城区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A.yex B.yx C.ylnx D.yx 2． 将函数f(x)2sin(3x)的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g(x)的图象， 364则g(x)的解析式为（ ）
xx)3 B．g(x)2sin()3 3434xxC．g(x)2sin()3 D．g(x)2sin()3
312312A．g(x)2sin(【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 2＋ai
3． 设a，b∈R，i为虚数单位，若＝3＋bi，则a－b为（ ）
1＋iA．3 C．1
4． 已知△ABC中，a=1，b=A．150°
B．90°
5． 已知函数f（x）=x2﹣
B．2 D．0
，B=45°，则角A等于（ ）
C．60°
D．30°
，则函数y=f（x）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6． 已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（ x1≠x2），下列结论正确的是（ ） ①f（x）＜0恒成立；
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④⑤
； ．
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A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤
的左右焦点，若椭圆上存在点P使得
，
7． 已知点F1，F2为椭圆
则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，] C．（，] D．[，1） 8． 若椭圆A．1
+
=1的离心率e=
B．
或
，则m的值为（ ）
C．
D．3或
9． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A． B．4 C． D．2
，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成
C．
10．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．
B．
D．
2211．已知向量a(m,2)，b(1,n)（n0），且ab0，点P(m,n)在圆xy5上，则
|2ab|（ ）
A．34 B． C．42 D．32 第 2 页，共 16 页
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12．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（且a＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（ ）
2
，），
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，） C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）
B．（﹣，a2）∪（﹣a2，） D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
二、填空题
13．设双曲线
﹣
=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积
是 ．
14．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ．
15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．
16．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x，则实数m等于 ．
17．在区间[﹣2，3]上任取一个数a，则函数f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值的概率为 ．
18．在（2x+
6
）的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
三、解答题
19．已知
，数列{an}的首项
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2012的最小正整数n．
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20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为
，求角C．
，c=．
21．（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝满足：an1an（nN），a11，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an2log2bn1. （1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式； （2）求数列｛anbn｝的前项和Tn.
22．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g（x）=log
，当x∈[，
]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．
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23．已知函数f（x）=cos（ωx+；
），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．
24．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=
．若集合A满足下
列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．
．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，
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城区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：对于A，yex为增函数，yx为减函数，故yex为减函数，对于B，y'3x20，故yx3在0,上单调递增，故选B. 2． 【答案】B
为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
个单位得到函数f(x)的图
44象，再将f(x)的图象向上平移3个单位得到函数f(x)3的图象，因此g(x)f(x)3
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将f(x)的图象向左平移
4441x2sin[(x)]32sin()3.
346343． 【答案】
2＋ai
【解析】选A.由＝3＋bi得，
1＋i
2＋ai＝（1＋i）（3＋bi）＝3－b＋（3＋b）i， ∵a，b∈R，
2＝3－b∴，即a＝4，b＝1，∴a－b＝3（或者由a＝3＋b直接得出a－b＝3），选A. a＝3＋b
4． 【答案】D 【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30° 故选D．
=
，B=45°
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
5． 【答案】A
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【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项． ∵当x＞0时，t=∴函数y=f（x）=x﹣
2
=在x=e时，t有最小值为
，当x＞0时满足y=f（x）≥e﹣＞0，
2
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项 故选A
6． 【答案】 D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数， 并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示． f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确； ③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确， ④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边， 故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤． 故选D．
7． 【答案】D 【解析】解：由题意设解得x=
，故|
|=
，|
|=
，
=2x，则2x+x=2a，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
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4c2=
+﹣2×××cos∠F1PF2， ﹣
cos∠F1PF2∈（＜e＜1，∴
2
2
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c=
，），
即2＜4c＜，∴＜＜1，即＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e=综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[故选：D
，1）
=；
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
8． 【答案】D
【解析】解：当椭圆由e=当椭圆由e=即m=故选D
，得+
=+
=1的焦点在x轴上时，a=，即m=3
，b=
，c=
，b=
，c=
=1的焦点在y轴上时，a=
=
，
，得．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．
9． 【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为侧棱为2故V=故选C
