真真切切地感受到生活中数学应有的魅力所在.
为什么需要在数学建模中反思呢钥这的确是数学建模中不可缺少的一步.毕竟是与生活息息相关的工作方法袁在理论上来说袁数学建模是应用数学模型去拟合实际问题建立数学思维方式.那么袁拟合这一步就存在着产生误差的可能性袁需要去不断地完善袁让数学模型无限地趋近于实际问题袁这样的过程就需要不断地反思来完成.这样的过程才是真正提升学生解决问题的强效手段袁能够在反思中提升袁在提升中获得解决问题的乐趣袁可以极大地提升学生的数学核心素养.
经襛结束语过前面的数项分析袁我们得出在高中阶段的数学教学活动中袁数学核心素养的养成是教育的根本目标.学习需要以兴趣为导向这就引发教师广泛思考如何将学习变得更为生动这一议题袁在高效学习的同时袁还提出了趣味学习的更高要求.数学教师们除了形成灵活高效的数学课堂教学体系外袁还需要综合利用各种可得的教学资源袁调动学生学习积极性的同时袁提升学习的效率尧提高学生的能力尧提升学生的数学核心素养.
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