、导数
1．函数的平均变化率为
y f f (x
2) f(x1) f(x1 x) f(x1)
x x x2 x1 x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2 ：函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均 速度。
2、 导 函 数 的 概 念 : 函 数 y f(x) 在 x x0 处 的 瞬 时 变 化 率
是 lim lim
y
f(x0 x) f ( x0 )
，则称函数 y f (x)在点 x0处可导，并把这个极限 x
'
'
'
0 x x 0 x
叫 做 y f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f(x0) 或 y|xx， 即 f(x0) =
0
lim
y
lim
f(x
0
x) f(x)
0.
x 0 x x 0 x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意
义是切线的斜率。
4 导数的背景( 1 )切线的斜率；( 2 )瞬时速度；
5、常见的函数导数
函数 yc * y xn N导函数 y' 0 n 1y' nxn xy a a 0,a 1 x xy' aln a x ye y' e y loga x a 0, a 1, x 0 y' xln a 11y ' y ln x x x y sin x y ' cos x y cos x y ' sin x 6、常见的导数和定积分运算公式 :若 f x ， g x 均可导（可积），则有：
和差的导数运 f(x) g(x) f '(x) g'(x) 算 ''积的导数运算 f(x) g(x) f(x)g(x) f (x)g(x) 特别地： Cf x ' Cf ' x f(x) ' f'(x)g(x) f'2(x)g(x) (g(x) 0) 商的导数运算 g(x) g( x) 2 特别地： 1 ' g2 '(x) g x g 2 x 复合函数的导 y x yu u x 数 微积分基本定 b f x dx a 理 (其中 F ' x f x )
b b b 和差的积分运 算 积分的区间可 加性 [f1(x) f 2( x)]dx a bb 特别地： af1(x)dx f2(x)dx a a kf(x)dx k a f(x)dx(k为常数 ) bcb f (x)dx f(x)dx f ( x)dx (其中a c b) a a c 用导数求函数单调区间的步骤 : ①求函数 f(x)的导数 f '(x)
②令 f '(x)>0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③令 f '(x)<0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；
［注］：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7. 求可导函数 f(x)的极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数 f '(x) (3) 求方程 f '(x)=0 的根 (4)
用函数
的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小 开区间， 并列成表格， 检查 f (x) 在方程根左右的值的符号， 如果左正 右负，那
/
么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无 极值
8. 利用导数求函数的最值的步骤 :求 f (x) 在 a,b 上的最大值与最小
值的 步骤如下：
⑴求 f (x) 在 a,b 上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值。 ［注］：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最 值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤 : 分割 近似代替 求和 取极限
( “以直代曲 ”的思想)
10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1 1dx b a
性质 5 若 f (x) 0, x a,b ，则 f(x)dx 0 a
b b b b a[f1(x) f2(x)
①推 fm(x)]dx a f1 (x)dx a f2(x)dx
f(x) 广：
②推广 : f (x)dx f (x)dx f (x)dx f(x)dx
b
b
c
c
b
1
2
a
a
c
a
1
c
k
11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正
值，也可能取负值，还可能是 0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，
且等于 x 轴上方的图形面积；
( 2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方 时，定积分的值取负值， 且等于 x 轴上方图 形面积的相反数；
3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等
于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下 方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（ 1）位移的导数为速度，速度的导数
为加速度。（ 2）力的积分为功。 二、推理与证明知识点
13. 归纳推理的定义：
从个．别．事．实． 中推演出一．般．性．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一．般．的推理。
14. 归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
15. 归纳推理的特点 :
① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象， 归纳所得的结论是尚属未 知的一般现象。
② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需经过 逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③ 归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理的猜想， 可以作 为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16. 类比推理的定义： 根据两个（或两类） 对象之间在某些方面的相
似或相同， 推演出它们 在其他方面也相似或相同， 这样的推理称为类比推理。 类比推理是由 特．殊．到特．殊．的推理。
17. 类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 推测新的结论
18. 演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 （包
括定义、 公理、定理等） 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 演绎推理是由一般．．到特． 殊．的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20. “三段论”可以表示为：①大前题： M是 P②小前提： S是 M ③
结论： S 是 P。
其中①是大前提， 它提供了一个一般性的原理； ②是小前提， 它 指出了一个特殊对象； ③是结论， 它是根据一般性原理， 对特殊情况 做出的判断。
21. 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、
定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22. 综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代
替前面的条件，直至推出要证的结论。
23. 分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面
的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形要证 A，只要证 B，B应是 A 成立的充分条析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开
24 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证
实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正．确．．，即所求证命题正确
26 常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词 原结论词 反义词 存在 x 使不对所有的 x 至少有一个 一个也没有 成 都 成立 立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不存在 x 使成 成 立 立 至多有 n-1 至少有 n 个 个 至少有 n+1 至多有 n 个 个 p或q p且q p 且 q p 或 q 27.反证法的思维方法 : 正．难．则．反．
28.归缪矛盾
（1）与已．知．条．件．矛盾:
（ 2）与已
有公理、定理、定义．．．．．．．．．．
矛盾；
（ 3）自．相．矛盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整．数．．有关的数学命题）的步骤 （1）证明：当 n 取第．一．个．值． n0 n0 N 时命题成立； （2）假设当 n=k （k∈N ，且 k≥n0）时命题成立，证明当
*
n．=．k．+．1．时命题也 成立 .
由（1）， （2）可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确
［注］：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30. 复数的概念：形如 a．+．b．．i 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单
位， a 叫 实部， b叫虚部，数集 C a bi|a,b R 叫做复数集。
规定： a bi c di a
．．．
=
c 且
．
相等。
b．=．d．强调：两复数不能比较大小，只有相等或不
，
实数 ( b 虚数 (b 0)
纯虚数(a 0)
一般虚数
(
a 0
)
31．数集的关系： 0) 复数Z
32. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应 33. 复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数 z a bi ，都可以由
一个有序实数对 (a,b) 唯一确定。
由于有序实数对 (a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应， 因此复 数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。 这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做
虚轴。 实轴上的点都表示实数， 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚 数。
34. 求复数的模 ( 绝对值 ) 与复数 z对应的向量 OZ 的模 r 叫做复
数 z a bi 的模( 也叫绝 对值) 记作 z或a bi 。 由模的定义可知： z
a bi a b
2
2
35. 复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：
za bi与 zc di ，则 zza c (b d)i 。 注： 复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。
1
2
1 2
②复数的乘法法则： ③复数的除法法则： 化因子
(a bi)(c di) ac bd ad bc i 。
ac
bi (a bi)(cdi) acbd
di(cdi)(cdi)c2d2
c2 d2i其中 c di叫做实数
bc
ad
36. 共轭复数 : 两复数 a bi与a bi 互为共轭复数，当 b 0时，它们叫
做共 轭虚数。 常见的运算规律
(1) z z ; (2) z z 2a, z z 2bi;
2 2
22
(3) z z z z a b ;(4) z z;(5) z z z R
2 2
(6)i
4n 2 4n 3
i,i
2
1i
2
(7) 1 i i;(8) 1i i,4n 4 1
i ; 1i i1i (9)设 1
3i
2是,
1的立方虚根，则
2 3 n 1 3 n 2 3n 3
(1) z z ; (2) z z 2a, z z 2bi;
1
0 ，
, , 1
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