，则棱锥的高h=
=2
=2
=3
，2，底面边长为2
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10．【答案】D 【解析】解：双曲线
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A（，），B（，﹣），
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣
＜
222222
，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜
又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．
11．【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 12．【答案】A
2
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a，b），g（x）＞0的解集为（2
），且a＜，
，
），
2
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣
则不等式f（x）g（x）＞0等价为
22即a＜x＜或﹣＜x＜﹣a，
或
，
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22
故不等式的解集为（﹣，﹣a）∪（a，），
故选：A． 解决本题的关键．
=1的a=2，b=3，
，∠F1MF2=90°，
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是
二、填空题
13．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
222
可得c=a+b=13，
﹣
又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2
=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，
22
即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2
可得|MF1||MF2|=2b=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
14．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=
，G=±
，
由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．
【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．
15．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1
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所以f（1）+f′（1）=3+1=4． 故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：∵双曲线
又已知一条渐近线方程为y=x，∴故答案为4．
的渐近线方程为 y= =2，m=4，
x，
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=的关键．
17．【答案】
．
x，是解题
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a， 则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
32
若f（x）=x﹣ax+（a+2）x有极值，
2
则f'（x）=x﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a﹣4（a+2）＞0，
2
解得a＞2或a＜﹣1， ∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2， ∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=， 故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．
18．【答案】 240
【解析】解：由（2x+
6
），得
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=
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于故答案为：240．
．
．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
， ．
数列
是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{an}的通项公式为（Ⅱ）
．…
．…① ．…②
②﹣①并化简得
易见Sn为n的增函数，Sn＞2012， 即（4n﹣7）•2
n+1
，
．…
＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=则
=
，
，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB， 由正弦定理，a=b，则=1；…
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（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为
2
所以S=absinC=asinC=
，a=b、c=，
，则
=
，① ，② ）=1，sin（C+=
，
）=，
由余弦定理得，由①②得，cosC+又0＜C＜π，则解得C=于中档题．
21．【答案】（1）an2n1,bn【解析】
…．
sinC=1，则2sin（C+C+
＜
，即C+
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属
12n3T3；（2）. n2n2n试题分析：（Ⅰ1）设d为等差数列an的公差，且d0，利用数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，
1332n1...利用错位相减法求和即可． 123n2222试题解析：解：（1）设d为等差数列an的公差，d0，
求出d，然后求解bn；（2）写出Tn由a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后成等比数列，111.Com] 所以(2d)22(42d) d0，d2 ∴an1(n1)22n1
又an2log2bn1 ∴log2bnn，即bn1 （6分） n2第 13 页，共 16 页
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考点：数列的求和． 22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数． 理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数. （2）g（x）=log
=2log3
，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分） 由f（x）≥g（x）得log3≥log3
，
即
≥
，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2
≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
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即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+∴ω=2，f（x）=cos（2x+令2x+
=kπ，求得x=
）． ﹣
，可得对称轴方程为 x=
≤x≤kπ﹣
，
﹣
，k∈Z．
）的图象的两对称轴之间的距离为
=
，
令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得 kπ﹣
可得函数的增区间为，k∈Z． （2）当2x+当2x+
=2kπ，即x=kπ﹣=2kπ+π，即x=kπ+
，k∈Z时，f（x）取得最大值为1． ，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．
，k∈Z}； ，k∈Z}．
∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，
．
∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，
∴P3不具有性质Ω．…..
证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，
不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．
同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..
解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，
，
取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
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则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合
中除整数外，其余的数组成集合为，
令
，
，
．
则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集
中除整数外，其余的数组成集合
，
令
则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使
．
集合
它与P14中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..
中的数均为无理数，
，
．
【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
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