空间向量高中数学教案

考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．

2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两

证明平行与垂直 定义、加法、减法、数乘运算 空间向量

数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求空间角 求距离 点间的距离公式．

高考导航 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

第1课时 空间向量及其运算

基础过关 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．

2．线性运算律(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量

(1) 加法交换律：a＋b＝ ．(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ．(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．

(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ．

(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在tR，使 ．

4．共面向量

(1) 共面向量：平行于 的向量．

(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y)，使P ．

共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理

(1) 空间向量的基底： 的三个向量．

(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使 ．

空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 ．6．空间向量的数量积

(1) 空间向量的夹角： ．

(2) 空间向量的长度或模： ．

(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．空间向量的数量积的常用结论：

(a) cos〈a、b〉＝ ； (b) a2＝ ；

(4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律a·b＝ ； (c) ab ．(b) 分配律a·(b＋c)＝ ．例典型例题1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心， 若AFADxAByAA1，求x－y的值.解：易求得xy,xy012变式训练1. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的向量是

A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．ab＋c 解：A

121212121212 ( )

A1

B1

C1

D．ab＋c

1212A

D B

C

例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.

证明：记ABa,ACb,AA1c,则

∴DBDC1acAB1,∴AB1,DB,DC1AB1ac,DBABADa11b,DC1DCCC1bc22共面.

∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.

变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．(1) 求证：MN∥平面FC； (2) 求证：MN⊥AB；

(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1) 设

NBMCk,则MN(k1)BCkBF.EBAC(2) MNAB(k1)BCABkBFAB0.(3) 设正方体的边长为a,也即AM1AC时，MN2min2a2例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．

证明：(1) AD⊥BCADBC0．因为ABCDABCD0，ACBDACBD0，而

ADBC(ABBD)(BDDC)0．

所以AD⊥BC．

(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，GHGAAH＝

2EF． 32(EAAF)＝3变式训练3：已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，E、F、G、H分别为棱A1D1,D1C1,C1C和AB的中点．求证：E、F、G、H四点共面．

解：HGHCCG＝HCGC1＝HCGFFC1＝A1FFC1GF＝2EFGF，所以EF,EG,EH共面，即点E、F、G、H共面．

例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝GB，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．解：设APmAC14312C1 D1 C P D F A E B1

A1 B G ∴AP3mAGmAE2mAF又∵E、F、G、P四点共面，∴3mm2m1∴m3 ∴AP︰PC1＝3︰161943变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证PMQN．

1证明：法一：OM(OBOC)2PMPOOM1(ABOC)2法二：PM·QN＝(PQ＋QM)·(QM＋MN)＝(ABOC)·(OCBA)＝(OCAB)＝014221212故PMQN小结归纳 1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．

2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．

3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝abab．

4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|CDn||n|.

5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝|PoPn||n|.第2课时 空间向量的坐标运算

基础过关 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)(1) a±b＝ (2) a＝ ． (3) a·b＝ ．

(4) a∥b ；ab ． (5) 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB ．

AB的中点M的坐标为 ． 典型例题 例1. 若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5)

（1）若(ka+b)∥(a－3b)，求实数k的值； （2）若(ka+b)⊥(a－3b)，求实数k的值； （3）若kab取得最小值，求实数k的值． 解：(1)k； (2)k1068； (3)k 32713变式训练1. 已知O为原点，向量OA解：设OC3,0,1,OB1,1,2,OCOA,BC∥OA，求AC．

x,y,z,BCx1,y1,z2，

R，

∵OCOA,BC∥OA，∴OCOA0，BCOA3xz0,x13,3xz0,∴，即 x1,y1,z23,0,1y10,z2.7211解此方程组，得x,y1,z,。

101010

∴OC2173711,1,，ACOCOA,1,。 10101010例2. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA＝CB＝1，BCA90，棱AA12，M、N分别A1B1、A1A是的中点． (1) 求BM的长； (2) 求cosBA1,CB1的值； (3) 求证：A1BC1N．

解：以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．BM(10)2(01)2(10)23. (2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.

x A1 M A C C1 N z B1 B y

cosBA1,CB1BA1CB1BA1CB130. 1011221122(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N(,,2),A1B(1,1,2),C1N(,,0).

变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．

解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、

A C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, PAC， ∴NEAP0NEAC012P E · D B C

, 1)，依题设N(x, 0, z)，则NE＝(－x,

12, 1－z)，由于NE⊥平面

1z10(x,,1z)(0,0,2)02即 113x0(x,,1z)(3,1,0)0223x6z1，即点N的坐标为(

36, 0, 1)，

从而N到AB、AP的距离分别为1，

36.

(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝|NANE|

|NE|331,0,1)(,,0)|136623121231|(,,0)|62＝

|(.

例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥PABCD中，ABC60,PAACa,PBPD2a，点E在PDP 上，且PE:ED＝2:1． (1) 证明 PA平面ABCD；

(2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

(3) 在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 解：（1）证明略； （2）易解得30；

B C A E D （3）解 以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为 所以AE(0,a,a)，AC(BP(23133131a,a,0)，AP(0,0,a),PC(a,a,a) 22223131a,a,a)，设点F是棱PC上的点，PFPC(a,a,a)，其中01，则222233a(1)a12231121BFBPPF(a(1),a(1),a(1))．令BF1AC2AE得a(1)a1a2

232221a(1)a23解得,1,212123113，即时，BFACAE．亦即，F是PC的中点时，BF,AC,AE共面，2222又BF平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC．

例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.

(1) 求EF和点G的坐标； (2) 求GE与平面ABCD所成的角； (3) 求点C到截面AEFG的距离．

解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴EF(1,0,1) 又∵AGEF，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD的法向量DG(0,0,1).

GE(1,4,2)，设GE与平面ABCD成角为，则

F Z G D A x B E C y

cos(2)DGGE|DG||GE|22121∴arcsin

221 21(3)设n0⊥面AEFG，n0＝(x0，y0，z0)

∵n0⊥AG，n0⊥AE，而AG＝(－1，0，1)，AE＝(0，4，3)

x0z0x0z003n0(z0,z0,z0) ∴344y03z00y0z04P A G F D

取z0＝4，则n0＝(4，－3，4)

B E

C ∵CF(0,0,4),d|CFn0||n0|1641 41即点C到截面AEFG的距离为

1641． 41变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG

1GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点． 3(2)求点D到平面PBG的距离；

(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求

PF的值． FCGC、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，解：(1)以G点为原点，GB、2，0)，

P(0，0，4)，故E(1，1，0)，GE＝(1，1，0)， PC＝(0，2，4)。

cosGE，PCGEPC|GE||PC|210， 10220∴GE与PC所成的余弦值为

10． 10 (2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .

33333ADBC(，，0)，∴点D到平面PBG的距离为|GDn |＝. 442223333 (3)设F(0，y，z)，则DF(0，y，z)(，，0)(，y，z)。

222233∵DFGC，∴DFGC0，即(，y，z)(0，2，0)2y30，

2233∴y , 又PFPC，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，

22∵GD3531PF3故F(0，，1) ，PF(0，，23。 3)，FC(0，，1)，∴

PC22252小结归纳 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．

运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．